【正文】 )1(1)(0)1(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbtcatcatcatcammmmnnnn?????????????但從分析系統(tǒng)性能的方便與否這一角度衡量 , 微分方程雖 是基本的數(shù)學(xué)模型 , 卻并不是一個使用起來最方便的數(shù)學(xué) 模型 . 因為從微分方程出發(fā)分析系統(tǒng)的性能 , 就必須求出 微分方程的解 )(tc , 而對于階數(shù)大于 2的微分方程來說 , 求 解并非易事 . 其次 , 當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化后對系統(tǒng)性能的影響 也很難從微分方程本身及其解中很容易地看出來 , 這就對 分析系統(tǒng)尤其是綜合系統(tǒng)帶來很大的困難 . 對于解高階微分方程的困難 , 可用拉氏變換 , 將微積 分運(yùn)算轉(zhuǎn)換為代數(shù)運(yùn)算 , 求出微分方程的解 . 從而人們設(shè)想 , 能否利用拉氏變換這一工具 , 不解 微分方程 , 就能知道系統(tǒng)的性能 , 甚至當(dāng)系統(tǒng)參數(shù)變化 后 , 也能方便地看出它對系統(tǒng)性能的影響呢 ? 這就引出 了傳遞函數(shù)概念 . 傳遞函數(shù)在古典自控理論中是一個很 重要的函數(shù) , 古典自控理論的兩大分支 , 根軌跡法和頻 率法 , 就是在傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)上建立起來的 . 1. 傳遞函數(shù)的定義和性質(zhì) 例 : 一 RC電路如下圖所示 , 設(shè)在開關(guān) K閉合的瞬間時刻 RCKru Cu作為計時起點 , 即 t=0, 且此 時電容兩端的電壓為 )0(Cu開關(guān) K閉合后不再打開 , 則 在 RC電路輸入端加了一恒定的電壓 , 其幅值為 ruRC電路的微分方程為 : 令 )13()()()( tutudt tduRC rCC ??RCT ? 為 RC電路的時間常數(shù) , 則式 (13)為 : )14()()()( tutudt tduT rCC ??對式 (14)兩邊進(jìn)行拉氏變換 , 得 : )15()()()0()( sUsUTUsT s U rCCC ???式 (15)中 ? ? ? ?)()(,)()( tuLsUtuLsUrrCC ??, 而 )16()0(1)(11)( CrC UTs TsUTssU ????因為 )(tur是幅值為 ru的階躍電壓 , 故 susU rr ?)(代入式 (16), 得 : )17()0(1)1()( CrC UTs TTss usU ????對式 (17)兩邊進(jìn)行拉氏反變換 , 得 : 上式中等式右邊第一項是在電容兩端的初始電壓 )18()0()1()( TtCTtrC eueutu ?? ???0)0( ?Cu由輸入電壓 )(tur激勵下的輸出分量 , 也叫零初始條件響應(yīng) , 第二項是由初始條件 )0(Cu 激勵下的輸出分量 , 也叫零輸入 響應(yīng) . 如令 0)0( ?Cu , 即初始條件為零 , 則式 (16)為 )(11)()()19()(11)(sGTssUsUsUTssUrCrC?????把 )(sG 叫所舉例中 RC電路的傳遞函數(shù) , 從而 RC電路可 用下面方塊圖表示 : )(sG)(sUr )(sUC由上例 , 可得系統(tǒng) (或環(huán)節(jié) )的傳遞函數(shù)的如下定義 : 設(shè)單輸入 單輸出線性定常連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為 : )()()()()()()()()1(1)1(1)(0)1(1)1(1)(0trbtrbtrbtrbtcatcatcatcammmmnnnn?????????????當(dāng)初始條件為零時 , 系統(tǒng)輸出量的拉氏變換表達(dá)式與系統(tǒng) 輸入量的拉氏變換表達(dá)式之比 , 稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù) , 其一般表達(dá)式為 : )20()( )()( )()(11101110sNsMasasasabsbsbsbsRsCsGnnnnmmmm????? ????????????下面給出傳遞函數(shù)的若干性質(zhì) : 1) 傳遞函數(shù)是兩個復(fù)變量 s的有理多項式之比 , 且 m=n 即傳遞函數(shù)是復(fù)變量 s的有理真分式函數(shù) , 具有復(fù)變函 數(shù)的所有性質(zhì) . 兩個多項式中的所有系數(shù)均為實數(shù) . 2) 傳遞函數(shù)只取決于系統(tǒng)或環(huán)節(jié)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù) , 而與 系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸入信號的形式和大小無關(guān) . 3) 傳遞函數(shù)的分母 稱為 nnnn asasasasN ????? ?? 1110)( ?系統(tǒng)的特征多項式 ,如令分母 01110 ????? ?? nnnn asasasa ?則叫系統(tǒng)的特征方程 , 特征方程的根叫系統(tǒng)的極點 , 也 叫傳遞函數(shù)的極點 , n叫系統(tǒng)的階數(shù) , 如令傳遞函數(shù)的分子 0)( 1110 ?????? ?? mmmm bsbsbsbsM ?求得的根叫系統(tǒng)的零點 , 也叫傳遞函數(shù)的零點 . 從而 ???????????????? njjmiinmpszsKpspspsazszszsbsNsMsG11210210)()()())(()())(()()()(??上式中傳遞函數(shù)的零點為 ),2,1( miz i ?? ,傳遞函數(shù)的極點為 ),2,1( njp j ?? ,而 00abK ?? 稱為傳遞函數(shù)的根軌跡增益 . 當(dāng) s=0時 , ????????? njjmiinmpzKabG11)()()0( 稱為傳遞函數(shù)的傳遞系數(shù) . 系統(tǒng)的傳遞函數(shù)的零點和極點以及傳遞系數(shù)對輸出的影響 請參見教材有關(guān)內(nèi)容 . 4) 傳遞函數(shù)本身的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng) (或叫單位脈沖過渡函數(shù) )g(t), 因為 , ? ?? ? ? ? ? ?)()()()()(1)()()()(111 sGLsRsGLsCLtgtLsRttr??? ???????? ??關(guān)于傳遞函數(shù)定義中的零初始條件作些說明 . 將輸入信號 作用于系統(tǒng)的瞬間時刻 t作為時間的起點 , 即 t=0, 則不管輸 入信號在 t0期間是否客觀存在 , 對于系統(tǒng)來說 , 輸入信號 及其各階導(dǎo)數(shù)均為零 , 可用數(shù)學(xué)語言表述為 : 0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? mm rrrr ?而對于系統(tǒng)本身來來講 , 在 t0期間系統(tǒng)處于穩(wěn)定的工作狀 態(tài) , 且其穩(wěn)定的工作狀態(tài)為零狀態(tài) , 即 : 0)0()0()0()0( )()1()1( ????? ? nn cccc ?在上述意義下 , 認(rèn)為系統(tǒng)滿足零初始條件 . 2. 典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù) 一個自動控制系統(tǒng) , 不管其多么復(fù)雜 , 總是由若干個 元件按不同的方式根據(jù)一定的目的組合而成 . 從結(jié)構(gòu)和作 用原理角度來看元件 , 可以有各種各樣不同的元件 , 如機(jī) 械式 , 電氣式 , 液壓式 , 氣動式等等 . 但從描述各種元件 的行為特征的數(shù)學(xué)模型來看元件 , 不管元件的結(jié)構(gòu)和作用 原理如何千差萬別 , 其數(shù)學(xué)模型卻有可能完全一樣 . 因此 從元件的數(shù)學(xué)模型來劃分元件的種類 , 只有幾種最基本的 元件或稱為典型環(huán)節(jié) . 復(fù)雜一些的元件 , 其數(shù)學(xué)模型可以 是幾個典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型組合 . 而一個復(fù)雜的系統(tǒng)的數(shù) 學(xué)模型也無非是一些典型環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型組合而成 . 因此 從分析和綜合系統(tǒng)的角度來看 , 按數(shù)學(xué)模型來劃分環(huán)節(jié) , 更能抓住事物的本質(zhì) . 在介紹典型環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)前 , 先補(bǔ)充算子阻抗法 . 補(bǔ)充算子阻抗法的目的是為了便于推導(dǎo)所舉典型環(huán)節(jié)的物 理原型的傳遞函數(shù) . 設(shè)電阻 R的輸入信號是流過電阻的電流 , 輸出信號是 電阻兩端的電壓 , 如下圖所示 : R)(ti)(tu則 )()( tRitu ? 對其兩邊進(jìn)行拉氏變換 , 得 : )()( sRIsU ?從而 )21()()( RsIsU ? , 稱 R為電阻的算子阻抗 . 設(shè)電容 C的輸入信號是流過電容的電流 , 輸出信號是 C)(ti)(tu電容兩端的電壓 , 如下圖所示 , 則 ?? t dttiCtu 0 )(1)(設(shè)初始條件為零 ,對上式兩邊進(jìn)行拉氏變 換 ,得 : )22(1)()(CssIsU ?稱 為電容的算子阻抗 . Cs1設(shè)電感 L的輸入信號是流過電感的電流 , 輸出信號是 電感兩端的電壓 , 如下圖所示 , 則 L)(ti)(tudttdiLtu )()( ?設(shè)初始條件為零 ,對上式兩邊進(jìn)行 )23()( )( LssI sU ?拉氏變換 ,得 : 稱 Ls為電感的算子阻抗 . 由式 (21),(22),(23)可見 LsCsR ,1,都具有電阻的性質(zhì) , 從而電路中電容和電感串聯(lián)或并聯(lián)連 接時 , 就與電阻的串聯(lián)或并聯(lián)的運(yùn)算方法一樣 . 1) 比例環(huán)節(jié) fR)(tuiiR)(tuo當(dāng)右下圖中的運(yùn)放為理想運(yùn)放 時 KKRRsU sUsGifio ?????? 39。()( sRsUtrtu ?? 比較點表示兩個或兩個以 上的信號進(jìn)行加減運(yùn)算 ,“+” 表示相加 , “”表示相減 , 習(xí)慣上“ +”可 省略不寫 . 需指出的是 , 比較點的輸入信號須具有相同的物 理屬性和單位 , 比較點的輸出信號只有一個 .