【正文】 在空間域上的抽樣間隔是相等的，與此同時(shí)，離散小波變換對(duì)不同的頻率成分在空間域上的抽樣間隔是可調(diào)的，對(duì)高頻成分采用逐漸精細(xì)的空間域抽樣步長(zhǎng)，從而可以聚焦到研究對(duì)象的任意細(xì)節(jié)，從這個(gè)意義上來(lái)講，它被譽(yù)為數(shù)學(xué)顯微鏡。正是這種特性，使小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。他們是由同一母小波函數(shù) ()t? 經(jīng)過(guò)伸縮和平移后得到的一組函數(shù)系列。小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng) a 逐漸變大時(shí)，基函數(shù)的時(shí)間窗口 t? 逐漸變大，而對(duì)應(yīng)的頻域窗口 ?? 相應(yīng)減小，中心頻率（即頻率窗的中心點(diǎn)）逐漸變低，相反，當(dāng) a 逐漸減小，基函數(shù)的時(shí)間窗口 t? 逐漸減小，其頻率窗口 ?? 相應(yīng)增大，中心頻率逐漸升高。 （ 2）在任何 b 值上，小波時(shí)、頻域窗口的大小 t? 和 ?? 都隨頻率的變化而變化。 由以上分析可知，小波基函數(shù) , ()abt? 作為帶通濾波器，其品質(zhì)因數(shù)不隨尺度 a 的變化，是一組頻率特性相同的帶通濾波器組。 利用小波變換產(chǎn)生的小波系數(shù)，我們可以對(duì)原圖像進(jìn)行重構(gòu)，也就是小波變換 的逆變換，其公式為： 211( ) ( , )f t b d af t W T a b d bC a aa? ???? ? ? ????? ?????? （ 35） 其中 C? 是對(duì) ()t? 提出的允許性條件，, 1()ab tbt aa?? ???? ????是基本小波的位移與尺度伸縮。 在實(shí)際應(yīng)用中，不管是圖像還是音頻信息，都是經(jīng)過(guò)采樣量化后得到的一些離散數(shù)據(jù)，因此我們還應(yīng)將上述連續(xù)小波變換離散化，以便于對(duì)離散的圖像信號(hào)進(jìn)行處理。 （ 3）離散小波變換的逆變換（ IDWT） 若離散小波序列 ? ?,jkik z? ?構(gòu)成一個(gè)框架，設(shè)其上、下界分別主 A 和 B，則當(dāng) A=B時(shí)（此時(shí)框架為緊框架），離散小波變換的逆變換（ IDWT）公式為： 39。 二維離散小波變換快速算法 假定 ,iijs 為 j 尺度空間的剩余尺度系數(shù)序列，并且令 0h 和 1h 分別為小波函數(shù)的低通和高通濾波器，則二維小波變換的快速分解公式為 , 1 0 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkma h k i h m l s ?? ? ?? （ 311） , 0 1 , ( 2 ) ( 2 )i j lj k k mkm h k i h m l s? ?? ? ?? （ 312） , 1 1 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkmr h k i h m l s ?? ? ?? （ 313） , 0 0 , ( 2 ) ( 2 )i j li j k mkms h k i h m l s ?? ? ?? （ 314） 其中： i ,l 分別為 x 方向和 y 方向上的位移， js 、 j? 、 j? 、 j? 分別為將其上一尺度（ j1 尺度）空間中的剩余尺度系數(shù)序列 jls? 經(jīng) x 方向和 y 方向上的低通濾波、 x 方向上的高通濾波和 y 方向上的低通濾波、 x 方向和 y 方向上的高通濾波后所得到的 j 尺度空間中的系數(shù)序列。嚴(yán)格地講，初始矩陣應(yīng)使用公式 2, , , ( )( , ) ( )jm n j m j n yRs f x y x d x d y??? ?? （ 316） 計(jì)算獲得，其中：上標(biāo)表示尺度，下標(biāo)表示兩個(gè)方向的位移， ()x? 為小波函數(shù)。下面我們就將二維離散圖像在二維正交小波基下進(jìn)行分解與重構(gòu)。 (a)二維小波分解圖 (b) 二維小波重構(gòu)圖 圖 二維小波系數(shù)的分解與重構(gòu)過(guò)程 若輸入矩陣的大小為 NN? ，由圖 （ a）、 (b)知 ，四個(gè)輸出矩陣的維數(shù)均為 22NN?（經(jīng)一級(jí)小波變換后每一方向上的輸出序列長(zhǎng)度都和輸入序列長(zhǎng)度序列相同，但此時(shí)的頻帶由于被分成了低通和高通兩部分，所以濾波后輸出序列的帶寬只有原始信號(hào)長(zhǎng)度的一半。圖 是將圖像經(jīng)過(guò) 一級(jí)小波 分解 后 的示意圖。如圖 (b)所示， 如果將一幅圖像按由低頻到高頻逐層展開(kāi)的方式顯示，那么就會(huì)先顯示圖像的輪廓，然后逐步顯示圖像的細(xì)節(jié)部分，這種逐漸清晰的顯示方式符合人類(lèi)視覺(jué)系統(tǒng)的感知特性。 小波理論在數(shù)字水印中的應(yīng)用 隨著小波理論的發(fā)展和在數(shù)字圖像處理的應(yīng)用，許多學(xué)者都已經(jīng)提出了基于小波域的數(shù)字圖像水印技術(shù)。這一點(diǎn)尤其適用于需要進(jìn)行 大量數(shù)據(jù)處理的圖像步進(jìn)傳輸中，湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 18 例如視頻圖像的應(yīng)用或者在實(shí)時(shí)系統(tǒng)中的應(yīng)用。它把信號(hào)分解成獨(dú)立的子帶，并且獨(dú)立地進(jìn)行處理。圖像的低頻子帶攜帶了圖像的大部分信息，因此可以嵌入更多的水印信息，使水印更加魯棒，但同時(shí)也產(chǎn)生了問(wèn)題，即圖像低頻子帶的變化容易導(dǎo)致較大的圖像失真。 （ 1）基于高斯序列的擴(kuò)頻水印算法 在 1997 年， Cox 提出了一種基于擴(kuò)展頻譜的水印算法。它有頻域所固有的抗幾何變換的能力，但它的一個(gè)最顯著的缺點(diǎn)是必須有原始圖像才能檢驗(yàn)水印是否存大。小波基采用如雙正交小波。保證了水印的不可感知性，又使算法具有一定魯棒性。提取時(shí)間首先將待測(cè)圖像 L 級(jí)分解后，對(duì)相應(yīng)位置的小波系數(shù)量化，判斷量化系數(shù)的奇偶性，嵌入相應(yīng)值，然后將提取結(jié)果與原始水印比較得到檢測(cè)結(jié)果。通過(guò)選取適當(dāng)?shù)臋z測(cè)門(mén)限進(jìn)行認(rèn)證檢測(cè)。 該算法 借用子帶編碼嵌入脆弱水印。一種意見(jiàn)認(rèn)為低頻子圖是圖像的平滑部分，人眼對(duì)這部分的失真比較敏感，基于水印的不可感知性考慮，應(yīng)將水印數(shù)據(jù)隱藏在圖像的高頻部分，亦即小波分解后的高頻系數(shù)中，而不應(yīng)在低頻系數(shù)嵌入水印。 在小波域，為了使數(shù)字水印具有較好的魯棒性，用于嵌入水印的小波系數(shù)就應(yīng)該滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件： 第一 小波系數(shù)不應(yīng)該過(guò)多的被信號(hào)處理和噪聲干擾所改變； 第二 具有較大的感覺(jué)容量，以便嵌入一定強(qiáng)度的水印后不會(huì)引起原始圖像視覺(jué)質(zhì)量的明顯改變。 a 是嵌入水印的強(qiáng)度因子，其取值應(yīng)權(quán)衡不可見(jiàn)性和魯棒性要求， a 越大，水印雖越強(qiáng)壯，但是嵌入水印的圖像質(zhì)量就會(huì)降低；反之，取值小，圖像質(zhì)量雖提高了，但同時(shí)會(huì)削弱水印的魯棒性。 水印的嵌入算法如下： 第一步：分別輸入原始圖像 X 和水印圖像 W； 第二步：將二值水印圖像按下式進(jìn)行變換： if (, )wi j =1， (, )wi j? =1； if (, )wi j =0， (, )wi j? =1； 再將水印圖像系數(shù)轉(zhuǎn)換為一維矩陣。 水印的提取和檢測(cè) 水印提取時(shí)，對(duì)嵌入水印宿主圖像和原始圖像進(jìn)行小波多分辨率分解，然后根據(jù)水印嵌入公式的逆過(guò)程，即： ( ) /( )w C C aC???? 計(jì)算得出水印序列。 第三步：對(duì)計(jì)算出來(lái)的水印系數(shù)進(jìn)行重組，得到最終的提取水印圖像 [7]。 圖 原始圖像 水印圖像 圖 嵌入水印后的圖像 水印圖像 圖 為原始 lena 圖， 圖 為按本文算法嵌入水印后的圖像，其 峰值 信噪比為 。由于有損壓縮引起圖像的降質(zhì)，水印的檢測(cè)將受到一定的湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 23 影響。 圖 椒鹽噪聲攻擊后水印圖像 加入一定的椒鹽噪聲后，宿主圖像 的峰值 信噪比為 ， 湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24 圖 高斯噪聲攻擊后水印圖像 圖 為高斯噪聲干擾后的嵌入水印圖像。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，該算法在滿(mǎn)足不可見(jiàn)性的同時(shí)，對(duì)常見(jiàn)的圖像處理和噪聲干擾表現(xiàn)出較強(qiáng)的魯棒性。 本文雖然做了許多基礎(chǔ)性工作，但還有需要進(jìn)一步完善和研究的問(wèn)題。無(wú) 論從研究?jī)r(jià)值、技術(shù)含量、還是從應(yīng)用前景來(lái)看，數(shù)字水印技術(shù)都處于信息技術(shù)的發(fā)展前沿。選擇合適的小波系數(shù)嵌入水印對(duì)水印系統(tǒng)的性能是非常重要的，所以有待于在實(shí)踐中找出更加合適嵌入水印的小波系數(shù)。并簡(jiǎn)要的介紹了本文涉及到的小波分析理論基礎(chǔ)知識(shí)。 實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析 從水印嵌入到帶水印圖像被攻擊，最后提取檢測(cè)出水印，本章實(shí)現(xiàn)了一個(gè)完整的水印系統(tǒng)。 （ 2）噪聲攻擊 圖像在傳輸過(guò)程中，常常由于受到某種干擾而含有各種噪聲。 抗攻擊實(shí)驗(yàn) （ 1） JPEG 攻擊 JPEG 壓縮是嵌入水印的圖像最易經(jīng)受的圖像處理。為了定量分析提取水印與原始水印的相似性，可采用歸一化互相關(guān)函數(shù)（ NC）來(lái)表示。 水印的提取算法如下： 第一步：對(duì)含水印圖像和原始圖像進(jìn)行二級(jí)小波分解，分別得到不同分辨率的小波系數(shù)。對(duì)二級(jí)的水平分量及垂直分量進(jìn)行一維矩陣轉(zhuǎn)換。W 是被嵌入的水印。 如圖 所示陰影部分 圖 水印嵌入位置 水印的嵌入 水印按如下方法嵌入 ： (1 )C C aW??? 湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 21 該公式利用了人眼視覺(jué)掩蔽特性，使水印嵌入量與小波系數(shù)的幅值成比例。這樣在圖像有一定失真的情況下，仍能保留主要成分，可保持原始載體圖像的主觀視覺(jué)質(zhì)量基本不變，于是提出水印嵌入低頻系數(shù)中。由于圖像幾子帶的 LSB 平面各不相同，因此，該算法較好抵制統(tǒng)計(jì)分析攻擊 [1]。 （ 3）基于圖像編碼的數(shù)字水印算法 較早將小波圖像編碼和數(shù)字水印技術(shù)結(jié)合起來(lái)的是 Wang 和 Su， Wang 的算法是采用多門(mén)限小波編碼， Su 使用的是最優(yōu)化截?cái)嗲度肟焖倬幋a算法，這兩種數(shù)字水印算法都是在選項(xiàng)中的細(xì)節(jié)子帶中的重要系數(shù)上添加偽隨機(jī)高斯噪聲，水印的嵌入和提取是在圖像壓縮和解壓縮中進(jìn)行的。 Lu 提出一種中值量化的脆弱水印方法。一種簡(jiǎn)單的量化水印稱(chēng)為奇偶嵌入水印，若嵌入位為 “0”，則宿主信號(hào)被量化為與之最近的偶數(shù)；若嵌入位為 “1”則量化為與之最近的奇數(shù)。水印的提取需要原始圖像。在此算法中選用偽隨機(jī)實(shí)數(shù)組成的高斯序列作為水印。在水印檢測(cè)時(shí)，通過(guò)計(jì)算偽隨機(jī)序列和提取水印序列的相關(guān)性來(lái)實(shí)現(xiàn)。因此，一個(gè)有效 的水印算法在魯棒性和圖像的失真度之間取得平衡。 （ 4）小波域的高分辨率子帶用來(lái)描述圖像特征，如紋理和邊緣區(qū)域等，通常我們把大能量的水 印加入到大的小波系數(shù)中，因此影響的正好是圖像的紋理區(qū)域和圖像變化的邊緣區(qū)域，而這些區(qū)域也正是人眼對(duì)之變化不敏感的區(qū)域。 （ 2）可以保證在新一代壓縮標(biāo)準(zhǔn) JPEG2021 有損壓縮下的嵌入水印不會(huì)被去除；也可以在壓縮域中直接嵌入水印。 小波域嵌入水印的優(yōu)點(diǎn) 對(duì)比于 DCT， DWT 具有以下優(yōu)點(diǎn)：它對(duì)一幅圖像來(lái)說(shuō)具有多分辨率和分層次的特性，解碼過(guò)程可以連續(xù)地從低分辨率過(guò)渡到高分辨率，而 DCT 對(duì)一幅圖像的分辨率只有一個(gè)，不能做到根據(jù)圖像的區(qū)域不同頻率來(lái)進(jìn)行不同層次的分辨； DWT 比 DCT 更接近人眼視覺(jué)系統(tǒng)，因此圖像經(jīng)小波域編碼的高比特率壓縮后，比經(jīng)過(guò)同樣比特率的 DCT要少很多的擾動(dòng)； DWT 產(chǎn)生一個(gè)空間 尺度函數(shù)，在對(duì)一幅圖像的描述中，高頻的信號(hào)可以在像素域中精確地被定位，同時(shí)低頻的信號(hào)則在頻域精確地定位。人眼視覺(jué)系統(tǒng)的這種特性與小波 的分解特性相符合。這說(shuō)明，小波變換對(duì)圖像能量具有較好的集中作用。如果將一次小波分解輸出的概貌部分（ ,jiks ）繼續(xù)進(jìn)行小波分解，我們可得到原始圖像在不同尺度上的細(xì)節(jié)和概貌，這就是多尺度或者說(shuō)是多分辨率分析的概念。 圖中用 g 代替式（ 311） —（ 314）中的 1h ，表示高通濾波器系數(shù)，用 h 代替式（ 311）—（ 314）中的 0h ，表示低通濾波器系數(shù)，下標(biāo) x 表示對(duì)矩陣沿行方向進(jìn)行濾波，下標(biāo) y表示對(duì)矩陣沿列方向進(jìn)行濾波， 2? 表示二倍抽取， 2? 表示二倍插值。因此，對(duì)于初始矩陣的選取，工程上有一種簡(jiǎn)化的方法，即直接將原始二維函數(shù)的離散矩陣看作為初始矩陣： ? ?, ,jm n m ns f f m x n y? ? ? ?，這樣雖然會(huì)引入一定的誤差，但一般情況下能夠滿(mǎn)足工程需要。 湖南涉外經(jīng)濟(jì)學(xué)院本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 15 圖 二維小波變換的樹(shù)形算法示意圖 重構(gòu)算法公式為 : ? ?, , 0 0 , 1 0, 0 1 , 1 1,( 2 ) ( 2 ) 2 ( 2 )( 2 ) ( 2 ) ( 2 ) ( 2 )j l j jk m i j i jk m k mjji j i jk m k ms s h k i h m l h k i h m lh k i h m l h k i h k l???? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????? （ 315） 上述快速算法，是在已知原始二維函數(shù)在某一尺度空間的展開(kāi)系數(shù)矩陣 ,jmns 基礎(chǔ)上進(jìn)行計(jì)算的。, , ,( ) , ( , ) ( )j k j k f j kj k j kf t f W T j k t? ? ????? （ 310） 式（ 38）和（ 310）是對(duì)一維信息的小波變換與重構(gòu)，處理圖像信號(hào)需要二維小波變換。然后再將 t 軸用 sT 歸一化，上式就變?yōu)椋? 2, ( ) 2 ( 2 )j jjk t t k??? ??? （ 37） 我們稱(chēng)上