高一數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)(文件)
【正文】 x cos x ) ＋ ( 2 cos2x － 1 ) ＝ 3 si n 2 x ＋ cos 2 x ＝ 2si n ( 2 x ＋π6) ． 運(yùn)用兩角和、差、二倍角正、余弦三角函數(shù)公式先對(duì) f ? x ? 進(jìn) 行化簡 所以函數(shù) f ( x ) 的最小正周期為 π. 利用公式 T ＝2π|ω |求得 f ( x ) 的最小正周期 因?yàn)?f ( x ) ＝ 2si n ( 2 x ＋π6) 在區(qū)間 [ 0 ，π6] 上為增函數(shù) ， 在區(qū)間 [π6，π2] 上為減函數(shù) ， 判斷 f ( x ) 在 [ 0 ，π2] 上的單調(diào)變化規(guī)律 又 f ( 0 ) ＝ 1 ， f (π6) ＝ 2 ， f (π2) ＝－ 1 ， 求出 f ( x ) 在 [ 0 ，π2] 上的極值及區(qū) 間端點(diǎn)的函數(shù)值 所以函數(shù) f ( x ) 在區(qū)間 [ 0 ，π2] 上的最大值為 2 ， 最小值為 － 1. 總結(jié)過程，呈現(xiàn)結(jié)論 ( 2 ) 由 ( 1 ) 可知 f ( x0) ＝ 2si n ( 2 x0＋π6) ． 又因?yàn)?f ( x0) ＝65， 所以 si n ( 2 x0＋π6) ＝35. 對(duì)條件 f ( x0) ＝65化簡 由 x0∈ [π4，π2] ， 得 2 x0＋π6∈ [2π3，7π6] ． 從而 c os ( 2 x0＋π6) ＝－ 1 － si n2? 2 x0＋π6? ＝－45. 求出 cos ? 2 x0＋π6? ，將函數(shù)名稱與要求值函數(shù)化為一致 所以 c os 2 x0＝ c os [( 2 x0＋π6) －π6] ＝ cos ( 2 x0＋π6) cos π6＋ si n ( 2 x0＋π6) si n π6＝3 － 4 310. 通過角的配湊，實(shí)現(xiàn)已知與未知的轉(zhuǎn)化，得出答案 求三角函數(shù)的最值問題，常用方法有：①轉(zhuǎn)化為關(guān)于弦的一次型函數(shù)，利用 sin x， cos x的有界性；②轉(zhuǎn)化為關(guān)于弦的二次型函數(shù)；③分式形式可考慮用基本不等式；④數(shù)形結(jié)合；⑤單調(diào)性；⑥求導(dǎo)數(shù)． 變式探究 11 ： ( 2 010 年高考北京卷 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 cos 2 x ＋ s i n 2 x － 4cos x ， ( 1 ) 求 f ( π3 ) 的 值 ； ( 2 ) 求 f ( x ) 的最大值和最小值 ． 解： ( 1 ) f (π3) ＝ 2c os 2π3＋ ( si n π3)2－ 4cos π3 ＝－ 1 ＋34－ 2 ＝－94. ( 2 ) ∵ f ( x ) ＝ 2 ( 2cos2x － 1 ) ＋ ( 1 － cos2x ) － 4 cos x ＝ 3cos2x － 4cos x － 1 ＝ 3 ( cos x －23)2－73， x ∈ R . 又 cos x ∈ [ － 1 ,1] ， ∴ 當(dāng) cos x ＝－ 1 時(shí) ， f ( x ) 取得最大值 6 ； 當(dāng) cos x ＝23時(shí) ， f ( x ) 取得最小值 －73. 三角函數(shù)的周期性、奇偶性 【例 2 】 已知函數(shù) f ( x ) ＝ 2 si n x4cos x4－ 2 3 si n2 x4＋ 3 ， ( 1 ) 求函數(shù) f ( x ) 的最小正周期及最值 ； ( 2 ) 令 g ( x ) ＝ f ( x ＋π3) ， 判斷函數(shù) g ( x ) 的奇偶性 ， 并說明理由 ． 思路點(diǎn)撥 ： ( 1 ) 先化簡函數(shù) f ( x ) 為 A s i n ( ωx ＋ φ ) 的形式，然后依據(jù)公式求周期，利用 s i n x的有界性求最值 ． ( 2 ) 化簡 g ( x ) ，再用定義判斷 g ( x ) 的奇偶性 ． 解： ( 1 ) ∵ f ( x ) ＝ si n x2＋ 3 ( 1 － 2 si n2x4) ＝ si n x2＋ 3 cos x2＝ 2si n (x2＋π3) ， ∴ f ( x ) 的最小正周期 T ＝2π12＝ 4 π . 當(dāng) s in (x2＋π3) ＝－ 1 時(shí) ， f ( x ) 取得最小值 － 2 ； 當(dāng) si n (x2＋π3) ＝ 1 時(shí) ， f ( x ) 取得最大值 2. ( 2 ) 由 ( 1 ) 知 f ( x ) ＝ 2si n (x2＋π3) ， 又 g ( x ) ＝ f ( x ＋π3) ， ∴ g ( x ) ＝ 2si n [12( x ＋π3) ＋π3] ＝ 2si n (x2＋π2) ＝ 2cos x2. ∵ g ( － x ) ＝ 2cos ( －x2) ＝ 2cos x2＝ g ( x ) ， ∴ 函數(shù) g ( x ) 是偶函數(shù) ． 求三角函數(shù)的周期時(shí)，要先對(duì)解析式進(jìn)行化簡，化為 y ＝ A s i n ( ωx ＋ φ ) 或 y＝ A t an ( ωx ＋ φ ) 的形式，再利用公式 T ＝ 2π|ω |或 T ＝ π|ω |求解 ． 有時(shí)也可根據(jù)函數(shù)的圖象，通過觀察求得周期 ．
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