【正文】 6．設(shè)與相互獨(dú)立，已知服從（0 ，1）上的均勻分布，服從指數(shù)分布e(3).試求, 的概率密度．解 因即其概率密度及分布函數(shù)分別為， 即其概率密度及分布函數(shù)分別為 (1) 的分布函數(shù)為 故 （2）的分布函數(shù)為故 1．盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只．以X表示取到黑球的只數(shù)，以表示取到紅球的只數(shù)．求隨機(jī)變量在條件下的條件分布．解 條件分布的公式為，得依次為依次為依次為2．將一顆骰子連擲兩次，令為第一次擲出的點(diǎn)數(shù)，為兩次擲出的最大點(diǎn)數(shù)，求隨機(jī)變量條件下的條件分布．解 條件分布的公式為 ，得3．已知的聯(lián)合密度函數(shù)，求兩個(gè)條件密度與 ．（1）（2）（3）（4）解（1） 于是，有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)（2）于是，有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)（3）可以求得于是，有當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)（4）先求兩個(gè)邊緣密度函數(shù)從而可得 綜合練習(xí)三一、填空題，以分別表示兩次所出現(xiàn)的正面次數(shù)，則的聯(lián)合概率分布為（ ）.X 0 1 0 1 （X,Y）的聯(lián)合概率分布為 Y －1 1 2 X 0 1 2 0 則（ ）. ，令，則的聯(lián)合概率分布為（ 0 1 ）. 0 1 （X,Y）的聯(lián)合分布律為 X Y 0 1 0 1 則 （ ）， b ＝（ ）.，則（ 8 ）.， 且與相互獨(dú)立, 則隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù) ( ).，且的分布律為 X 0 1 P 則隨機(jī)變量的分布律為（ ）.（X,Y）的聯(lián)合概率分布為 Y 0 1 X 0 1 2 則隨機(jī)變量的概率分布律為（ ）.，且，則服從的分布是（ ）.，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，即，則的概率密度函數(shù)為（ ）.二、選擇題 X Y 0 1 0 1 則（ (c) ）. 2. 設(shè)二維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，則的聯(lián)合密度函數(shù)（ (b) ）.(a) (b) (c) (d ) ，則系數(shù)（ (b) ）。解 （1）X 的邊緣密度函數(shù)Y 的邊緣密度函數(shù)；（2）由于，所以與不獨(dú)立。設(shè)隨機(jī)變量，求Z的概率分布和分布函數(shù)． 解 因?yàn)閄與Y相互獨(dú)立，所以的聯(lián)合概率密度函數(shù)為即Z的概率分布為Z的分布函數(shù)為 1．設(shè)10個(gè)零件中有3個(gè)不合格． 現(xiàn)任取一個(gè)使用，若取到不合格品，則丟棄重新抽取一個(gè)，試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解 可得的概率分布為于是的數(shù)學(xué)期望為 2．.某人有n把外形相似的鑰匙，其中只有1把能打開房門，但他不知道是哪一把，只好逐把試開．求此人直至將門打開所需的試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解 可得的概率分布為于是的數(shù)學(xué)期望為 3．，若記失敗次數(shù)為X，求X 的數(shù)學(xué)期望。若一周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障仍可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生兩次故障所獲利潤(rùn)0元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元。試求隨機(jī)變量的協(xié)方差..解 因相互獨(dú)立且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 于是，的協(xié)方差為，.解 由題設(shè)知?jiǎng)t 1．設(shè)X是擲一顆骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，若給定e=1，2 ，實(shí)際計(jì)算并驗(yàn)證切比雪夫不等式成立． 解 因X的概率函數(shù)為所以可見切比雪夫不等式成立。解 （1）因的分布律為故 于是 (2) 因的概率分布為可得的數(shù)學(xué)期望為，又 于是 （3）由題意，則的方差為 求的方差.解故，且由統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)知，5分鐘內(nèi)的平均等車人數(shù)為6人,求.解 由題設(shè)知，隨機(jī)變量的期望為，則泊松分布的參數(shù)，于是的方差，故((1)設(shè),求.(2)設(shè),求解 由隨機(jī)變量的密度函數(shù)可知，服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則，則（1）（2）又 故有 14*.設(shè)隨機(jī)變量X和Y同分布，均具有概率密度令已知A與B相互獨(dú)立，：（1）a的值.（2）的數(shù)學(xué)期望. 解 由題意知故于是由及A與B相互獨(dú)立知 解得 (2) 1. 設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為求.解 （X,Y）的聯(lián)合概率密度為試求.解 ,Y的概率密度分別為求.解 由的密度函數(shù)可知，分別服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則 ， 于是 ，且，求解 由數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)知 又由相互獨(dú)立可得 于是有 5將一顆均勻的骰子連擲10次，求所得點(diǎn)數(shù)之和的數(shù)學(xué)期望及方差。解 設(shè)該地每年因交通事故死亡的人數(shù)為，即 于是的數(shù)學(xué)期望為 所以地每年因交通事故死亡的平均人數(shù)為4人。（4）當(dāng)0x1時(shí)令 ，說(shuō)明當(dāng)x增大時(shí)，此條件概率增大。10*.若的聯(lián)合密度函數(shù)為，則條件密度（ (a) ）.(a) (b) (c) (d ) 三、解答題1. 某高校學(xué)生會(huì)共有8名成員，其中來(lái)自會(huì)計(jì)學(xué)院2名，來(lái)自金融學(xué)院和工商管理學(xué)院各3名，現(xiàn)從8名成員中隨機(jī)指定3名擔(dān)任學(xué)生會(huì)主席和副主席，設(shè)分別為主席和副主席來(lái)自會(huì)計(jì)學(xué)院和金融學(xué)院的人數(shù)．求（1）的聯(lián)合分布；（2）邊緣分布．解 (1) 的聯(lián)合分布為（2）邊緣分布為．YX0123012000 2．設(shè)二連續(xù)型維隨機(jī)變量在區(qū)域內(nèi)服從均勻分布，試求的分布函數(shù)及邊緣概率密度函數(shù)，判斷隨機(jī)變量 與的獨(dú)立性。4. 從（0,1）中任取兩個(gè)數(shù)，求下列事件的概率 （1）.（2）.解 設(shè)從（0,1）中任取兩個(gè)數(shù)分別記為X，Y，則X和Y相互獨(dú)立，且都服從（0,1）上的均勻分布，由此（X，Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為x+y=xyoSA (1) 用A表示“”事件，則所求事件的概率，如右圖陰影部分面積SA與正方型面積SΩ之比，即xy=xyoSB(2)用B表示“”事件，則所求事件的概率，如右圖陰影部分面積SB與正方型面積SΩ之比，于是5．甲、乙相約9：10在車站見面．假設(shè)甲、乙到達(dá)車站的時(shí)間分別均勻分布在9：00 ～ 9：30及9：10 ～ 9：50之間，且兩人到達(dá)的時(shí)間相互獨(dú)立．求下列事件的概率：（1） 甲后到；（2） 先到的人等后到的人的時(shí)間不超過(guò)10分鐘．解 設(shè)甲和乙到達(dá)車站的時(shí)間分別為隨機(jī)變量和，則由題知，和的邊緣密度分別為， 又因?yàn)楹拖嗷オ?dú)立，所以聯(lián)合概率密度為由的聯(lián)合密度函數(shù)可知二維隨機(jī)變量在矩形區(qū)域內(nèi)服從均勻分布。2. 設(shè)已知的分布列分別為Y01PX01P且． 試問(wèn)是否獨(dú)立？解 設(shè)（X ，Y）的聯(lián)合分布列為YX01pi現(xiàn)按考試成績(jī)從高分到低分依次錄用2500人，試問(wèn)被錄用者中最低分為多少？解 用隨機(jī)變量X表示考試成績(jī)，則則有 ，整理后得解方程組得 設(shè)錄用者中最低分?jǐn)?shù)為a，則有，即，查表得a=可見。2．一條公共汽車路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車經(jīng)過(guò)每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過(guò)，遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn)，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過(guò)的路口信號(hào)燈數(shù)目X的概率分布（不計(jì)其他因素停車）．解 X可以取0，1，2，3，4. , 3．一盒中有6個(gè)球，在這6個(gè)球上標(biāo)注的數(shù)字分別為3，3,1,1,1,2，現(xiàn)從盒中任取一球，試取得的球上標(biāo)注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù)．解 的全部可能取值為3,1,3 1 2 故的分布函數(shù)為4．據(jù)調(diào)查有同齡段的學(xué)生，他們完成一道作業(yè)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，單位為小時(shí)．它的密度函數(shù)為（1）確定常數(shù)；（2）寫出的分布函數(shù)；（3）試求出在20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的概率；（4）試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率．解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有　　　　　 　由，有　　　　　　　　 ?。?）X的分布函數(shù)為（3） P{ 20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的}= (4) P{10分鐘以上完成一道作業(yè)}=5. 某工廠為了保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工．如果各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，試在以下各種情況下，求設(shè)備發(fā)生故障而不能及時(shí)修理的概率．（1）一名維修工負(fù)責(zé)20臺(tái)設(shè)備．（2）3名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備．（3）10名維修工負(fù)責(zé)500臺(tái)設(shè)備． 解 (1) 由題意,用X表示20臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為 (2) 用Y表示90臺(tái)設(shè)備中同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，則用參數(shù)的泊松分布作近似計(jì)算，得所求概率為由這一結(jié)論說(shuō)明，在這種情況下不但所求概率比（1）中有所降低，而且3名維修工負(fù)責(zé)90臺(tái)設(shè)備相當(dāng)于每個(gè)維修工負(fù)責(zé)30臺(tái)設(shè)備，工作效率顯然高于（1）中，是（1）。而三個(gè)元件的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則故4．設(shè)隨機(jī)變量的密度為試求（1） 常數(shù)；（2）的分布函數(shù)．解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有　　　　　 　(2)　由，有　　　　　　　　 　于是，X的分布函數(shù)為.5．已知連續(xù)隨機(jī)變量的密度為（1） 求的分布函數(shù)；（2） 計(jì)算 , ．解 (1)由分布函數(shù)的定義，有 　　　　　　 　 　　 6．設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定、并求 ． 解　因X為連續(xù)型隨機(jī)變量，故其分布函數(shù)在上連續(xù)，從而解得 　于是　　　　　　 　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　 1．設(shè)隨機(jī)變量在[2，5]上服從均勻分布．現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率．解 因?yàn)殡S機(jī)變量X服從均勻分布，故其密度函數(shù)為 易得 設(shè)A表示“對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，至少有兩次的觀測(cè)值大于3的”事件，則2．設(shè)隨機(jī)變量服從 [0 ，5] 上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程 = 0有實(shí)數(shù)根的概率．解 的二次方程有實(shí)根的充要條件是它的判別式　　　　 即　　 　解得　　或由假設(shè)，在區(qū)間上服從均勻分布，其概率密度為