【正文】 ABC的面積為 8,則 k的值為 . ? kx答案 2 解析 設(shè) D(xD,yD),xD0,yD0,過 D分別作 DE⊥ OA,DF⊥ OC,則 DF=xD,DE=yD,且 DF∥ OA,DE∥ OC,∵ 點 D為 AC的中點 ,∴ OA=2DF=2xD,OC=2DE=2yD.∵ 矩形 OABC的面積等于 8,∴ OA (2)求反比例函數(shù)的解析式 . kx43解析 (1)m+2.? (2分 ) (2)∵ CD=? ,∴ 點 D的坐標為 ? . ∵ 點 A(m,4),點 D? 在函數(shù) y=? 的圖象上 , ∴ 4m=? (m+2). ∴ m=1.? (5分 ) ∴ k=4m=41=4.? (6分 ) ∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? .? (7分 ) 4342,3m???????42,3m???????kx434x6.(2022湖北武漢 ,22,10分 )已知點 A(a,m)在雙曲線 y=? 上且 m0,過點 A作 x軸的垂線 ,垂足為 B. (1)如圖 1,當 a=2時 ,P(t,0)是 x軸上的動點 ,將點 B繞點 P順時針旋轉(zhuǎn) 90176。② 由題意可知點 C的坐標為 (t,t+2), 把點 C的坐標代入 y=? 即可得解 . (2)由題意可得 a=? 和 d=? .由 OA=OD可得 ? +m2=? +n2,最后可知 mn=8或 m+n=0. 8x8m 8n 28m?????? 28n???????方法歸納 解答反比例函數(shù)與幾何圖形相結(jié)合問題的最常用的方法是由點的坐標求相關(guān)線 段的長度 ,用相關(guān)線段的長度表示點的坐標 . 考點二 反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1.(2022天津 ,9,3分 )若點 A(x1,6),B(x2,2),C(x3,2)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則 x1,x2,x3的大小關(guān) 系是 ? ( ) x2x3 x1x3 x3x1 x2x1 12x答案 B ∵ 反比例函數(shù) y=? 中 ,k=120,∴ 此函數(shù)的圖象在一、三象限 ,在每一象限內(nèi) y隨 x的 增大而減小 .∵ y1y20y3,∴ x2x1 B. 12x2.(2022江蘇蘇州 ,6,3分 )若點 A(a,b)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,則代數(shù)式 ab4的值為 ? ( ) 2x答案 B 因為點 A(a,b)在反比例函數(shù) y=? 的圖象上 ,所以 b=? ,即 ab=2,因此 ab4=2,故選 B. 2x 2a3.(2022貴州貴陽 ,12,4分 )如圖 ,過 x軸上任意一點 P作 y軸的平行線 ,分別與反比例函數(shù) y=? (x0), y=? (x0)的圖象交于 A點和 B點 ,若 C為 y軸上任意一點 ,連接 AC,BC,則△ ABC的面積為 . ? 3x6x答案 ? 92解析 解法一 :設(shè)點 P(m,0),可得點 A? ,B? , ∴ AB=? +? =? , ∴ S△ ABC=? yB=k, ∴ xB=3xA. BCAC BFAE CFCEBFAE CFCE1313由題意可知 C點坐標為 (2,0),則 CF=2xB,CE=2xA, ∵ ? =? ,∴ 2xA=3(2xB), 又 ∵ xB=3xA,∴ 2xA=3(23xA),解得 xA=? . 把 xA=? 代入 y=2x+4,得 yA=3, ∴ A點坐標為 ? ,∴ k=? 3=? . CFCE1312121 ,32??????12 32評析 此題綜合考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) ,相似三角形的性質(zhì)等知識點 ,有一定難度 ,綜 合性較強 ,注意對各個知識點的靈活運用 ,本題的關(guān)鍵是通過點 A,B的坐標 ,由兩點之間與點 C 的關(guān)系得到點 A的坐標 ,進而確定 k的值 . 8.(2022廣西南寧 ,17,3分 )如圖 ,點 A在雙曲線 y=? (x0)上 ,點 B在雙曲線 y=? (x0)上 (點 B在點 A 的右側(cè) ),且 AB∥ x軸 .若四邊形 OABC是菱形 ,且 ∠ AOC=60176。 (2)當 x為何值時 ,y10? (3)當 x為何值時 ,y1y2?請 直接 寫出 x的取值范圍 . ? 2kx解析 (1)∵ 一次函數(shù) y1=k1x+b的圖象經(jīng)過點 C(4,2),D(2,4), ∴ ? ? (1分 ) 解得 ? ? (2分 ) ∴ 一次函數(shù)的表達式為 y1=x+2.? (3分 ) ∵ 反比例函數(shù) y2=? 的圖象經(jīng)過點 D(2,4),∴ 4=? ,∴ k2=8. ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 y2=? .? (4分 ) (2)由 y10,得 x+20.? (5分 ) ∴ x2. ∴ 當 x2時 ,y10.? (6分 ) (3)x4或 0x2.? (8分 ) 114 2,2 ? ? ? ??? ???1 1, ??? ??2kx 22k8x12.(2022四川成都 ,19,10分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,一次函數(shù) y=x+b的圖象經(jīng)過點 A(2, 0),與反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象交于 B(a,4). (1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式 。1. ① 當 k=1時 ,不等式 kx+? 0的解集為 x? 或 0x? 。OB (2)求△ ABC的面積 . ? kx12解析 (1)∵ 點 A的坐標為 (m,2),AC平行于 x軸 , ∴ OC=2,AC⊥ y軸 , ∵ OD=? OC,∴ OD=1.∴ CD=3. ∵ △ ACD的面積是 6,∴ ? CD4.? (1分 ) 又 ∵ 反比例函數(shù)的圖象位于第二象限 , ∴ k=4.? (2分 ) ∴ 反比例函數(shù)的表達式為 y=? .? (3分 ) (2)∵ y=x+3的圖象交 y軸于點 A, ∴ A(0,3),∴ OA=3. 聯(lián)立 ? 又 ∵ x0,∴ ? 即 D(1,4).? (5分 ) ∴ S△ AOD=? AO如果圖形不 規(guī)則 ,則一般運用割補法解決 . 3.(2022山西 ,18,7分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,正方形 OABC的頂點 O與坐標原點重合 ,其邊長 為 2,點 A,點 C分別在 x軸 ,y軸的正半軸上 .函數(shù) y=2x的圖象與 CB交于點 D,函數(shù) y=? (k為常數(shù) ,k≠ 0)的圖象經(jīng)過點 D,與 AB交于點 E,與函數(shù) y=2x的圖象在第三象限內(nèi)交于點 F,連接 AF,EF. (1)求函數(shù) y=? 的表達式 ,并直接寫出 E,F兩點的坐標 。PB39。 (2)求直線 PC的表達式 。(6,4).? (4分 ) ∵ A39。PB39。P+S?OAA39。B,延長 A39。DS△ OABS△ AA39。A39。,AA39。A39。,AA39。PB39。作 A39。FG=? 13=? .? (7分 ) 12 12 32思路分析 (1)由函數(shù) y=? 的圖象經(jīng)過點 D可知 ,只需確定點 D的坐標 ,并將其代入即可 。(2)在平面直角坐標系中 ,求某兩條線的交點時 ,一般的做法是先 求出直線或曲線的解析式 ,然后聯(lián)立得方程組 ,解這個方程組 ,則方程組的解就是交點的橫、縱 坐標 。BE=? 42=4. ∴ △ ABC的面積為 4.? (7分 ) 12 122.(2022甘肅蘭州 ,24,7分 )如圖 ,在平面直角坐標系 xOy中 ,直線 y=x+3交 y軸于點 A,交反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象于點 D,y=? (x0)的圖象過矩形 OABC的頂點 B,矩形 OABC的面積為 4,連接 OD. (1)求反比例函數(shù) y=? 的表達式 。BD (2)如圖 ,反比例函數(shù) y=? (1≤ x≤ 4)的圖象記為曲線 C1,將 C1向左平移 2個單位長度 ,得曲線 在圖中畫出 C2,并直接寫出 C1平移至 C2處所掃過的面積 . ? 4x4x解析 (1)由 ? 得 kx2+4x4=0(k≠ 0).? (2分 ) ∵ 反比例函數(shù)的圖象與直線只有一個公共點 , ∴ Δ=16+16k=0. ∴ k=1.? (4分 ) (2)曲線 C2如圖 .? (6分 ) ? C1平移至 C2處掃過的面積為 6個平方單位 .? (8分 ) 4 ,4y xy k x? ???????16.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,A點的坐標為 (8,y),AB⊥ x軸于點 B, sin∠ OAB=? ,反比例函數(shù) y=? 的圖象的一支經(jīng)過 AO的中點 C,且與 AB交于點 D. (1)求反比例函數(shù)解析式 。 (2)在平面內(nèi)有點 D,使得以 A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形 ,試寫出符合條件的所有 D點的坐標 . ? kx解析 (1)∵ 反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象過點 A(3,4), ∴ ? =4,∴ k=12,∴ 反比例函數(shù)的解析式為 y=? . 由題意易知點 B的橫坐標為 6, ∵ 點 B在反比例函數(shù) y=? (x0)的圖象上 , ∴ y=? =2,即點 B的縱坐標為 2. ∴ 點 B的坐標為 (6,2). (2)如圖 ,以 A,B,C,D四點為頂點的平行四邊形有 3種情況 ,分別是 ?ABCD1,?ACBD2和 ?ABD3C, 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)易得 D1(3,2),D2(3,6),由 (1)知線段 BC的中點坐標為 (6,1),該點是線段 AD3 的中點 ,所以點 D3的坐標為 (9,2).故 D點的坐標為 (3,2)或 (3,6)或 (9,2). ? kx3k 12x12x12614.(2022內(nèi)蒙古呼和浩特 ,23,7分 )已知反比例函數(shù) y=? (k為常數(shù) ). (1)若點 P1? 和點 P2? 是該反比例函數(shù)圖象上的兩點 ,試利用反比例函數(shù)的性質(zhì) 比較 y1和 y2的大小 。,∴ AD=? OD,∴ 可設(shè) A(x,? x). ∵ 點 A在雙曲線 y=? (x0)上 ,∴ x? =? . 解法二 :如圖 ,連接 OA,OB,∵ AB∥ y軸 ,∴ S△ ABC=S△ ABO=S△ APO+S△ BPO=? +? =? . ? 解法三 :特殊點法 ,當點 C在原點時 ,S△ ABC=S△ ABO=S△ APO+S△ BPO=? +? =? . 3,m m??????6,m m???????3m 6m 9m12 9m 9232 62 9232 62 924.(2022安徽 ,13,5分 )如圖 ,正比例函數(shù) y=kx與反比例函數(shù) y=? 的圖象有一個交點 A(2,m),AB⊥ x 軸于點 y=kx,使其經(jīng)過點 B,得到直線 l,則直線 l對應的函數(shù)表達式是 . ? 6x答案 y=? x3 32解析 將點 A的坐標代入 y=? ,可得 m=3,將 A(2,3)代入 y=kx,可得 k=? ,因為 AB⊥ x軸 ,所以點 B(2, 0),由平移可得直線 l對應的函數(shù)表達式為 y=? (x2)=? x3. 6x 3232 32思路分析 先把點 A的坐標代入 y=? 得 m的值 ,然后求 k的值 ,由 AB⊥ x軸得點 B的坐標 ,從而由平 移及直線 l過點 B得直線 l對應的函數(shù)表達式 . 6x5.(2022陜西 ,13,3分 )已知 A,B兩點分別在反比例函數(shù) y=? (m≠ 0)和 y=? ? 的圖象上 . 若點 A與點 B關(guān)于 x軸對稱 ,則 m的值為 . 3 mx 25mx? 52m???????答案 1 解析 設(shè)點 A的坐標為 ? ,因為點 A與點 B關(guān)于 x軸對稱 ,所以點 B的坐標為 ? ,將 B ? 代入解析式 y=? ,得 ? =? ,解得 m=1. 3, ma a?????? 3, ma a???????3, ma a??????? 25mx? 3 ma25ma?6.(2022陜西 ,13,3分 )已知一次函數(shù) y=2x+4的圖象分別交 x軸、 y軸于 A、 B兩點 .若這個一次函數(shù) 的圖象與一個反比例函數(shù)的圖象在第一象限交于點 C,且 AB=2BC,則這個反比例函數(shù)的表達式 為 . 答案 y=? 6x解析 由題意可得 A(2,0),B(0,4),所以 OA=2,OB= ,作 CD⊥ x軸交 x軸于點 D,因為 AB=2BC, 所以 OD=? OA=1,CD=? OB=6,所以 C(1,6),設(shè)反比例函數(shù)的表達式為 y=? (k≠ 0),則 k=16=6,故 反比例函數(shù)的表達式為 y=? . ? 12 32 kx6x7.(2022新疆烏魯木齊 ,14,4分 )如圖 ,直線 y=2x+4與雙曲線 y=? 交于 A,B兩點 ,與 x軸交于點 C,若 AB=2BC,則 k= . ? kx答案 ? 32解析 過點 A作 AE⊥ x軸 ,垂足為 E,過點 B作 BF⊥ x軸 ,垂足為 F,∴ AE∥ BF, ∴ △ CBF∽ △ CAE,∴ ? =? =? , ∵ AB=2BC,∴ ? =? =? , ∴ yB=? yA