【正文】 ， 根據(jù)題意得 ， 解得： x=1000， ∴ 八年級(jí) 500名學(xué)生中估計(jì)共借閱教輔類書(shū)籍約 1000本． 19．如圖，在 Rt△ABC 中， ∠C=90176。 ， ∴∠DEB=∠C=90176。 方向上． （ 1）分別求出 A與 C， A與 D之間的距離 AC和 AD（如果運(yùn)算結(jié)果有根號(hào)，請(qǐng)保留根號(hào)）． （ 2）已知距觀測(cè)點(diǎn) D處 200海里范圍內(nèi)有暗礁．若巡邏船 A沿直線 AC去營(yíng)救船 C，在去營(yíng)救的途中有無(wú)觸暗礁危險(xiǎn)？（參考數(shù)據(jù)： ≈ ， ≈ ） 【考點(diǎn)】 解直角三角形的應(yīng)用 方向角問(wèn)題． 【分析】 （ 1）作 CE⊥AB 于點(diǎn) E，則 ∠ABC=45176。 ， ∠ADC=75176。 ，設(shè) AE=x海里， ∵ 在 Rt△AEC 中， CE=AE?tan60176。 ． 過(guò)點(diǎn) D作 DF⊥AC 于點(diǎn) F，設(shè) AF=y，則 DF=CF= y， ∴AC=y+ y=200 ，解得 y=100（ 3﹣ ）， ∴AD=2y=200 （ 3﹣ ）． 答： A與 C之間的距離 AC為 200 海里， A與 D之間的距離 AD為 200（ 3﹣ ）海里； （ 2） ∵ 由（ 1）可知， DF= AF= 100 （ 3﹣ ） ≈219 ． ∵219 ＞ 200， ∴ 巡邏船 A沿直線 AC去營(yíng)救船 C，在去營(yíng)救的途中有無(wú)觸暗礁危險(xiǎn)． 23． △ABC 為等邊三角形，邊長(zhǎng)為 a， DF⊥AB ， EF⊥AC ， （ 1）求證： △BDF∽△CEF ； （ 2）若 a=4，設(shè) BF=m，四邊形 ADFE面積為 S，求出 S與 m之間的函數(shù)關(guān)系，并探究當(dāng) m為何值時(shí) S取最大值； （ 3）已知 A、 D、 F、 E四點(diǎn)共圓，已知 tan∠EDF= ，求此圓直徑． 【考點(diǎn)】 相似形綜合題；二次函數(shù)的最值；等邊三角形的性質(zhì)；圓周角定理；解直角三角形． 【分析】 （ 1）只需找到兩組對(duì)應(yīng)角相等即可． （ 2）四邊形 ADFE面積 S可以看成 △ADF 與 △AEF 的面積之和，借助三角函數(shù)用 m表示出 AD、DF、 AE、 EF的長(zhǎng)，進(jìn)而可以用含 m的代數(shù)式表示 S，然后通過(guò)配方，轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，就可以解決問(wèn)題． （ 3）易知 AF 就是圓的直徑，利用圓周角定理將 ∠EDF 轉(zhuǎn)化為 ∠EAF ．在 △AFC 中，知道tan∠EAF 、 ∠ C、 AC，通過(guò)解直角三角形就可求出 AF長(zhǎng)． 【解答】 解：（ 1） ∵DF⊥AB ， EF⊥AC ， ∴∠BDF=∠CEF=90176。 ， ∴sin60176。 ， ∴ =tan60176。 ， 然后根據(jù)三角函數(shù)的定義就可求出 tan∠BAC 的值； （ Ⅱ ）過(guò)點(diǎn) P作 PG⊥y 軸于 G，則 ∠PGA=90176。 ， BC= ． 同理： ∠ACO=45176。=90176。 ． 若點(diǎn) G在點(diǎn) A的下方， ① 如圖 2① ，當(dāng) ∠PAQ=∠CAB 時(shí)，則 △PAQ∽△CAB ． ∵∠PGA=∠ACB=90176。 ． 設(shè)點(diǎn) P的橫坐標(biāo)為 x，由 P在 y軸右側(cè)可得 x＞ 0，則 PG=x． ∵PQ⊥PA ， ∠ACB=90176。 ﹣ 45176。 ．若點(diǎn) G 在點(diǎn) A 的下方， ① 當(dāng) ∠PAQ=∠CAB 時(shí)，△PAQ∽△CAB ．此時(shí)可證得 △PGA∽△BCA ，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得 AG=3PG=3x．則有 P（ x， 3﹣ 3x），然后把 P（ x， 3﹣ 3x）代入拋物線的解析式，就可求出點(diǎn) P的坐標(biāo) ② 當(dāng) ∠PAQ=∠CBA時(shí)， △PAQ∽△CBA ，同理，可求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)；若點(diǎn) G 在點(diǎn) A 的上方，同理 ，可求出點(diǎn) P的坐標(biāo)； 【解答】 解：（ Ⅰ ）把 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）代入 y= x2+mx+n，得 ， 解得： ． ∴ 拋物線的解析式為 y= x2﹣ x+3． 聯(lián)立 ， 解得： 或 ， ∴ 點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 4， 1）． 過(guò)點(diǎn) B作 BH⊥x 軸于 H，如圖 1． ∵C （ 3， 0）， B（ 4， 1）， ∴BH=1 ， OC=3， OH=4， CH=4﹣ 3=1， ∴BH=CH=1 ． ∵∠BHC=90176。 ， ∴AF= = ． ∴ 此圓直徑長(zhǎng)為 ． 24．如圖，拋物線 y= x2+mx+n與直線 y=﹣ x+3 交于 A， B 兩點(diǎn)，交 x軸與 D， C兩點(diǎn)，連接 AC， BC，已知 A（ 0， 3）， C（ 3， 0）． （ Ⅰ ）求拋物線的解析式和 tan∠BAC 的值； （ Ⅱ ）在（ Ⅰ ）條件下， P為 y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接 PA，過(guò)點(diǎn) P作 PQ⊥PA 交 y軸于點(diǎn) Q，問(wèn)：是否存在點(diǎn) P使得以 A， P， Q為頂點(diǎn)的三角形與 △ACB 相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn) P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)綜合題． 【分析】 （ Ⅰ ）只需把 A、 C 兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y= x2+mx+n，就可得到拋物線的解析式，然后求出直線 AB 與拋物線的交點(diǎn) B 的坐標(biāo)，過(guò)點(diǎn) B 作 BH⊥x 軸于 H，如圖 1．易得∠BCH=∠ACO=45176。= = ． ∵BF=m ， ∴DF= m， BD= ． ∵AB=4 ， ∴AD=4 ﹣ ． ∴S △ADF = AD?DF = （ 4﹣ ） m =﹣ m2+ m． 同理： S△AEF = AE?EF = （ 4﹣ ） （ 4﹣ m） =﹣ m2+2 ． ∴S=S △ADF +S△AEF =﹣ m2+ m+2 =﹣ （ m2﹣ 4m﹣ 8） =﹣ （ m﹣ 2） 2+3 ．其中 0＜ m＜ 4． ∵ ﹣ ＜ 0， 0＜ 2＜ 4， ∴ 當(dāng) m=2時(shí)， S取最大值，最大值為 3 ． ∴S 與 m之間的函數(shù)關(guān)系為： S═ ﹣ （ m﹣ 2） 2+3 （其中 0＜ m＜ 4）． 當(dāng) m=2時(shí)， S取到最大值，最大值為 3 ． （ 3）如圖 2， ∵A 、 D、 F、 E四點(diǎn)共圓， ∴∠EDF=∠EAF ． ∵∠ADF=∠AEF=90176。 ． ∵∠BDF=∠CEF ， ∠B=∠C ， ∴△BDF∽△CEF ． （ 2） ∵∠BDF=90176。 ， ∠ADC=75176。 ．過(guò)點(diǎn) D作 DF⊥AC 于點(diǎn) F，設(shè) AF=y，則 DF=CF= y，根據(jù) AC=y+ y=200 求出 y的值，故可得出 AD的長(zhǎng)，進(jìn)而得出結(jié)論； （ 2）根據(jù)（ 1）中的結(jié)論得出 DF的長(zhǎng)，再與 200相比較即可． 【解答】 解：（ 1）作 CE⊥AB 于點(diǎn) E，則 ∠ABC=45176。 ，設(shè) AE=x海里，在 Rt△AEC 中，CE=AE?tan60176。 ． ∴BE=AB ﹣ AE=10﹣ 6=4， 在 Rt△BDE 中，由勾股定理得， DE2+BE2=BD2， 即 CD2+42=（ 8﹣ CD） 2， 解得： CD=3， 在 Rt△ACD 中，由勾股定理得 AC2+CD2=AD2， 即 32+62=AD2， 解得： AD= ． 20．如圖，在由邊長(zhǎng)為 1 的小正方形組成的網(wǎng)格圖中有 △ABC ，建立平面直角坐標(biāo)系后，點(diǎn)O的坐標(biāo)是（ 0， 0）． （ 1）以 O 為位似中心，作 △A′B′C′∽△ABC ，相似比為 1： 2，且保證 △A′B′C′ 在第三象限； （ 2）點(diǎn) B′ 的坐標(biāo)為（ ﹣ 2 ， ﹣ 1 ）； （ 3）若線段 BC上有一點(diǎn) D，它的坐標(biāo)為（ a， b），那么它的對(duì)應(yīng)點(diǎn) D′ 的坐標(biāo)為（ ﹣ ， ﹣ ）． 【考點(diǎn)】 作圖 位似變換． 【分析】 （ 1）利用位似圖形