二次型專題輔導(dǎo)(文件)
【正文】 非正二、解題方法與典型例題；；；，先求其標(biāo)準(zhǔn)型，然后化為規(guī)范型；，主要是看其秩與慣性指標(biāo)是否相等；； （矩陣）的證明.例1 級(jí)復(fù)對(duì)稱矩陣按合同分類共有多少類?級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣按合同分類共有多少類？解 級(jí)復(fù)對(duì)稱矩陣按合同分類共有類，級(jí)實(shí)對(duì)稱矩陣按合同分類共有類。 例2 證明：在復(fù)數(shù)域上合同，但在實(shí)數(shù)域上不合同.證明 在復(fù)數(shù)域上取，的主對(duì)角線上元素是的行向量元素的平方和，.例3 證明：秩為的對(duì)稱矩陣可以表示成個(gè)秩為1的對(duì)稱矩陣之和.證明 設(shè)為秩為的矩陣，則存在可逆矩陣，使，令則，其中為秩為1 的矩陣.例4 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫出所用的非退化的線性替換.解 令，則,所用的非退化的線性替換為.例5 證明與合同，其中為可逆的對(duì)稱矩陣.證明 因?yàn)? 所以與合同. 例6 ，證明；存在，使.證明 設(shè)矩陣的秩為，則，其中，顯然，因此.例7 令，證明；在實(shí)數(shù)域上合同，并且求一實(shí)可逆矩陣使.解 使.例8 證明：任何一個(gè)級(jí)可逆復(fù)對(duì)稱矩陣必合同于以下形式的矩陣之一.證明 法一）由復(fù)對(duì)稱矩陣合同的充分必要條件是它們有相同的秩，于是對(duì)可逆的復(fù)對(duì)稱矩陣如果是偶數(shù)級(jí)的合同于，如果是奇數(shù)級(jí)的則合同于法二）對(duì)于 在復(fù)數(shù)域上利用傳遞性，得證.，只需考察即可
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