【正文】 也在點處相切.106. 如圖，、外離，它們的一條外公切線與、分別切于點A、B，一條內(nèi)公切線與、分別切于點C、D. 設(shè)E是直線AC、BD的交點，F(xiàn)是上的一點，過F作的切線與線段EF的中垂線交于點M，過M作MG切與點G. 求證：MF=MG. (2015年第14屆中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克 付云皓供題)證明：如圖，直線、交于點連接、. 設(shè)、分別是線段、的中點，連接、. ∵ 、是的切線，故平分，且. 同理平分，且. ∵、分別是的內(nèi)角平分線和外角平分線，∴. 又∵，. ∴. 而，. 得：點對、以及以點為圓心，0為半徑的圓的冪相等. 同理，點對、以及以點為圓心，0為半徑的圓的冪也相等. ∴這三個圓必有一條公共的根軸. 而在的中垂線上，∴. 又∵是的切線. ∴在這三個圓的公共根軸上，再∵是的切線. ∴. 107. 如圖，在中，為的內(nèi)心. 以為半徑作，以為半徑作，過點、的圓與、分別交于點、(不同于點). 設(shè)與交于點. 證明：. (2017年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試題) 如圖，設(shè)、三點確定圓，與交于點（若兩圓相切，則視作點與重合，直線視為兩圓的公切線）. 對圓、圓應(yīng)用根心定理，有、三線共點于. 從而，、三點共線. ∴. 又∵，類似地，于是. 而，. 則=. ∴. 108. 如圖，在銳角中，、分別是邊、的中點. 的外接圓與外接圓交于點P（異于點E），的外接圓與的外接圓交于點Q(異于點D). 求證：. (2014年第13屆中國女子數(shù)學(xué)奧林匹克 付云皓) 證明：由題目的條件可知：△ADE與△ABC位似，且位似中心為點A，∴△ADE的外接圓與△ABC的外接圓相切于點A，過點A作這兩個圓的公切線AM，則是這兩個圓的根軸. 根據(jù)蒙日定理（即根心定理）且，可知直線、交于一點，且直線、交于一點，∴直線、交于點. 由切線的性質(zhì)可得，∴. 。. 過點T作TH⊥DE于點H，于是，D、F、T、H和H、T、G、E分別四點共圓， 記兩圓為⊙S1和⊙S2. 又∠FDG＝180176。－∠BOC＝180176。BE. 所以F，D，E，G四點共圓，記此圓為⊙M3. 易見，⊙M⊙M⊙M3兩兩之間的公共弦恰為PH，EG，F(xiàn)D.由根心定理知，這三條根軸交于一點. 又已知直線DF和EG交于點B，因此，直線PH過點B. 由PH⊥DE，知BP⊥DE.證法2：記BP的中點為O. 因為∠BFP＝90176。OQ＝OA2，即點O對圓S1的冪為OA2. 同理，點O對圓S2的幕為OB2. 注意到OA＝OB，有點O對圓S1與圓S2的冪相等. 故O在圓S1與圓S2的根軸PE上. 所以，O，P，E三點共線. 98. 在凸五邊形ABCDE中，AB＝BC，∠BCD＝∠EAB＝90176。EA＝EB只需證A，P為△AMN，△AEF外接圓的等冪點即可. 注意到A為兩圓公共點，而由E，F(xiàn)、N，M四點共圓知PM知AH、AO分別為△AMN，△AEF外接圓的直徑. 過AH中點H39。AB＝AN∠ACB，即∠ABC＝∠ACB， 所以，AC＝AB故△ABC是等腰二角形，BC為底邊由于△OBH≌OCH，所以，OH平分∠BOC. 從而，OH⊥BC于D，易證Rt△BOM∽Rt△BHD則＝＝＝2，所以＝＝2故AB∶AC∶BC＝2∶2 ∶1， 由余弦定理：cosA＝.90. 試證：的垂心與其外接圓上的點的連線被其九點圓平分. 證明：如圖，過垂心作外接圓的兩條弦，連，. 設(shè)，分別為，的中點，則，. 又，則. 故，四點共圓，由，的任意性，得與外接圓上任意點連線的中點在同一圓上，由于這個圓過，的中點，故這個圓就是的九點圓，從而命題獲證. 91. 如圖，在中，是邊上的高，分別是，兩邊的中點，設(shè)直線通過點，且在上的射影為，連與交于點. 求證：，四點共圓，且其圓心與點均在的九點圓上. 證明：，. 在中，為斜邊的中點，令，則. 同理，. 令，則. 于是，故. 由此，知，四點共圓. 而的外接圓即為的九點圓，即點在的九點圓上. 由，四點共圓，連，則知. 同理，. 于是，故，四點共圓. 由題設(shè)，的圓心為，連，則. 由于，四點共圓且以為其圓心，則知. 于是，有，四點共圓. 在上，即在的九點圓上，故命題獲證. 92. 已知、分別是的外接圓和內(nèi)切圓. 證明：過上的任意一點D，都可以作一個三角形DEF，使得、分別是的外接圓和內(nèi)切圓.證明：過D點作圓I的兩條切線與圓Ｏ相交于Ｅ，Ｆ，下面只需證明EF與圓Ｉ相切，即證I是△DEF的內(nèi)心，也只需證MI=ME即可.由EulerChapple公式及圓冪定理知，則.93. 在△ABC中，BC中點M，外心O，垂心H，HB、HC分別交OA于E、F，△HEF的外心為T. 求證：A，T，M三點共線.證明：易知△HEF∽△ABC，且AH為△HEF外接圓的切線 作△ABC外接圓的切線AP，則∠EAT=∠BPO. (相似三角形對應(yīng)邊所夾角相等，其中AH和AP是對應(yīng)邊)又O，M，P，A四點共圓，則∠BPO=∠EAM?∠EAT=∠EAM，故A，T，M三點共線.94. 銳角△ABC，高AD、BE、CF，EF交AD于G，EF中點M. 求證：B，C，G，M四點共圓.證明：設(shè)FE交BC與點P. 取BC的中點.由E，F(xiàn)，B，C四點共圓，得。IH＋I(xiàn)M＝(3B39。C′的外心和內(nèi)心. 所以＝k，k為△ABC與△A39。B39。B39。C39。B39。＝∠DFC′＝∠DEB′＝∠DA39。BD＝＝. 三弦定理74. 如圖已知，AC是的平分線， 且，求證：A、B、C、D四點共圓.ABCD12證明：∵，AC是的平分線，∴，從而，∵，∴，由三弦定理的逆定理，得四點A、B、C、D共圓75. 如圖，在△ABC中，ABACBC，D點在BC上，E點在BA的延長線上，且BD=BE=AC，△BDE的外接圓與△ABC的外接圓交于F點，求證：BF=AF+CF.證明：對BE、BF、BD應(yīng)用三弦定理，得，∵BD=BE=AC， ， ∴. 從而== AF+CF76. 如圖，設(shè)銳角△ABC的∠A平分線交BC于L，交△ABC的外接圓于N，自點L分別向AB和AC作垂線LK和LM，垂足為K和M，求證：△ABC的面積等于四邊形AKNM的面積. (第28屆國際數(shù)學(xué)奧林匹克競賽題)證明：設(shè)∠BAN=∠NAC=α， 由三弦定理得: ，即，∵ ∴，在直角△AKL中， ，∴，又易知，∴， 從而七、Stewart 定理77. 如圖，、為的兩條切線，切點分別為、過點的直線交于、兩點，交弦于點. 求證：.證明 由切線長定理知，應(yīng)用（★）式，有. 注意到；. 故. 78. 已知銳角的三邊、的中點分別為、在、的延長線上分別取點、. 若，證明：的外心為的垂心. 證明 如圖，設(shè)的三條高線分別為，垂心為，與交于點. 由于是的中位線，則為線段的中垂線，應(yīng)用（★）式，有. 同理，. 注意到垂心的性質(zhì)，有，及已知條件，從而. 故的垂心為的外心，即的外心為的垂心. 79. 已知、是的邊、的中點，、是邊、上的高，連結(jié)、交于點. 又設(shè)、分別是的外心、垂心，連結(jié)、. 求證：. 證明 如圖，聯(lián)結(jié)，設(shè)，分別為，的中點. 在中，；在中，于是點在線段的中垂線上，應(yīng)用（★）式，有. ①注意到為的中位線，而在的中垂線上，從而也在線段的中垂線上，應(yīng)用（★）式，有. ②又注意到，知，四點共圓，有. 而，知，四點共圓，且為其圓心，有. 于是，由①，②，③，④，并注意，有. 從而由定差冪線定理，知. 因，故. 80. 如圖，和是的割線，分別交于，且. 過的直線交于，（在與之間），交于，交于. 求證：. 證明 因為等腰三角形，注意到，知，即也為等腰三角形，應(yīng)用（★）式，有. ①由，有. 再注意到，于是，. ②又在中，有. ③將②，③代入①有. 整理，即得. 81. 設(shè)和分別是的外心和內(nèi)心，的內(nèi)切圓與邊，分別相切于點，直線與相交于點，直線與相交于點，又，分別是線段，的中點. 求證：. 對及截線應(yīng)用梅涅勞斯定理有. 注意到，則. 又為的中點，則. 又，則，即. 同理，. 又，為內(nèi)切圓半徑. 設(shè)為外接圓半徑. 對，應(yīng)用等腰三角形性質(zhì)，有，由此得即證. 82. 如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線平分于，求證：.ABCDE證明：由定理知：在中， (1)在中， (2)又，把(1)、(2)兩式相加得：.再由相交弦定理知：，代入上式得：，即：83. 設(shè)、分別為的邊、上的點，是內(nèi)一點，使得，且∽.求證：是的外接圓的切線. (2009國家集訓(xùn)隊)AEDPCB證明：由條件，有.由正弦定理，.故：.由定理，.由于，故.所以是的外接圓的切線.84. 四邊形內(nèi)接于圓，滿足且. 設(shè)點為線段上一動點，直線與圓的另一個交點為(不同與點)，點在弧上且. 設(shè)點為線段的中點，證明：當(dāng)點在線段上移動時，點在一個圓周上運(yùn)動. (2015美國)APOSBTQXM證明：由中線長公式得， ①由，利用勾股定理得，代入①得， ②將代入②得， ③在中用定理，結(jié)合及相交弦定理得，代入③得， ④設(shè)的中點為，在中用中線長公式，結(jié)合④及勾股定理得，故：，即：點在一個以為圓心，為半徑的圓周上移動.八、歐拉定理、歐拉線、歐拉圓85. 如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，分別是三邊上的切點，證明：的歐拉線平分斜邊AB.證明：如圖，聯(lián)結(jié)OA′，OB′，OC′. 直線OC交AB、A′B′于N、S， 易知四邊形A39。 　　　　　 從而∠E＝45176。BD. 故當(dāng)f(P)達(dá)最小值時，P、A、B、C四點共圓. (2) 記∠ECB＝α，則∠ECA＝2α，由正弦定理有＝＝，從而sin3α＝2sin2α， 即(3sinα－4sin3α)＝4sinαcosα，所以3－4(1－cos2α)4cosα=0，整理得:4cos2α－4cosα－＝0， 解得cosα＝或cosα＝－(舍去)，故α＝30176。CA＋PCBC＋PCP是平面上的動點，令f (P)＝PABC知，ABBD. 因此，=. 又∠BAE=∠BDC，所以△BAE∽△BDC. 因此，∠ABE=∠DBC. (2)由∠ABE=∠DBC以及∠BAE=∠BDC知，△BAE∽△BDC. 所以=，即：ABBC，且E是AC中點，所以 ABBD＝ABBD＝ECCD＝2AEBC＝ACBC＋BCCA54. 設(shè)P是△ABC內(nèi)任一點，、分別是△ABC、△PBC、△PCA、△PAB的外心. 證明：O、P關(guān)于是一對等角共軛點.ABCPO證明：如圖，聯(lián)結(jié)，ABCPO，所以平分，令，則， 故，∴，∴這表明 關(guān)于是等角線，同理，另兩角也如此，即O、P關(guān)于是一對等角共軛點. 55. 點P在△ABC外角平分線上的射影分別為，在內(nèi)角平分線上的射影分別是. 證明：三線共點.證明：過點A作的平行線AQ，因為四邊形是矩形，所以==，這表明，此平行線即為AP的等角線.記矩形的中心為，并取點P關(guān)于△ABC的等角共軛點Q，則由中位線性質(zhì)，知平分線段PQ，即經(jīng)過PQ的中點M，同理、也經(jīng)過點M，因此M即為這三線所共的點.56. 設(shè)是的外心，是的外心，直線分別交的外接圓于另一點，是關(guān)于直線的對稱點. 求證：.【析】易知，所以為垂心，與外接圓為關(guān)于對稱的等圓. 由為的外心，知為的外心，于是為等角線. 為外心，故. 57. 的內(nèi)切圓與三邊相切于，交于點，的中點為，關(guān)于的對稱點為. 求證：.【析】延長及交于點，由知共圓，從而. 又為的陪位中線，關(guān)于對稱，故，于是四點共圓，. 58. 設(shè)是的邊上的中點，是邊上另一點（異于端點），令，則的充要條件是分別過，點的的外接圓的兩切線的交點及、三點共線. 證明 充分性. 如圖，當(dāng)，三點共線時，設(shè)直線與交于點，聯(lián)結(jié)，則由∽，∽，有，即有. 對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有，即有，亦即. 注意到，則知∽，從而，故. 必要性. 如圖，當(dāng)時，設(shè)直線交的外接圓于，聯(lián)結(jié)，則由∽，有，即，亦即. 又對四邊形應(yīng)用托勒密定理，有. 于是，. 運(yùn)用三角形正弦定理，有. 延長交于點，延長交于點，則，. 從而，有. （*）由于，注意到（*）式及，則. 由塞瓦定理的逆定理，知、三線共點于，即知直線與重合. 故、三點共線. 注：其必要性也可這樣來證：如圖，由及為中點，直線交圓于，由充分性中證明，知四邊形滿足條件. （**）設(shè)過的切線與直線交于，過的切線與直線交于. 由∽，有. 于是 . 同理 . 注意到（**）式有 ，從而 ，即 . 從而與重合，亦與重合. 故、三點共線. 59. 設(shè)、是的邊上（異于端點）的兩點，令，則的充要條件是的外接圓與的外接圓內(nèi)切于點. 證明 充分性. 如圖，當(dāng)兩個外接圓內(nèi)切于點時. 過作兩圓的公切線，設(shè)的外接圓分別與，交于點，聯(lián)結(jié)，則. 從而，即有，亦即有. 故. 必要性. 如圖，設(shè)，分別為，的外心，