【微積分】體積(文件)
【正文】 ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ??? ?? 20 23 s i n)s i n( t dttta .6 33 a??dxxfxV ay )(2 20?? ??法二? ? ?????? 20 )]s i n([)c os1()s i n(2 ttadtatta? ? ???? 20 23 )c o s1)(s i n(2 dtttta.6 33 a???? ????? ??? 20 220 23 )]c os1()c os1()c os1([2 tdtdttta? ?? ?? 20 43 2s i n42 dttta ?? ?? 0 43 s i n32 u duua??? ??? 0 43 s i n232 u d ua 2tu ?令例 4 求由曲線 24 xy ?? 及 0?y 所圍成的圖形繞直線 3?x 旋轉構成旋轉體的體積 .解 取積分變量為 y ,]4,0[?y體積元素為 dyQMPMdV ][ 22 ????dyyy ])43()43([ 22 ????????,412 dyy???dyyV ? ???? 40 412 .64??3dyP Q Mxo a b2. 平行截面面積為已知的立體的體積 x dxx? 如果一個立體不是旋轉體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . )( xA 表示過點x 且垂直于 x 軸的截面面積， )( xA 為 x 的已知連續(xù)函數(shù),)( dxxAdV ? .)(?? ba dxxAV立體體積 例 5 一平面經過半徑為 R 的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角 ? ，計算這平面截圓柱體所得立體的體積 .RR?xyo解 ?取坐標系如圖 底圓方程為 222 Ryx ??垂直于 x 軸的截面為直角三角形x截面面積 ,t a n)(21)( 22 ?xRxA ??立體體積 dxxRV RR ?t a n)(21 22 ?? ?? .t a n32 3 ?R?思考 : 可否選擇 y 作積分變量 ? 此時截面面積函數(shù)是什么 ? 如何用定積分表示體積 ? ?)( yA提示 : ?ta n2 yx ?22t a n2 yRy ??? ??V ?? R0t a n2 ? yyRy d22 ?例 6 求以半徑為 R 的圓為底、平行且等于底圓直 徑的線段為頂、高為 h 的正劈錐體的體積 . 解 取坐標系如
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