第二章n維向量(文件)
【正文】 ????????????00037012132)( ??? Ar 線性相關(guān)。 推論 2：任意 m 個(gè) n 維向量線性無關(guān)的充要條件是由它們 構(gòu)成的矩陣 A= 的秩 r(A)=m。 ),2,1(),( 21 miaaa iriii ?? ???),2,1(),( 1,21 miaaaa riiriii ?? ?? ??用語言敘述為 ： 線性無關(guān)的向量，添加分量后仍舊線性無關(guān)。r??? , 21 ?或 .?中任一向量T 線性相關(guān)。 。r??? , 21 ?線 推論 2： 任意兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)向量組所含向量的個(gè)數(shù)相等。 可由若 m??? , 21 ? 線性表示，則s??? , 21 ??),( 21 mr ??? ? ),( 21 sr ??? ?定理 3： 推論 ：等價(jià)的向量組有相同的秩。s??? , 21 ?你能舉一個(gè) 反例嗎？ 線性無關(guān)且s??? , 21 ?向量組的秩的求法 定理 4： 向量組的秩與該向量組所構(gòu)成的矩陣的秩相等。 例 1：求向量組的秩。421 , ???（記錄法與逐個(gè)考察法就不介紹了。431 , ???）線性相關(guān)？并，（），（），（），（為何值時(shí)，向量組：例??????113152232323122111134321?????求秩及一個(gè)極大無關(guān)組。32 , ??? 矛盾 反例： 但，行擺行變換不行！ 我們已經(jīng)看到：用矩陣可以解決向量組的問題，實(shí)際上，用向量組 也可以解決矩陣的問題。BEBA nnmmn ????線性無關(guān)且s??? , 21 ?。 詳見參考書第 37—— 39頁。4321 , ????是一個(gè)極大無關(guān)組。這時(shí)，只要在 同一高度上取一個(gè)向量，即可得到極大無關(guān)組。 例 2：求向量組的秩及極大無關(guān)組。 推論： 矩陣的行秩與列秩相等。 = n 例 1：設(shè)向量組 nneee ??? , 2121 ?? 可由向量組線性表示 , ).,( 21 nr ??? ?求 例 2： 設(shè)有兩個(gè) n維向量組 與s??? , 21 ? , 21 s??? ?若 ???????????????s????21????????????????????????????sssssssaaaaaaaaa???????????21212222111211???????????????ssssssaaaaaaaaaK???????212222111211線性無關(guān)。 向量組的秩 m??? , 21 ?定義 ：向量組 的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)， 稱為 向量組的秩 ，記為 ).,( 21 mr ??? ?注： （ 1）線性無關(guān)的向量組的秩 =向量的個(gè)數(shù)。321 , ????是一個(gè)極大無關(guān)組；線性無關(guān)，但 2121 , ???? ?也是一個(gè)極大無關(guān)組。 極大無關(guān)組的含義有兩層： 1無關(guān)性 。 證明： ??????????????????????????????mrmmrrm aaaaaaaaaA????????21222211121121????????????????????????????????????1,211,2222211,11121121rmmrmmrrrrmaaaaaaaaaaaaB????????????mBrArm ???? )()( mBr ?? (線性無關(guān)?；?r(A)=n. 推論 4：任意 n 個(gè) n 維向量線性相關(guān)的充要條件是由它們 構(gòu) 成的方陣 A的行列式等于零。4321 , ????證明定理 4. :? , 21 線性相關(guān)m??? ???mm m??向量線性表示為個(gè)可由其余妨設(shè)知，必有某個(gè)向量（不由定理 1)11111 ???? mmkk ?? ?寫成分量形式為 jmmjjmj akakaka ,112211 ?????? ?對 A作初等變換 ??????????????????????????????????mnmmnm
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