第8章曲線和曲面(文件)
【正文】 學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 84 3． 連續(xù)性 ? 若一節(jié)點(diǎn)矢量中節(jié)點(diǎn)均不相同 ， 則 m階 （ m1次 ） B樣條曲線在節(jié)點(diǎn)處為 m2階連續(xù) 。 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 87 雙三次 B樣條曲面 TTBB VPMUMvup ?),(? ?123 uuuU ? ? ?123 vvvV ??????????????????014103030363133161BM?????????????3,32,31,30,33,22,21,20,23,12,11,10,13,02,01,00,0PPPpPPPPPPPPPPPPP2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 88 有理樣條曲線曲面 NURBS方法：非均勻有理 B樣條 （ Nonuniform Rational BSpline） 方法 NURBS曲線曲面的定義 定義 ： ?????nkmkknkmkkktBwtBPwtp0,0,)()()(2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 89 例 ：假定用定義在三個(gè)控制頂點(diǎn)和開(kāi)放均勻的節(jié)點(diǎn)矢量上的二次 （ 三階 ） B樣條函數(shù)來(lái)擬合 ， 于是 ，T=(0,0,0,1,1,1)， 取權(quán)函數(shù)為： 1r0 11120??????rrwww2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 90 則有理 B樣條的表達(dá)式為： )(3,2)(3,1)(3,0)(3,22)(3,11)(3,0011)(ttttttBBrrBBPBPrrBPtp???????2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 91 然后取不同的 r值得到各種二次曲線： P 1P 0 P 2雙曲線拋物線直線橢圓圖 81 9 由不同有理樣條權(quán)因子生成的二次曲線段2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 92 圖 8 20 由有理樣條函數(shù)生成的第一象限上的圓弧xyP 1 (1,1)P 2 (1,0)P 0 (0,1)a2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 93 NURBS曲面 可由下面的有理參數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)表示： ? ?? ?? ?? ??11222211211122221121210 0,0 0,)()()()(),(nknkmkmkkknknkmkmkkkkkvBuBwvBuBPwvup2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 94 有理基函數(shù)的性質(zhì) NURBS曲線也可用有理基函數(shù)的形式表示 ： ??????njmjjmkkmknkmkktBwtBwtRtRPtp0,0,)()()()()(2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 95 1． 普遍性 2． 局部性 3． 凸包性 1)(0, ???nkmk tR4． 可微性 5． 權(quán)因子 NURBS曲線曲面的特點(diǎn) 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 96 曲線曲面的轉(zhuǎn)換和計(jì)算 樣條曲線曲面的轉(zhuǎn)換 11)( GMTtp ??? 22)( GMTtp ???2211)( GMTGMTtp ??????12,111122 GMGMMG ??????2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 97 例： bebeBB GMTGMTtp ??????)(BbeBBBbebe GMGMMG ????? ? ,1????????????????????????????????????????????????14100420024001416101410303036313316100010033036313311, beBM2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 98 三次 Hermite樣條矩陣： ?????????????????0001010012331122hM?????????????????0001003303631331beM?????????????????0141030303631331BM三次 Bezier樣條矩陣： 三次均勻 B樣條矩陣： 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 99 樣條曲線曲面的離散生成 1． Horner規(guī)則 2． 向前差分計(jì)算 3． 細(xì)分 圖 8 2 1 四個(gè)控制點(diǎn)的B e z i e r 曲線分成兩段P 3P 0P 1 P 2P 1,0P 1,1P 1,2 P 1,3 =P 2,0 P 2,1P 2,2P 2,32022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 100 習(xí)題 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 101 。 ? 重節(jié)點(diǎn) 問(wèn)題 圖 8 18 具有重節(jié)點(diǎn)的三次 B 樣條t 0 t 1t 2t 3t 42022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 85 4． 導(dǎo)數(shù) ???????????????????11,111,)()()1()(kmkmkkmkmkmk tttBtttBmtB??????? ?????? nkmkkmkkk tBttPPmtp11n1m1,11 ]t,[t t)()1()(5． 幾何不變性 6． 變差減少性 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 86 B樣條曲面 定義 ： ? ?? ??11222211210 0, )()(),(nknkmkmkkk vBuBPvup? 控制頂點(diǎn) 、 控制網(wǎng)格 （ 特征網(wǎng)格 ） 、 B樣條基函數(shù) 。 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 78 用分段三次 B樣條曲線 pi來(lái)擬合 ， 其上型值點(diǎn)和控制點(diǎn)的位置矢量之間有關(guān)系： n,1,i )4(6111 ????? ?? iiii PPPQ假定需求首末兩點(diǎn)過(guò) Q1和 Qn的非周期三次 B樣條曲線 ，則有 P1=Q1,Pn=Qn， 于是求解控制點(diǎn) Pj (i=2,3,...,n1)的線性方程組為： 2022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 79 補(bǔ)充兩個(gè)邊界條件為： P0 =P1=Q1 Pn+1=Pn+2= Qn ?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????n1n2n3121n2n326Q6Q....6Q6QPP....PP41000000141000000...000000...000000...000000141000000141000000142022/8/17 華中理工大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院 陸楓 997 80 B樣條曲線的性質(zhì) 1． 局部支柱性 B樣條的基函數(shù)是一個(gè)分段函數(shù) ， 其重要特征是在參數(shù)變化范圍內(nèi) ， 每個(gè)基函數(shù)在 tk到 tk+m的子區(qū)間內(nèi)函數(shù)值不為零 ， 在其余區(qū)間內(nèi)均為零 ， 通常也將該特征稱(chēng)為 局部支柱性 。 若某一控制點(diǎn)出現(xiàn)多次 ， 樣條曲線會(huì)更加接近該點(diǎn) 。 當(dāng)節(jié)點(diǎn)沿參數(shù)軸均勻等距分布，即 tk+1tk=常數(shù)時(shí)，表示 均勻 B樣
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