【正文】 0。這就證明了最小位能原理。()式表明，在所有在彈性體內(nèi)滿足平衡方程，在邊界上滿足力的邊界條件的可能應(yīng)力中，真實(shí)的應(yīng)力使系統(tǒng)的總余能取駐值。根據(jù)能量平衡，應(yīng)變能應(yīng)等于外力功，因此得到彈性系統(tǒng)的總位能與總余能之和為零。第四章 廣義坐標(biāo)有限元法的單元一般格式，給所建立的彈性力學(xué)平面問題的有限元格式，實(shí)際上體現(xiàn)了利用廣義坐標(biāo)有限元對彈性力學(xué)問題進(jìn)行有限元分析的一般格式和步驟。常用的二維單元有三角形或矩形，常用的三維單元有四面體（四角錐）、五面體或平行六面體。這一節(jié)要討論的是：選擇廣義坐標(biāo)有限元位移模式的一般原則，以及建立單元位移插值函數(shù)的一般步驟。對于4結(jié)點(diǎn)的矩形單元，廣義坐標(biāo)數(shù)為8，位移函數(shù)可取四項(xiàng)多項(xiàng)式作為近似函數(shù)。3結(jié)點(diǎn)三角形單元的位移模式正好滿足這個基本要求。并且一個坐標(biāo)方向的次數(shù)不應(yīng)超過完全多項(xiàng)式的次數(shù)，以保證相鄰單元交界面（線）上位移的協(xié)調(diào)性。豎線右側(cè)以三角形常應(yīng)變單元為對照。(2)形成單元的風(fēng)度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣。 () （）其中是直接作用于結(jié)點(diǎn)的集中力。 ()(7)進(jìn)行必要的后處理。當(dāng)然，以上給出的有限元分析的執(zhí)行步驟合肥市屬于總體框架性質(zhì)的，環(huán)繞著精度和效率這兩個總命題，每一步驟中依有相當(dāng)多的理論性和技術(shù)性的問題需要研究，這將在本書以后的有關(guān)章節(jié)中討論。此類單元可以避免廣義坐標(biāo)有限元的上述兩個缺點(diǎn)。很難想象，選擇一個與真正位移分布有很大差別的位移模式，而能得到良好的數(shù)值解。為了保證解答的收斂性，要求位移模式必須滿足以下三個條件。2. 位移模式必須能包含單元的常應(yīng)變 每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩個部分：一部分是與該單元中各個的位置坐標(biāo)有關(guān)的（即所謂各點(diǎn)的變應(yīng)變）；另一部分是與位置坐標(biāo)無關(guān)的（即所謂常應(yīng)變）。3. 位移模式在單元內(nèi)要連續(xù)，并使相鄰單元間的位移協(xié)調(diào)。通常，當(dāng)單元交界面上的位移取決于該交界面上結(jié)點(diǎn)的位移時(shí)，可以保證位移的協(xié)調(diào)性。非協(xié)調(diào)單元的主要缺點(diǎn)是，不能事先肯定其剛度與真實(shí)剛度的大小關(guān)系。選擇位移模式的階次時(shí)，需要考慮的另一個因素是，模式應(yīng)該與局部坐標(biāo)系的方位無關(guān)，這一性質(zhì)稱為幾何各向同性。例如，要構(gòu)造一個有八項(xiàng)構(gòu)成的三次模式，則由以下各項(xiàng)構(gòu)成的模式是各向同性的：（1）包含常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、二次項(xiàng)，再加上x3與y3項(xiàng)；或者（2）包含常數(shù)項(xiàng)、線性項(xiàng)、二次項(xiàng)，再加上x2y與xy2項(xiàng)。， ，式中被積函數(shù)往往相當(dāng)復(fù)雜，一般難以積出他的顯式，因此，在有限單元法的計(jì)算中都采用數(shù)值積分。一維的高斯求積公式 （485）式中 ——積分點(diǎn)的數(shù)目； ——積分點(diǎn)i的局部坐標(biāo)；——加權(quán)系數(shù)。逐次利用式（485），則有下列高斯積分公式 （486） （487）它們分別應(yīng)用于二維和三維問題。14點(diǎn)積分法則是表46 高斯求積公式中的積分點(diǎn)坐標(biāo)和加權(quán)系數(shù)2177。,981,043,584,854,845,137,145,154,862 (488)式中=320/361， =121/361， ， （489）在平面問題、軸對稱問題及空間問題中，物體劃分成較多個等參數(shù)單元時(shí)，使用22和222的高速積分法則，通常能取得良好的結(jié)果。在這種結(jié)構(gòu)中，桿間的連結(jié)是剛性的，即要保持位移（沿z軸的撓度）和轉(zhuǎn)角（繞x軸和繞y軸的轉(zhuǎn)角）的連續(xù)，結(jié)構(gòu)在變形時(shí)，桿件發(fā)生彎曲，剪切和扭轉(zhuǎn)變形，所以要考慮桿件承受彎曲、剪力和扭轉(zhuǎn)的能力，對結(jié)點(diǎn)i取如下的廣義位移和廣義力 （四）桁架結(jié)構(gòu)在工程中，常會遇到一些由比較細(xì)長的桿件基本是按三角形互相連接所組成的結(jié)構(gòu)，如：起重機(jī)機(jī)架、輸電塔等。據(jù)此，即可判斷所設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)的剛度和強(qiáng)度。用表示，下標(biāo)p、m表示單元坐標(biāo)系的某一坐標(biāo)軸方向(即代表x、y或z方向)，i，j代表單元兩端節(jié)點(diǎn)號，表示在j節(jié)點(diǎn)m方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在單元的i節(jié)點(diǎn)p方向產(chǎn)生的約束力。等效結(jié)點(diǎn)力同樣處理。(4)結(jié)構(gòu)剛度矩陣是奇異矩陣對于每個單元而言，它的單元剛度陣都是奇異的，這個可根據(jù)剛度系數(shù)的定義及單元在各自由度方向的平衡條件得到。由于結(jié)構(gòu)和受力情況的復(fù)雜，超靜定次數(shù)較高，若作精確分析因計(jì)算工作量甚大而頗為困難。只是在有限單元法中，“基本結(jié)構(gòu)”的選取有所不同。在系統(tǒng)中，取出結(jié)點(diǎn)為i和j的梁單元（圖52），利用右手坐標(biāo)系，使x軸與梁軸重合而y軸和z軸為梁截面的主慣軸方向。1. 用結(jié)點(diǎn)位移表示單元的位移模式 由材料力學(xué)知道，軸向位移u的位移模式可以取x的線性函數(shù)，而撓度v則用三次多項(xiàng)式來表示。在結(jié)點(diǎn)i和j上所受的結(jié)點(diǎn)力和軸力、剪力和彎矩。也就是說，用單元代替了經(jīng)典位移法中的“基本結(jié)構(gòu)”。由于近代電子計(jì)算機(jī)的不斷發(fā)展，復(fù)雜桿系結(jié)構(gòu)的分析，已經(jīng)成為不難解決的問題了。二、 等截面梁單元的剛度矩陣隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，在機(jī)械工程領(lǐng)域中，結(jié)構(gòu)件的使用日益廣泛。(2)結(jié)構(gòu)剛度矩陣呈帶狀分布規(guī)律根據(jù)單剛在總剛中的分布性質(zhì)決定的，每個單元在總剛中形成的帶寬為：，其中 為節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)；和分別為單元的最大和最小節(jié)點(diǎn)號。由此可得出結(jié)論：結(jié)構(gòu)節(jié)點(diǎn)剛度是由相交于此節(jié)點(diǎn)的所有單元提供。等截面桿件剛度系數(shù)：當(dāng)桿端產(chǎn)生位移（變形）時(shí)，在桿件的約束端會有約束力產(chǎn)生，變形和約束力之間存在著確定的關(guān)系。但實(shí)際分析發(fā)現(xiàn)在這種結(jié)構(gòu)中軸向力起決定作用，因此計(jì)算時(shí)，可把桿件的節(jié)點(diǎn)處當(dāng)作鉸鏈連接，可以自由轉(zhuǎn)動，節(jié)點(diǎn)處只保持線位移連續(xù)，這種結(jié)構(gòu)稱為桁架結(jié)構(gòu)。 第五章 桿系結(jié)構(gòu)有限元法根據(jù)在受外載荷作用變形時(shí)，結(jié)構(gòu)中出現(xiàn)的節(jié)點(diǎn)位移的種類（也就是廣義力的種類）可以將桿系結(jié)構(gòu)區(qū)分為幾種主要類型（一）空間剛架結(jié)構(gòu)（車身骨架結(jié)構(gòu)）桿件連接處是剛性聯(lián)結(jié)，而要保持轉(zhuǎn)角連續(xù)和線位移連續(xù)，因此在計(jì)算中需考慮桿件抵抗彎曲、剪切、扭轉(zhuǎn)、拉壓等多種變形以及對應(yīng)的廣義力，對結(jié)點(diǎn)i應(yīng)選取如下廣義位移和相應(yīng)的廣義力 即空間剛架結(jié)構(gòu)的節(jié)點(diǎn)自由度數(shù)目為6（二）平面剛架結(jié)構(gòu)桿件外力及由此產(chǎn)生的變形和約束力均在同一平面內(nèi)，桿件連接處是剛性聯(lián)結(jié)，即要保持轉(zhuǎn)角連續(xù)和位移連續(xù)，在這類結(jié)構(gòu)中考慮桿件承受軸向力、切力和彎矩的能力。05/98/94177。例如，20結(jié)點(diǎn)等參數(shù)單元，根據(jù)式（461）、（459）、（457）、（453）和（452）可知，至少要取n=m=l=3，也就是說，至少要27個積分點(diǎn)。積分點(diǎn)數(shù)目的選取與被積函數(shù)有關(guān)，當(dāng)是次多項(xiàng)式時(shí)，則取≥(+1)/2。高斯求積法就是在數(shù)值積分法中具有較高精度的方法。 高斯求積法的應(yīng)用一般來說，精確并快速的計(jì)算剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)力各元素的值，是有限單元法中極其重要的一環(huán)。對于高次模式，就是不應(yīng)有一個偏惠的坐標(biāo)方向，也就是位移形式不應(yīng)隨局部坐標(biāo)的更換而改變。二、多項(xiàng)式位移模式階次的選擇在第一章中曾提到在選擇多項(xiàng)式位移模式的階次時(shí)，要考慮到解得收斂性，即要考慮到解得收斂性，即要考慮完備性和協(xié)調(diào)性的要求。我們已經(jīng)討論過的三角形單元和矩形單元，顯然同時(shí)滿足三個條件，因此是完備的協(xié)調(diào)單元。單元間的協(xié)調(diào)性是要求單元之間不開裂也不重疊。除非我們的位移模式包含著這些常應(yīng)變，否則就沒有可能收斂于正確解。這樣，位移模式就不但要具有描述單元本身形變的能力，而且還要具有描述由于其他單元形變而通過結(jié)點(diǎn)位已引起單元剛體位移的能力。這樣一來，在給定的載荷之下，計(jì)算模型的變形比實(shí)際結(jié)構(gòu)的要小。從上面分析中可以看出，在單元形狀確定之后，位移模式的選擇是關(guān)鍵。如果進(jìn)一步考慮單元剛度矩陣和等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣的形成，將會涉及體積分和面積分的計(jì)算，對于廣義坐標(biāo)有限元，積分域隨單元而異，特別是開頭不規(guī)則的情況，將使計(jì)算復(fù)雜化。這是有限無法得到廣泛應(yīng)用的原因。(5)求解有限元求解方程（線性代數(shù)方程組），得到結(jié)點(diǎn)位移。參照（）后3式，并考慮單元存在初就歷程和初應(yīng)變情況，單元等效結(jié)點(diǎn)載荷列陣的一般表達(dá)式為 （）其中，分別是和作用于單元的體積力、邊界分步力、單元內(nèi)的初應(yīng)力、初應(yīng)變等效的結(jié)點(diǎn)載荷列陣。將（）式代入（）式，則有 （）對于二維問題，則有 將結(jié)點(diǎn)位移改為一般排列順序，則有其中 ⑷以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元應(yīng)變，并得到應(yīng)變矩陣對于二維問題，則有 在根據(jù)問題的類型和性質(zhì)選定了單元的形式并構(gòu)造了它的插值函數(shù)以后，可按以下步驟對問題進(jìn)行有限元分析：(1)對結(jié)構(gòu)進(jìn)行離散。 不同形式廣義坐標(biāo)有限元的位移模式單元形式位移模式3結(jié)點(diǎn)三角形平面單元 6結(jié)點(diǎn)三角形平面單元 4結(jié)點(diǎn)四邊形平面單元 8結(jié)點(diǎn)三角形平面單元 4結(jié)點(diǎn)四面體三維單元 8結(jié)點(diǎn)六面體三維單元 建立廣義坐標(biāo)有限元位移插值函數(shù)的一般步驟在選定了廣義坐標(biāo)有限元的位移模式以后，以利用它進(jìn)行具體問題的分析以前，重要的步驟是建立單元位移場的插值函數(shù)表達(dá)式。一般來說，對于單元邊每邊具有兩個端結(jié)點(diǎn)的應(yīng)保證一次完全多項(xiàng)式，、4結(jié)點(diǎn)單元或三維4結(jié)點(diǎn)、6結(jié)點(diǎn)、8結(jié)點(diǎn)單元和三維20結(jié)點(diǎn)單元。當(dāng)劃分的單元數(shù)趨于無窮時(shí)，單元縮小趨于一點(diǎn)，此時(shí)單元應(yīng)變應(yīng)趨于常應(yīng)變。有限項(xiàng)多項(xiàng)式選取的原則應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)：（1）廣義坐標(biāo)是由結(jié)點(diǎn)場變量確定的，因此它的個數(shù)應(yīng)與結(jié)點(diǎn)自由度數(shù)相等。、三維問題中常用的單元形式。以下分別對它們加以總結(jié)和進(jìn)一步闡述。由()及()式可見，用最小位能原理求得位移近似解的彈性變形能是精確解變形能的下界，即近似的位移場在總體上偏小，也就是說結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型顯得偏于剛硬；而利用最小余能原理得到的應(yīng)力近似解的彈性余能是精確解余能的上界，即近似的應(yīng)力解在總體上偏大，結(jié)構(gòu)的計(jì)算模型偏于柔軟。彈性力學(xué)變分原理的能量上、下界由于最小位能原理和最小余能原理都是極值原理，它們可以給出能量的上界或下界，這對估計(jì)近似解的特性是有重要意義的。這是因?yàn)槎?)式面積分內(nèi)被積函數(shù)，在給定位移保持不變情況下是外力的余能。由于應(yīng)變能是正定的，除非，則恒有 因此有：上述等號只有當(dāng)時(shí)，即可能位移就是真實(shí)位移時(shí)才成立。還可以進(jìn)一步證明在所有可能位移中，真實(shí)位移使系統(tǒng)總位能取最小值，因此()式所表述的稱為最小位能原理。最小位能原理最小位能原理的建立可以從上節(jié)已建立的虛位移原理出發(fā)。但是應(yīng)指出，無論是虛位移原理和虛應(yīng)力原理，它們所依賴的幾何方程和平衡方程都是基于小變形理信紙的，所以它們不能直接應(yīng)用于大變形理論的力學(xué)問題。所以，虛應(yīng)力原理表述了位移協(xié)調(diào)的必要而充分的條件。為和前述內(nèi)力和給定外力在虛應(yīng)變和虛位移上所作的虛功相區(qū)別，這兩項(xiàng)虛功，從力學(xué)意義上更準(zhǔn)確地說應(yīng)稱之為余虛功。還應(yīng)指出，在導(dǎo)出虛位移原理的過程中，未涉及物理方程（應(yīng)力——應(yīng)變關(guān)系），所以虛位移原理不僅可以用于線彈性問題，而且可以用于非線性彈性及彈塑性等非線性問題。所以虛位移原理表述了力系平衡的必要而充分的條件。所以得到是虛功原理中的虛位移原理。對上式體積分中的第1項(xiàng)進(jìn)行分部積分，并注意到應(yīng)力張量是對稱張量，則可以得到通過幾何方程（）式可見，式中表示的正是應(yīng)變的變分，即虛應(yīng)變。虛位移原理首先考慮平衡方程 （在V內(nèi)） （i=1，2，3）以及力的邊界條件 （在上） （i=1，2，3）可以利用式（）建立與它們等效的積分形式，現(xiàn)在平衡方程相當(dāng)于；力的邊界條件相當(dāng)于。虛功原理是虛位移原理和虛應(yīng)力原理的總稱。由于應(yīng)力張量是對稱張量，因此張量的二個前指標(biāo)具有對稱性。該重復(fù)指標(biāo)稱為啞指標(biāo)。在直角坐標(biāo)系中，應(yīng)力張量和應(yīng)變張量都有是對稱的二階張量，分別用和表示，且有和，其他位移張量、體積力張量、面積力張量等都是一階張量。彈性體的應(yīng)變能和余能單位體積的應(yīng)變能（應(yīng)變能密度）為 應(yīng)變能是個正定函數(shù)，只有當(dāng)彈性體內(nèi)所有的點(diǎn)都沒有應(yīng)變時(shí)，應(yīng)變能才為零。這兩部分邊界構(gòu)成彈性體的全部邊界，即力的邊界條件彈性體在邊界上單位面積的內(nèi)力為，在邊界上已知彈性體單位面積上作用的面積力為，根據(jù)平衡應(yīng)有 設(shè)邊界外法線的方向余弦為，則邊界上彈性體的內(nèi)力可由下式確定 () 式的矩陣形式為（在上）其中 幾何邊界條件在上彈性體的位移已知為，即有 用矩陣形式表示： （在上）以上是三維彈性力學(xué)問題中的一組基本方程和邊界條件，同樣，對于平面問題，軸對稱問題等也可以得到類似的方程和邊界條件。注意到 物理方程中的彈性矩陣亦可表示為稱對 物理方程的另一種形式是 其中：C是柔度矩陣。平衡方程的矩陣形式為（在內(nèi)） 其中，是微分算子，即 是體積力向量，2. 幾何方程——應(yīng)變位移關(guān)系在微小位移和微小變形的情況下，略去位移導(dǎo)數(shù)的高次冪，則應(yīng)變向量和位移向量間的幾何關(guān)系為