【正文】 ? ? ? ? ?,f n x n A n x n? ，其中 ??An 是一個(gè) kk? 矩陣。 （二） 漸近 性，如果存在 ? ?0= n?? 當(dāng)0xx????意味著 ? ?00lim , , =n x n n x x??? ， 一致漸近 。 （四） 指 數(shù) 穩(wěn) 定 性 ， 如 果 存 在 0, 0M? ??，和 ??0,1?? 。下圖所示，未來(lái)所有狀態(tài) ? ?00,x nnx 中， 0nn? 時(shí)。 圖 24 描述了一致漸近穩(wěn)定的零解。然而，對(duì)于特殊類別的方程，這些圖 45 中的箭頭可能逆轉(zhuǎn)。對(duì)于自治系統(tǒng) ? ?224?? ，下面的語(yǔ)句 是關(guān)于 平衡點(diǎn) x? ： ? ?? ?? ?123S USAS UASA UA??? 證明。這意味著，在穩(wěn)定的定義中的 ? 是 相對(duì)于 初始時(shí)間 0n 獨(dú)立的 。 1． 該 標(biāo)量方程 ? ? ? ?1x n x n?? 的 解 由下式給出 的 ? ?0 0 0,x n n x x? ，因此零解是均勻穩(wěn)定，但不 是 漸近穩(wěn)定的。因?yàn)? ?1 expii???? ， 它遵循 ? ? ? ?00010e xp e xp e xp 1nn iii n i nn M n M??? ?????? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?????? ? ? ??? 由于 0?? 和 0 0n? ， 如 果 我 們 讓 ? ?2M??? ， 然 后 0x ?? 意味著? ? ? ?0 0 0,x n n x n x ?? ? ?。該解 是由 ? ? ? ? ? ?0 0 0 0, , 1 1x n n x n n x? ? ?決定的 。 定理 。一個(gè)固定的點(diǎn) x? 的 連續(xù)映射 f 是漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)開(kāi)區(qū)間 ? ?,ab 含 x?例如， ? ?2f x x? 的 a x x??? 和 ? ?2f x x? 的 x x b???。在下面的結(jié)果，我們表達(dá)了穩(wěn)定矩陣 ??n? 系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 的根本條件。對(duì)于線性系統(tǒng) ? ?2 3 1?? 下面的結(jié)論成立 ： （ i）本零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng)所有的解是有界的。 定理 （ 1） 若 ? ?1 1ki ijan???， 1 jk??， 0nn? 則系統(tǒng) 的零解是 一致 穩(wěn)定的。下面的結(jié)論成立 ： （ I） ? ?2 3 6?? 的零解是穩(wěn)定的，當(dāng)且僅當(dāng) ? ? 1A? ? 和特征值的單位模量半單。 得出結(jié)論單位圓內(nèi)的特征值當(dāng)且僅當(dāng) 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0trA A? ? ?， 1 det 0A?? ? ?2 3 8?? 或者，等價(jià) 1 det 2trA A? ? ? ? ?2 3 9?? 它如下所示的條件下 ? ?2 3 9?? 中，零解的方程 。此外 ? ?lim 0n xn?? ? （二） 如果 ??xn是 ? ?2 3 6?? 的解 在 ? ?0 uxW? 中，然后 對(duì)于 每個(gè) n 中， ? ? ux n W? 。 x? 是系統(tǒng) ? ?2 4 1?? 的一個(gè)平衡點(diǎn)。另一方面，如果 ? ?AI? 是奇異的。因此任何平衡點(diǎn) 0x?? 穩(wěn)定的性質(zhì)與平衡點(diǎn) 0x?? 是相同的。 1200? ???????不同的實(shí)數(shù)特征值。則系統(tǒng) ? ?244?? 相應(yīng)的初始條件就是? ? 1000y y P x??? 。我們把 f 寫(xiě)成 ? ?12, Tkf f f f? 的形式則會(huì)有 : 1 1 1122 2 212012( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...( , ) ( , 0 )( , 0 ) ( , 0 ) ( , 0 )...kkyk k kkf n f n f ny y yf n f n f nf n y f ny y yyyf n f n f ny y y?? ? ?????? ? ?? ? ??? ??? ? ???????? ? ?? ? ??? 為了方便起見(jiàn)， *( , )f nxk x? ? 被記為 ? ?,Df nx? ,將 ( ) ( )y n x n x??? ? ?2 5 4?? 代人 ? ?2 5 4?? 中則有： * * *( 1 ) ( , ( ) ) ( , ) ( ) ( , ( ) )fy n f n y n x x n x y n g n y nx?? ? ? ? ? ?? 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 15 其中 * * *( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , ) ( )fg n y n f n y n x x n x y nx?? ? ? ? ?。 我們注意當(dāng) 0x?? 時(shí)，有： ( , ( ) ) ( , ( ) ) ( , 0 ) ( ) ( , ( ) ) ( ) ( )g n y n f n y n D f n y n f n y n A n y n? ? ? ? 使得系統(tǒng) ? ?2 5 3?? 在特殊情況下是一個(gè)自治系統(tǒng)。從而憑借方程 ? ?2 5 12?? ，我們可知 ? ?2 5 1?? 是成指數(shù)穩(wěn)定的。 若 ? ? 1A? ? 且 ? ? ? ?,0g x o x x??，則方程 ? ?256?? 的零解不是穩(wěn)定的。設(shè)總種群（ N）分為易感類（ S）和染病類（ I）。當(dāng)引入隔離后，總種群（ N）分為由易感個(gè)體組成的子種群（ S），由已經(jīng)染病的個(gè)體組成的子種群（ I）和由已經(jīng)染病并且被隔離的個(gè)體組成的子總?cè)海?Q）。 d 為正常死亡率。 令模型中 nS 表示易感人群 在總?cè)巳褐械谋壤?nI 為已經(jīng)感染的人群在總?cè)巳旱谋壤?nQ為已經(jīng)染病并且被隔離的人群在總?cè)巳褐械谋壤? 則根據(jù)平衡點(diǎn)1 ,0bX d ??? ?????????的雅可比矩陣。 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ??時(shí) 2 1?? 則系統(tǒng)不確定是否穩(wěn)定。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 23 結(jié) 論 按照傳染病傳播的一般規(guī)律，建立數(shù)學(xué)模型，用數(shù)學(xué)的方法研究這個(gè)模型，進(jìn)而提出有效的預(yù)防傳染病蔓延的手段是當(dāng)今傳染病研究的一個(gè)熱點(diǎn)問(wèn)題具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。本文僅僅考慮了一類簡(jiǎn)單的傳染病模型。128:93130 [3]Wu L I,Feng bifurcation in an SIQR model for childhood disease[J].J Differential Equations,20xx。非線性生物動(dòng)力系統(tǒng) [M].北京：科學(xué)出版社， 1993 [12]Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,20xx,23:519527 [13] Gao Shujing ,Chen Lansun. Dynamic plexities in a singlespecies discrete population model with stage structure and birth pulses [J].Chaos Solitons＆ .Ftactals,20xx,24:10131023 [14]李建全，馬知恩。 。 此外，我要感謝與我一起生活和學(xué)習(xí)的各位同學(xué)，成文期間許多同學(xué)為我的論文提供了寶貴的建議。61:803833 [5]劉輝，李海。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 24 參考文獻(xiàn) [1]Hethcote H W. The mathematics of infectious disease [J].SIAM 。 模型為 ? ?? ?S b N d S S I I QI S I d IQ I d Q? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?? 通過(guò)對(duì)這個(gè)帶有隔離項(xiàng)的模型研究，本文證明了模型的平衡點(diǎn)的存在性和它的漸近穩(wěn)定性。 而平衡點(diǎn) 1X? ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ??時(shí) 是不 穩(wěn)定的 ，在 b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí)是漸近穩(wěn)定的 。 則 1 1?? 當(dāng) b dd ?? ? ? ??? ? ? ? ?? 時(shí) 2 1?? 則根據(jù)定理如果 ? ? 1A? ? ? ? ? ?,0g x o x x??則方程的零解不是穩(wěn)定的。如果線性系統(tǒng)的零解是一致漸近穩(wěn)定的，那么非線性系統(tǒng)的零解是成指數(shù)穩(wěn)定的。 天津 職業(yè)技術(shù)師范大學(xué) 20xx 屆 本科生 畢業(yè)論文 20 4 模型求解 求平衡 點(diǎn) 我們建立 的模型是 ? ?? ?n n n n n n nn n n nn n nS b N d S S I I QI S I