【正文】 特點：一、由于存在前向迭代和后向迭代，需要接收到整個碼組才能進行譯碼；二、計算中用到的全部都是符號的概率分布，大部分的運算是乘法，復(fù)雜度高。僅討論二進制情況。 SISO模塊利用BCJR算法，我們首先有下面的結(jié)果：在時刻i輸出的概率分布為 （47） （48）其中，和分別通過前向迭代和后項迭代得到（式子中L表示碼組長度）： （49） （410）其初始值為： （411） （412），表示規(guī)一化常量，它們的引入以便使得結(jié)果滿足概率分布函數(shù)的要求： （413） （414）由于式（47）中的和式（48）中的與求和變量無關(guān)，可以提出，同時定義新的歸一化常量： （415） （416） （417） （418）至此我們得到： （419） （420） 式（419）、（420）就是譯碼器根據(jù)整個接收序列（除第1個符號）和編碼約束（網(wǎng)格結(jié)構(gòu)）計算得到的更新的概率分布。這一點也是譯碼器可以得到唯一解的條件。 網(wǎng)格的一邊正如上面提到的那樣，這些函數(shù)之間的關(guān)系取決于編碼器。因此我們下面需要對網(wǎng)格作相關(guān)定義。而這種轉(zhuǎn)移，就是對應(yīng)于編碼器輸入一個信息符號，輸出一個編碼符號。簡寫為類似的，編碼器輸出的碼序列為 （43）其先驗概率序列 （44）式（44）中。 SISO算法[18]譯碼器的核心單元就是SISO（軟輸入軟輸出）譯碼器。與常見的PCCC成員譯碼器不同之處在于這里的SISO譯碼器得到的不僅有信息序列概率分布的更新，同時也有編碼序列概率分布的更新。在第一次迭代時，送入的內(nèi)碼SISO模塊的為零，因為我們沒有來自編碼器的先驗概率分布，所以就認為是先驗等概的。而每個成員譯碼器的工作就是根據(jù)輸入的后驗概率和編碼方案對后驗概率進行更新。 SCCC譯碼器結(jié)構(gòu)框圖SCCC譯碼器是概率譯碼器。但是這樣的算法幾乎無法實現(xiàn)。這樣，在相同的編碼延時的情況下，SCCC的交織器深度要大于PCCC的交織器深度。在SCCC中，交織器的作用十分關(guān)鍵。內(nèi)碼和外碼可以采用本原的非系統(tǒng)碼或者是遞歸系統(tǒng)卷積碼（RSC）。 SCCC編碼器的組成[16]： 1/3碼率的SCCC編碼器結(jié)構(gòu)框圖SCCC編碼器是由外編碼器、交織器、內(nèi)編碼器級聯(lián)構(gòu)成?！屑壜?lián)卷積碼（SCCC），SCCC編譯碼器的成員幾乎和PCCC完全一樣，只是采用了串行級聯(lián)的結(jié)構(gòu)。多少年來，隨機碼僅僅用作理論分析和證明，因為它的譯碼實在太復(fù)雜。這樣就很自然的導(dǎo)致了對級聯(lián)碼成員碼方案的改變。所以可以考慮通過讓外碼同樣利用比特似然信息的辦法來進一步提高編碼增益。軟輸入VB譯碼可以獲得比硬輸入高2~3dB的編碼增益，而且復(fù)雜度相當。而且，較之分組碼，更易于實現(xiàn)最佳譯碼和準最佳譯碼，有著更優(yōu)的性能限，因此具有廣闊的應(yīng)用前景。實踐證明，這一糾錯編碼方案可以有效的提高編碼增益，而且付出的編譯碼器復(fù)雜度也不高，對于隨機錯誤和突發(fā)錯誤都有良好的糾錯能力。其中最常見的就是兩級級聯(lián)碼。 級聯(lián)卷積碼的發(fā)展歷史信道編碼定理指出，隨著碼長n的增加，譯碼錯誤概率按指數(shù)接近于0。（3）隨著回朔長度逐漸增加，卷積碼的誤碼率隨之逐漸降低。因此，對于二進制對稱信道，當采用BPSK調(diào)制方式時，我們通常選取的碼率為1/2。 卷積碼在不同回朔長度下的性能曲線，隨著回朔長度逐漸增加，系統(tǒng)的誤碼率隨之逐漸降低，但是當回朔長度τ增加到τ5N時（N為編碼的約束長度），誤碼率數(shù)值趨于穩(wěn)定。所以說當碼率一定時，增加約束長度可以降低系統(tǒng)的誤碼率，但是隨著約束長度的增加，譯碼設(shè)備的復(fù)雜性也會隨之增加，所以對于碼率為1/2的卷積碼，我們在選取約束長度時一般為3～9。因此，對于二進制對稱信道，當采用BPSK調(diào)制方式時，我們通常選取的碼率為1/2。 卷積碼在不同碼率下的性能曲線 ，當改變系統(tǒng)碼率時，隨著卷積碼碼率的逐漸減小，系統(tǒng)的誤碼率也呈現(xiàn)出減小的趨勢，也就是說碼率越低，系統(tǒng)的誤碼率就越小，誤碼性能就越好。 仿真通信系統(tǒng)模型框圖 其中，信源為隨機輸入的二進制碼元，信道為簡單的加性高斯白噪聲信道，調(diào)制方式為BPSK調(diào)制，譯碼方式采用了Viterbi硬判決譯碼。τ稱為截短深度，也稱為譯碼深度。由上述可見，譯碼器的運行是前向的、無反饋的。 Viterbi譯碼算法正是利用了編碼網(wǎng)格圖的特殊結(jié)構(gòu)，計算網(wǎng)格圖上在時刻到達各個狀態(tài)的路徑和接收序列之間的相似度（Measure of Similarity），即上面標注的分支量度（Branch Metric），經(jīng)過“加－比－選”操作，去除不可能成為最大似然選擇對象的網(wǎng)格圖上的路徑。下面以（2,1,3）卷積碼為例來說明。在Viterbi譯碼算法中，把匯聚在每個節(jié)點上的兩條路徑的對數(shù)似然函數(shù)累加值進行比較，然后把具有較大對數(shù)似然函數(shù)累加值的路徑保存下來，而丟棄另一條路徑，經(jīng)挑選后第N級只留下條幸存路徑，選出的路徑同它們的對數(shù)似然函數(shù)累加值一起被存儲起來。由于這種方法較早地丟棄了那些不可能的路徑，從而減輕了譯碼的工作量，Viterbi譯碼正是基于這種想法。通常，譯碼器利用附加的軟判決信息進行軟判決Viterbi譯碼時比硬判決Viterbi譯碼能得到額外的2~3dB軟判決增益，因此目前實用中的Viterbi譯碼器幾乎均采用軟判決Viterbi譯碼。由此可知，最大似然譯碼也就等價于最小歐氏距離譯碼。 當給定接收序列R時，譯碼器的條件譯碼錯誤概率定義為： （31） 所以譯碼器的錯誤譯碼概率：= （32） 式中是接收R序列的概率，它與譯碼算法無關(guān)。信 道編碼器信 道譯碼器編碼信道噪聲源信息序列{}{}{}{}信息序列{}{} 編譯碼系統(tǒng)模型輸入信息序列M被編碼為序列C，假設(shè)C序列經(jīng)過有噪聲的無記憶信道傳送給譯碼器。換句話說，此序列出錯的概率最低。 如果實際接收到的信號和發(fā)送端發(fā)出的信號不一致，則產(chǎn)生了誤碼，這里用距離來表示接收到的信號是否出錯以及出錯的大小。 維特比譯碼 卷積碼的譯碼方式有三種：（1）1963年由梅西（Massey）提出的門限譯碼，這是一種代數(shù)結(jié)構(gòu)的代數(shù)譯碼，類似于分組碼中的大數(shù)邏輯譯碼；（2）1961年由沃曾克拉夫特（Wozencraft）提出，1963年由費諾（Fano）改進的序列譯碼，這是基于碼樹圖結(jié)構(gòu)上的一種準最佳的概率譯碼；（3）1967年由維特比（Viterbi）提出的Viterbi算法，這是基于碼的網(wǎng)（trellis）圖基礎(chǔ)上的一種最大似然譯碼算法，是一種最佳概率譯碼方法。在每個時間單元內(nèi)，網(wǎng)格圖用＝＝4個節(jié)點表示個可能的編碼狀態(tài)。 脈沖疊加方式輸入m輸 出11 1 1 0 1 100 0 0 0 0 01 1 1 1 0 1 1模2和1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 由于可以通過將按時間移位的脈沖進行線性疊加，或者將輸入序列和編碼器的脈沖響應(yīng)相卷積，來產(chǎn)生輸出編碼，因此這種編碼器稱為卷積編碼器。對應(yīng)于每段k個比特的輸入序列，輸出n個比特，N為約束長度，記做（n,k,N），編碼效率為。目前，大都借助計算機來搜索好碼。是卷積碼的碼率，碼率和約束長度是衡量卷積碼的兩個重要參數(shù)。（2,1,7）卷積碼已經(jīng)成為國際衛(wèi)星通信的標準。本章同時對非二進制的循環(huán)碼——RS碼的編譯碼算法進行了仿真實驗，它不但具有BCH碼的所有特性，而且在糾正突發(fā)連續(xù)錯誤方面表現(xiàn)出良好的性能。 RS碼的誤碼性能曲線（2）RS（15,9,7）碼糾突發(fā)錯誤的性能因為RS碼也是循環(huán)碼，因此BCH碼具有的性質(zhì)RS碼也都具有，在此不再詳述，但是由于它的非二進制性，在糾正突發(fā)錯誤方面表現(xiàn)出良好的性能。其中前3步的計算方法和BCH碼的譯碼算法一樣，但是由于RS碼是多進制的表示形式，因此在求得錯誤位置后，還需要判斷到底是錯在哪一位，這和BCH碼的譯碼是不同的，在此只對如何計算錯誤取值展開論述。RS碼的編譯碼是基于一組碼元而不是單獨的0或1，這也是RS碼糾錯能力特別強的原因，并且這種特點使得RS碼特別適合處理突發(fā)成片的錯誤。（3）糾錯能力和碼率對誤碼性能的影響 BCH碼的糾錯能力，碼率，隨機輸入長度L=1400的二進制碼元，通過對三種不同碼率和糾錯能力的BCH碼仿真實驗，經(jīng)過200次的統(tǒng)計平均后，： BCH碼在不同的糾錯能力下的性能曲線在碼長固定的情況下，當改變BCH碼的糾錯能力時，其誤碼性能也隨之而變化，在此通過對比三種BCH 碼，它們的糾錯能力和碼率分別為： 且 且，誤碼性能曲線逐漸呈現(xiàn)出好的趨勢，但是碼率此時是逐漸減小的，由此可以看出，對于BCH碼來說，隨著碼率的逐漸增大，糾錯能力逐漸下降，誤碼性能也逐漸劣化。 BCH碼在不同碼長下的性能曲線，雖然這四種碼的糾錯能力相近，但是隨著碼長的逐漸增加，BCH碼的誤碼性能越來越好，這是因為當碼的糾錯能力固定時，隨著碼長的增加，碼率不斷下降，碼率越小誤碼性能就越好。BCH（15,7,5）碼譯碼的流程圖： BCH（15,7,5）碼譯碼流程圖 BCH碼的性能仿真1．仿真通信系統(tǒng)模型。 if D==F （說明這次分解因式成功） u=u+1。經(jīng)過這樣的簡化，使得糾兩位錯的BCH碼的譯碼算法更加簡便。上式中計算根據(jù)伽邏華（Galois）域的循環(huán)性質(zhì)＝， ＝，＝， ＝，＝又根據(jù)二進制編碼理論可知：，從而得到。Peterson算法通過對式（220）應(yīng)用常規(guī)線性方程組的解法，將錯誤位置多項式的系數(shù)直接表示為伴隨式值的解析關(guān)系式，這種算法的優(yōu)點是簡潔快速，但是當t6時，則難以利用線性方程組直接求解，此時就必須采用遞歸的方法來進行計算，即Euclidean算法、BerlekampMassey等。若為錯誤位置，則將上式兩邊乘以并對求和得由定義可將上式化簡為 （218）把上式展開，則 （219） 或 （220）式（219）是一組線性方程，有個方程和個未知數(shù)，該方程有解的充要條件是式（220）中的M矩陣滿秩。 伴隨多項式的計算伴隨多項式的計算是BCH碼譯碼的第一步，設(shè)發(fā)送碼字、接收碼字和錯誤圖樣分別為： （211） （212） （213）若信道產(chǎn)生個錯誤，則 （214）上式中，,稱為錯誤位置數(shù)，說明錯誤發(fā)生在中的第的系數(shù)算第一位）位，錯誤值是。 元素的二進制表示和指數(shù)形式表示域元素（指數(shù)形式）二進制表示十進制域元素（指數(shù)形式）二進制表示十進制00011010150010210101001004011171000811101400113111115011061101131100121001910111100011加法運算非常簡單，只要把兩個元素對應(yīng)的向量表示進行異或運算。有限域上的運算主要有域元素的加法、減法、乘法、求逆和除法運算。所謂頻域算法是先將接收多項式進行離散傅立葉變換，然后在頻域中求出錯誤圖樣的頻譜，最后再進行反變換求出錯誤圖樣；而所謂時域算法則是求錯誤圖樣的所有計算都是在時域中進行的。實現(xiàn)步驟如下：（1）設(shè)除數(shù)的位數(shù)為i，將除數(shù)的首位去掉放到一數(shù)組G中，此時數(shù)組G為（i－1）位；（2）被除數(shù)的位數(shù)為j（j i），將被除數(shù)的前（i－1）位放到一數(shù)組A中，開始循環(huán)，循環(huán)次數(shù)等于（j－i＋1）；（3）判斷數(shù)組A的首位是否為1，若A的首位等于1，則把被除數(shù)的起始位向右移動一位，再將前（i－1）位放到數(shù)組A中，與數(shù)組G逐位相異或，并將結(jié)果放到數(shù)組A中；（4）若數(shù)組A的首位不等于1（等于0），則把被除數(shù)的起始位向右移動一位，再將前（i－1）位放到數(shù)組A中；（5）最后數(shù)組A中的結(jié)果即為余式。1．編碼算法步驟如下： （1），即在信息碼元后補=8個零；（2）將除以得余數(shù)，即 （3）得到編碼后碼字多項式。也就是說，應(yīng)是的最小多項式的最小公倍式。是根域的本原多項式的次數(shù)，為所作BCH碼的糾錯能力，該碼能糾正個或少于個錯誤的任意組合。若，則稱這類BCH碼為狹義BCH碼。 BCH碼的定義及其有關(guān)性質(zhì)[6]BCH碼是一類糾多個隨機錯誤的循環(huán)碼，因此在研究BCH碼時，可以從循環(huán)碼的生成多項式入手。因此BCH碼成為線性分組碼中應(yīng)用最普遍的一類碼。任何許用的碼組循環(huán)移位后的碼組還是許用碼組；，特別是編碼電路簡單，易于實現(xiàn)。循環(huán)碼具有以下一些性質(zhì)[6]：，其性能易于分析。循環(huán)碼具有許多特殊的代數(shù)性質(zhì)，這些性質(zhì)有助于按照要求的糾錯能力系統(tǒng)地構(gòu)造這類碼，并簡化譯碼算法，目前發(fā)現(xiàn)的大部