【正文】 無限延展，向左向下無限延展， 所以，據(jù)圖可知，在圖象上任取一點 A，連 OA， 過原點作 OA 的垂線 OB 必與 y=ex﹣ 2 的圖象相交，即一定存在點 B，使得 OB⊥ OA 成立， 故 M={（ x， y） |y=2x﹣ 2}是 “垂直對點集 ”．故 ③ 符合題意； 對于 ④ ： M={x， y） |y=log2x}，對于函數(shù) y=log2x， 過原點做出其圖象的切線 OT（切點 T 在第一象限）， 則過切點 T 做 OT 的垂線，則垂線必不過原點， 所以對切點 T，不存在點 M，使得 OM⊥ OT， 所以 M={（ x， y） |y=log2x}不是 “垂直對點集 ”；故 ④ 不符合題意． 故選： D． 【點評】 本題考查 “垂直對點集 ”的判斷，是中檔題，解題時要認真審題，注意函數(shù)性質(zhì)的合理運用． 12．定義在（ 1， +∞ ）上的函數(shù) f（ x）滿足下列兩個條件：（ 1）對任意的 x∈（ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立； （ 2）當 x∈ （ 1， 2]時， f（ x） =2﹣ x；記函數(shù) g（ x） =f（ x）﹣ k（ x﹣ 1），若函數(shù) g（ x）恰有兩個零點，則實數(shù) k 的取值范圍是（ ） A． [1， 2） B． C． D． 【考點】 函數(shù)零點的判定定理． 【分析】 根據(jù)題中的條件得到函數(shù) 的解析式為： f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]，又因為 f（ x） =k（ x﹣ 1）的函數(shù)圖象是過定點（ 1， 0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)的范圍即可 【解答】 解：因為對任意的 x∈ （ 1， +∞ ）恒有 f（ 2x） =2f（ x）成立，且當 x∈ （ 1， 2]時， f（ x） =2﹣ x 所以 f（ x） =﹣ x+2b， x∈ （ b， 2b]． 由題意得 f（ x） =k（ x﹣ 1）的函數(shù)圖象是過定點（ 1， 0）的直線， 如圖所示紅色的直線與線段 AB 相交即可（可以與 B 點重合但不能與 A 點重合） 所以可得 k 的范圍為 故選 C． 【點評】 解決此類問 題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學的一個重要數(shù)學思想，是解決數(shù)學問題的必備的解題工具． 二、填空題 13．若兩個非零向量 滿足 ，則向量 與 的夾角是 120176。 ． 【考點】 數(shù)量積表示兩個向量的夾角． 【分析】 將已知等式 平方得到 的模的關(guān)系及 ，然后利用向量的數(shù)量積公式求出 的夾角． 【解答】 解： ∵ = = ∴ ， ∴ （ + ） ?（ ﹣ ） =﹣ 2| |2， 設(shè) 的夾角為 θ cosθ= ∵ θ∈ [0176。 【點評】 求兩個向量的夾角，一般利用向量的數(shù)量積公式來求出夾角的余弦，進一步求出夾角，但一定注意向量夾角的范圍為 [0176。 Q 是 AD 的中點． PA=PD， ∴ BD=AD=AB， PQ⊥ AD， ∴ BQ⊥ AD， ∵ PQ∩ BQ=Q， ∴ AD⊥ 平面 PBQ， ∵ AD? 平面 PAD， ∴ 平面 PQB⊥ 平面 PAD． 解：（ 2） ∵ 平面 APD⊥ 平面 ABCD，且 PA=PD=AD=2，點 M 在線段 PC 上且滿足 PC=3PM， ∴ 以 Q 為原點， QA 為 x 軸， QB 為 y 軸， QP 為 z 軸，建立空間直角坐標系， Q（ 0， 0， 0）， B（ 0， ， 0）， P（ 0， 0， ）， C（﹣ 2， ， 0）， M（﹣， ， ）， =（ 0， ， 0）， =（﹣ ， ， ）， 設(shè)平面 BQM 的法向量 =（ x， y， z）， 則 ，取 z=1，得 =（ ）， 平面 BQC 的法向量 =（ 0， 0， 1）， 設(shè)二面角 M﹣ BQ﹣ C 的平面角為 θ， 則 cosθ= = ， θ=60176。（ x）單調(diào)遞增， x∈ （ 1， +∞ ）， F39。（ x）單調(diào)遞增， x∈ （ 1， +∞ ）， F39。 ． ∴ l 的斜率 k=177。（ x）單調(diào)遞減， ∴ F（ x） max=F（ 1） =2 （ 2 ）不妨設(shè) x1 ＜ x2 ，要證（ x1+x2 ） g （ x1+x2 ） ＞ 2 ，只需證， ， ∵ ， ∴ ，即 ， ∴， 令 ， x ∈ （ x1 ， + ∞ ）．只需證， ，令 ，則 ， G（ x）在 x∈ （ x1， +∞ ）單調(diào)遞增． G（ x） ＞ G（ x1） =0， ∴ H′（ x） ＞ 0， ∴ H（ x）在 x∈ （ x1， +∞ ）單調(diào)遞增． H（ x） ＞ H（ x1） =0， H（ x） =（ x+x1） ln ﹣ 2（ x﹣ x1） ＞ 0， ∴ （ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2． 【點評】 本題考查導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．對數(shù)學思維的要求比較高，有 一定的探索性．綜合性強，難度大，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答． 請考生在 2 23 題中任選一題作答【選修 44：坐標系與參數(shù)方程】 22．（ 10 分）（ 2020?新課標 Ⅱ ）在直角坐標系 xOy 中，圓 C 的方程為（ x+6）2+y2=25． （ Ⅰ ）以坐標原點為極點， x 軸正半軸為極軸建立極坐標系，求 C 的極坐標方程； （ Ⅱ ）直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， l 與 C 交與 A， B 兩點，|AB|= ，求 l 的斜率． 【考點】 圓的標準方程；直線與圓相交的性質(zhì)． 【分析】 （ Ⅰ ）把圓 C 的標準方程化為一般方程，由此利用 ρ2=x2+y2， x=ρcosα，y=ρsinα，能求出圓 C 的極坐標方程． （ Ⅱ ）由直線 l 的參數(shù)方程求出直線 l 的一般方程，再求出圓心到直線距離，由此能求出直線 l 的斜率． 【解答】 解：（ Ⅰ ） ∵ 圓 C 的方程為（ x+6） 2+y2=25， ∴ x2+y2+12x+11=0， ∵ ρ2=x2+y2， x=ρcosα， y=ρsinα， ∴ C 的極坐標方程為 ρ2+12ρcosα+11=0． （ Ⅱ ） ∵ 直線 l 的參數(shù)方程是 （ t 為參數(shù)）， ∴ t= ，代入 y=tsinα，得：直線 l 的一般方程 y=tanα?x， ∵ l 與 C 交與 A， B 兩點， |AB|= ，圓 C 的圓心 C（﹣ 6， 0），半徑 r=5， ∴ 圓心 C（﹣ 6， 0）到直線距離 d= = ， 解得 tan2α= ， ∴ tanα=177。（ x）單調(diào)遞減，由此能求出 F（ x） =f（ x）﹣ g（ x）的最大值． （ 2）設(shè) x1＜ x2，要證（ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2，只需證 ，由此入手，能夠證明（ x1+x2） g（ x1+x2） ＞ 2． 【解答】 解：（ 1） ∵ ， ， x∈ （ 0， 1）， F39。． 【點評】 本題考查面面垂直的證明，考查二面角的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 19．（ 12 分）（ 2017?長沙模擬）近年來我國電子商務(wù)行業(yè)迎來發(fā)展的新機遇． 2020年 618 期間，某購物平臺的銷售業(yè)績高達 516 億人民幣．與此同時，相關(guān)管理部門推出了針對電商的商品和服務(wù)的評價體系．現(xiàn)從評價系統(tǒng)中選出 200 次成功交易，并對其評價進行統(tǒng)計，對商品的好評率為 ，對服務(wù)的好評率為 ，其中對商品和服務(wù)都做出好評的交易為 80 次． （ Ⅰ ） 先完成關(guān)于商品和服務(wù)評價的 2 2 列聯(lián)表，再判斷能否在犯錯誤的概率不超過 的前提下，認為商品好評與服務(wù)好評有關(guān)？ （ Ⅱ ）若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的 3 次購物中，設(shè)對商品和服務(wù)全好評的次數(shù)為隨機變量 X： ① 求對商品和服務(wù)全好評的次數(shù) X 的分布列； ② 求 X 的數(shù)學期望和方差． 附臨界值表： P（ K2≥ k） k