從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維(文件)
【正文】 少，看起來想是此人算法平平爾。（1） 從具體的數(shù)字到抽象的代數(shù)符號數(shù)學(xué)算式是數(shù)學(xué)溝通及思考最重要的媒介，而符號表徵式的理解與使用更是代數(shù)的學(xué)習(xí)不可或缺的工具，因此要過渡到代數(shù)思維，首要進(jìn)行的便是符號的理解與使用，此處的代數(shù)符號包含＝、+、…、□、甲、乙、x、y、…等等。這種將待求之?dāng)?shù)以代數(shù)（文字）符號「暫表」之，至少會引出四個(gè)不同的功用：（一）改變解題思維動(dòng)向。 （二）讓解法跳脫題目所給的情境或數(shù)字，而聚焦在一般性的解題方法： 這個(gè)功用對代數(shù)的一般性（抽象性）與結(jié)構(gòu)性有直接的影響，因?yàn)楫?dāng)解題不會因?yàn)轭}目所給的數(shù)字不同而改變作法，其實(shí)已經(jīng)在建立代數(shù)的一般性與結(jié)構(gòu)性了。（四）擴(kuò)展了運(yùn)算的客體範(fàn)疇：學(xué)生的運(yùn)算客體由原本的數(shù)字，擴(kuò)充到代數(shù)符號，以及符號所表徵的概念，如進(jìn)行函數(shù)、多項(xiàng)式等之運(yùn)算。chemann(1981)將學(xué)生對文字符號的理解與使用分成不盡相同的六類，並進(jìn)一步的將學(xué)生對文字符號的解釋分成四個(gè)認(rèn)知層次：（a）層次一：學(xué)生能處理文字符號的求值（可用試誤或具體的方法，無須具備解方程式的能力）、忽略文字符號，或?qū)⑽淖址柈?dāng)成物件的簡易文字符號問題。在K252。（2） 從特殊化到一般化（抽象化、去情境化）符號的使用只是進(jìn)入代數(shù)思維的第一步，真正進(jìn)入代數(shù)思維，憑藉的是支撐在符號背後的代數(shù)想法，也就是一般化的想法。但如果學(xué)生的思考方式是：定價(jià)x元的東西，又知道定價(jià)是多少，因此列出100100＝15。也因此，想要學(xué)生從算術(shù)思維順利過渡代數(shù)思維，這種一般化的想法是不可缺的。許多學(xué)者認(rèn)為，透過對數(shù)型規(guī)律的一般化、形式化學(xué)習(xí)有助於提升學(xué)生到代數(shù)思維（Orton,199Bishop,2000），梁蕙如（2003）更指出透過對數(shù)型命題論證的教學(xué)能協(xié)助學(xué)生將數(shù)型表徵成的代數(shù)形式。在九年一貫的代數(shù)學(xué)習(xí)中，仍處處可見結(jié)構(gòu)，包含多項(xiàng)式、等量公理、數(shù)系的擴(kuò)充、方程式、解方程式、函數(shù)…等都是一種結(jié)構(gòu)。雖然這個(gè)解法也有一個(gè)固定的思維模式，但運(yùn)算的對象為數(shù)，當(dāng)問題的數(shù)字改變後，求解的過程就會跟著改變，因此這個(gè)解法僅是一個(gè)程序性的解法，未達(dá)到結(jié)構(gòu)化；相對的，當(dāng)學(xué)生思考的是9的平方根就是，在學(xué)生的思維中已有a的平方根為的結(jié)構(gòu)，這時(shí)運(yùn)算的客體已經(jīng)脫離數(shù)，而是在代數(shù)式。」這個(gè)問題中，學(xué)生必須理解等號用來表示等價(jià)性，以及理解字母描述的是一個(gè)變量，學(xué)生才能進(jìn)入結(jié)構(gòu)化階段。參考文獻(xiàn)洪萬生（2002）：孔子與數(shù)學(xué)：一個(gè)人文的懷想。NSC 770111S00305A。臺北市：天下文化。chemann, D.(1981). Algebra. In K. H. Hart(Ed.), Children’s understanding of Mathematics:1116. London: John Murray.Orton, A. and Orton, J.(1999). Pattern and the Approach to Algebra. In A. Orton(Ed.) Pattern in the teaching and Learning of Mathematics. Lodon: Cassell.Sfard, A. (1991). On the Dual Nature of Mathematical Conceptions: Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin. Educational Studies in Mathematics, 22(1), 136.Usiskin, Z. (1999). Conceptions of School Algebra and Uses of Variable. Algebra Thinking, grades K~12, NCTM: Reston, Virginia106從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維臺灣師大數(shù)學(xué)系博士班謝佳叡一般說來，數(shù)學(xué)思維可以說是運(yùn)用數(shù)學(xué)概念，去判斷、推理數(shù)學(xué)內(nèi)容，以認(rèn)識或解決數(shù)學(xué)問題的心理歷程，其中算術(shù)思維與代數(shù)思維更展現(xiàn)出某種承接關(guān)係。臺北：國立編譯館。臺灣師範(fàn)大學(xué)數(shù)學(xué)研究所碩士論文。郭汾派、林光賢、林福來（1989）：國中生文字符號概念的發(fā)展。從教學(xué)的觀點(diǎn)來看，要從算術(shù)思維過渡到代數(shù)思維，絕非僅是進(jìn)行大量的算術(shù)練習(xí)或精熟的符號操演，而是在這兩項(xiàng)為基礎(chǔ)的條件下幫助學(xué)生建立代數(shù)思維的一般化及結(jié)構(gòu)化。在結(jié)構(gòu)化的過程中，對符號與變量的理解有著重要的地位。例如，代數(shù)式被化簡為、可從等號兩邊同減得到，這都是將代數(shù)式視為運(yùn)算的客體。而學(xué)生要能順利地運(yùn)用代數(shù)思維，不但要進(jìn)入一般化的階段，更要能夠自由地將一般化的想法用回到特殊化的情境上，唯有如此，才能避免代數(shù)思維成為一種無意義的符號遊戲。另一方面，一般化也能表現(xiàn)在折扣上，亦即「便宜的價(jià)格＝定價(jià)定價(jià)折扣」，而這個(gè)「100100」只是「 x， x代表定價(jià)」這個(gè)一般化的特例，同時(shí)也是「定價(jià)定價(jià)折扣」這個(gè)一般化的特例。因?yàn)?
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