【正文】 達(dá)式，若同時(shí)變換坐標(biāo)系，則可得到較為簡單的新的函數(shù)圖象。 變值函數(shù)的基本算法由于變值函數(shù)與基值函數(shù)同源共生，而等值函數(shù)只是變值函數(shù)和基值函數(shù)的一種特例，故三種函數(shù)具有本質(zhì)上的同一性。按照基距和變值系數(shù)是否各自對(duì)應(yīng)相同，可將不同變值函數(shù)獨(dú)立分為同基、異基和同系、異系，二者組合可得同基同系、同基異系、異基同系和異基異系四種。因此，在變值函數(shù)中，自變量的取值與箱變坐標(biāo)系的對(duì)應(yīng)基距數(shù)值同時(shí)擴(kuò)大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，或簡述為：變值函數(shù)的自變量與基距同時(shí)擴(kuò)大或縮小非零倍數(shù)，其值不變，這便是變值函數(shù)的基本性質(zhì)。據(jù)此性質(zhì)便可對(duì)變值函數(shù)適當(dāng)進(jìn)行恒等變換（此即變基運(yùn)算），從而使其某些異基運(yùn)算得以實(shí)現(xiàn)。這里的TX可叫變基系數(shù)，通常為一非0常數(shù)，據(jù)此便可進(jìn)行變基運(yùn)算。一元變基運(yùn)算：設(shè)原變值函數(shù)為H=H0(X0)，X0為原自變量，X0的基距為LX0，X0的變值系數(shù)為KX0；新變值函數(shù)為H=H(X)，X為新自變量，其基距為LX，其變值系數(shù)為KX。此時(shí)，其變基系數(shù)等于新基距與原基距之比，即TX=LX/LX0=X/X0=KX0/KX、TY=LY/LY0=Y/Y0 TY=KY0/KY，亦即X=TXX0或X0=X/TX、KX=KX0/TX或KX0=TXKX，Y=TYY0或Y0=Y/TY、KY=KY0/TY或KY0=TYKY。（2）通基變換：上述變基運(yùn)算適用于單個(gè)變值函數(shù)，當(dāng)為多個(gè)不同基距的變值函數(shù)（即異基函數(shù)）時(shí)，若要對(duì)其同名自變量在各自基距范圍內(nèi)進(jìn)行同值同步運(yùn)算（如對(duì)應(yīng)于有限空間的加減或合并運(yùn)算等），則應(yīng)使之變?yōu)橄嗤嗟淖冎岛瘮?shù)（即同基函數(shù)），這便是通基變換。其中，統(tǒng)一基距?？筛鶕?jù)需要進(jìn)行適當(dāng)設(shè)定。其對(duì)應(yīng)通基系數(shù)為通基前后基距之比，即TXi=LXi/LX=Xi/X=KXi/KX0i、TYi=LYi/LY=Yi/Y=KYi/KY0i，亦即LX=LXi/TXi或LXi=TXiLX、X=Xi/TXi或Xi=TXX、KXi=TXiKX0i或KX0i=KXi/TX，LY=LYi/TYi或LYi=TYiLY，Y=Yi/TYi或Yi=TYiY、KYi=TYiKY0i或KY0i=KYi/TYi。 變值函數(shù)的四則運(yùn)算變值函數(shù)和基值函數(shù)的四則運(yùn)算可分為同基和異基兩種算法。其中，變值加減運(yùn)算還可引申擴(kuò)展為變值合并運(yùn)算（變合運(yùn)算）與變值分解運(yùn)算（變分運(yùn)算）。異基變合運(yùn)算與常規(guī)的異分母加減運(yùn)算相類似，亦即先通基后合并，以便可使自變量采用同值同步進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算。這里應(yīng)先求出通基系數(shù)，即TXi=LXi/LX。然后可得通基函數(shù)為：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY), (10)其中，對(duì)應(yīng)變值系數(shù)變?yōu)?KXi=TXiKX0i(TYiY)=KXi(Y)和KYi=TYiKY0i(TXiX)=KYi(X),此時(shí),其首項(xiàng)可不為常數(shù)1。其基本運(yùn)算規(guī)則與等值函數(shù)完全相同，所不同的是必須要有變值系數(shù)系數(shù)的直接參與。因此，若要得到密度或單位與基值單位相同的實(shí)際數(shù)值（即補(bǔ)上相應(yīng)差值），則應(yīng)將被積函數(shù)的對(duì)應(yīng)單位還原為基值單位，亦即應(yīng)將被積函數(shù)進(jìn)行還原，通常是將被積函數(shù)（顯函數(shù)）乘以某一系數(shù)（可為數(shù)值或算式）。此時(shí)，還原系數(shù)可有兩種求法：當(dāng)只有一個(gè)還原變量時(shí)，還原系數(shù)等于對(duì)應(yīng)變值系數(shù)；當(dāng)有兩個(gè)還原變量時(shí)，還原系數(shù)等于兩個(gè)對(duì)應(yīng)變值系數(shù)的首項(xiàng)之積與余項(xiàng)之和。被積函數(shù)還原后（可叫被積還原函數(shù)），便可按照常規(guī)方法進(jìn)行積分運(yùn)算。（）同基合積運(yùn)算：本法是指各單式均為同基函數(shù)合積運(yùn)算，其中，又有同系與異系之分，前者可視為后者的特殊情形。（）異基合積運(yùn)算：本法是指各單式不為同基函數(shù)的合積運(yùn)算。設(shè)有N個(gè)異基二元單式、原坐標(biāo)系數(shù)及通基系數(shù)分別為Hi=H0i(Xi,Yi)、KX0i(Y)、KY0i(X)和TXi、TYi（TXi、TYi的求法見前述的合并運(yùn)算），通基后的各式為：Hi=Hi(X,Y)=H0i(Xi,Yi)=H0i(TXiX,TYiY)新的寬距和長距系數(shù)系數(shù)分別為：KXi(Y)=TXiKX0i(TYiY)=KXAi+RXi(Y)和KYi(X)=TYiKY0i(TXiX)=KYAi+RYi(X)。另當(dāng)上述各單式為高距坐標(biāo)的二元算式(高距算式的一個(gè)原函數(shù))或?yàn)楦呔嘞禂?shù)的一元算式時(shí)(常與箱面坐標(biāo)系相對(duì)應(yīng))，此時(shí),亦可先求出各單式的高距算式(如將一元高距系數(shù)算式對(duì)Z定積分而得),然后可由上述二元類合積算式簡化而得。 變值函數(shù)的坐標(biāo)變換：在變值函數(shù)中，總體來說，自變量的取值均與基值坐標(biāo)相對(duì)應(yīng)，基值函數(shù)也同樣如此，因此，當(dāng)需要自變量的實(shí)際坐標(biāo)位置（即對(duì)應(yīng)變值坐標(biāo)）時(shí)，則應(yīng)進(jìn)行基值坐標(biāo)與變值坐標(biāo)的相互變換。前述的變合、變積與合積三種運(yùn)算為變值函數(shù)所特有，其中，變合和合積運(yùn)算可用于一維到三維的不均勻空間的的精確合并。在上述的變值合并與合積運(yùn)算中，將會(huì)使原有密度不均勻的空間再次改變密度進(jìn)行合并，構(gòu)成了密度更不均勻的混合空間和更為復(fù)雜的變值對(duì)應(yīng)，從而使現(xiàn)有數(shù)學(xué)方法（可叫等值方法）所難以解決的許多疑難問題迎刃而解。雖然各種變值方法并不高深而且還很原始，且其基本思路和方法也只不過是改變一下坐標(biāo)單位（同名坐標(biāo)單位不再是處處相等），所需基礎(chǔ)知識(shí)也僅限于中學(xué)范疇，但卻從根本上揭示了某些帶有普遍性的數(shù)學(xué)規(guī)律。如此等等都將說明該法從根本上擴(kuò)充了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石，其推廣應(yīng)用將有可能引起現(xiàn)代數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科在思維觀念、表達(dá)方式、研究方法、應(yīng)用領(lǐng)域等方面的某些重大突破或變革，必將形成一門獨(dú)立的變值數(shù)學(xué)學(xué)科。應(yīng)用本法不僅可使廣泛存在的各種扭面、非線性不均勻的動(dòng)態(tài)空間、函數(shù)與圖象的非靜態(tài)對(duì)應(yīng)等及其有關(guān)的各類疑難問題迎刃而解，而且將使常規(guī)的數(shù)學(xué)空間擴(kuò)展為彈性和不勻的非線性空間，也將使常規(guī)函數(shù)與圖象擴(kuò)展為各種變值運(yùn)算和動(dòng)態(tài)對(duì)應(yīng)。仿此進(jìn)行，同樣可以使許多行業(yè)和領(lǐng)域中的世界疑難問題迎刃而解。有興趣的讀者可按積分運(yùn)算、合并運(yùn)算、合積運(yùn)算的逆過程對(duì)其試求之，其中，分解運(yùn)算、分積運(yùn)算可先對(duì)原式的圖象直觀分解或?qū)υ礁黜?xiàng)采用同號(hào)分解，并適當(dāng)設(shè)定分解后的基長、基寬、基高等，然后分步求之。有關(guān)變換可參閱表3。進(jìn)而可得合積算式為：SX=∫[∑UiHUi]dX=∫[∑TiU0iHi(X)]dX, （29）在上述合積運(yùn)算的一般算式中，積分符號(hào)與求和符號(hào)也可互換位置，亦即兩種運(yùn)算也可交換順序。為便于應(yīng)用，現(xiàn)將其再次列示如下： 積分變量為X時(shí):UXi=KXi(Y)=KXAi+RXi(Y)；積分變量為Y時(shí):UYi=KYi(X)=KYAi+RYi(X)；積分變量為X、Y時(shí):UXYi=KXaiKYAi+KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)=KXYAi+RXYi，式中，KXYAi=KXaiKYAi，RXYi=KYaiRXi(Y)+KXaiRYi(X)。這里先進(jìn)行通基使各單式變?yōu)橥闶剑缓蟊憧砂凑胀闶竭M(jìn)行合積運(yùn)算，其中，又有同系與異系之分（前者可視為后者的特殊情形）?，F(xiàn)以二元為例說明如下：設(shè)有N個(gè)同基二元單式及其還原系數(shù)分別為Hi=Hi(X,Y)和Ui（Ui的求法見前述積分運(yùn)算）。 HX=∫ UXH(X)dX=∫ TXH(X)dX， （15）二元變積運(yùn)算（其被積函數(shù)常為高距函數(shù)，積分變量為長距和寬距變量）：一次積分：SX(Y)=∫ UXH(X,Y)dX=∫ KXH(X,Y)dX， （16）SY(X)=∫UYH(X,Y)dY=∫KYH(X,Y)dY， （17）二重積分：VXY=∫dY∫ UXYH(X,Y)dX=∫dY∫ (KA+R)H(X,Y)dX=∫ dX∫(KX+KY1)H(X,Y)dY， （18）三元變積運(yùn)算（其被積函數(shù)通常為高距系數(shù)，應(yīng)先對(duì)高距變量進(jìn)行積分）：一次積分：HZ(X,Y)=∫KH(X,Y)dZ， （19）二重積分：SZX(Y)=∫ [UX∫KH(X,Y)dZ]dX=∫ [KX∫KH(X,Y)dZ]dX=∫ KXH(X,Y)dX， （20）SZY(X)=∫[UY∫KH(X,Y)dZ]dY=∫[KY∫KH(X,Y)dZ]dY=∫KYHH(X,Y)dY， （21）三重積分：VZXY=∫dY∫ [UXY∫KH(X,Y)dZ]dX=∫dY∫ [(KA+R)∫KH(X,Y)dZ]dX=∫dY∫ (KX+KY1)H(X,Y)dX， （22）以上各種積分變量的上、下限均為常數(shù)，當(dāng)含有函數(shù)項(xiàng)時(shí)（如多重積分），其有關(guān)運(yùn)算仍與常規(guī)的積分運(yùn)算方法相同。當(dāng)KXA=KYA=1,此時(shí), UXY=1+RX(Y)+RY(X)=KX(Y)+KY(X)1，或 UXY=1+RX+RY=KX+KY1。這種還原只對(duì)被積函數(shù)中不含變值系數(shù)的積分變量進(jìn)行，此時(shí)的積分變量叫還原變量。（1）變積運(yùn)算:由于等值函數(shù)的變值系數(shù)恒為1，故其積分結(jié)果對(duì)應(yīng)于密度或單位與基準(zhǔn)（基值）單位相同的實(shí)際數(shù)值（如密度均勻的面積或體積數(shù)值等）；但變值函數(shù)的變值系數(shù)通常不為常數(shù)1，自變量的取值通常只是同名坐標(biāo)單位數(shù)，所對(duì)應(yīng)的密度或單位并不相同，故其直接積分結(jié)果仍然只是密度或單位不等的對(duì)應(yīng)單位數(shù)，并非與基準(zhǔn)（基值）單位相同的實(shí)際數(shù)值，二者存在某一差值。仿照上述方法亦可進(jìn)行多元變合運(yùn)算。試求其合并函數(shù)：H=H(X,Y)。當(dāng)為一元時(shí)，設(shè)有N個(gè)一元函數(shù)為：Hi=H0i(Xi)，對(duì)應(yīng)基距