【正文】 意 fj與 xi是經(jīng)過了標準化的，因此均值為零，標準差為 1）： ?????????ntjtnttinttjtinttjti fxfxfx121211即 恰好是兩個向量 fj與 xi的相關(guān)系數(shù)，也就是第 i個變量在第 j個公共因子的負載 aij。除此以外，確定因子值還有其他方法 。同理可說明 右端的矩陣 xTx恰好是 x的相關(guān)系數(shù)矩陣 R。 2. 因子值（因子得分）的求法 設(shè)第 j個公共因子的因子值 fj，可以由原始變量 x1, x2, …, xk的樣本觀察值計算出來（必須注意，無論是原始變量還是公共因子，都是經(jīng)過了標準化的）。而目的往往是利用得到的公共因子作進一步的分析。 示例 例 某公司請 12名顧客對 5類肉食偏好打分，結(jié)果如下表 （ 1）求出相關(guān)系數(shù)矩陣如下表 C o r r e l a t i o n M a t r ix1 .0 0 0 . 0 1 6 . 4 2 9 . 3 9 5 . 0 5 3 . 0 1 6 1 .0 0 0 . 1 8 1 . 4 7 3 .5 7 1 . 4 2 9 . 1 8 1 1 .0 0 0 .5 4 5 . 1 4 9 . 3 9 5 . 4 7 3 .5 4 5 1 .0 0 0 . 3 0 1 . 0 5 3 .5 7 1 . 1 4 9 . 3 0 1 1 .0 0 0牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉C o r r e la t io n牛肉 魚肉 羊肉 豬肉 雞肉， ， ， ， （ 2）求出 5個特征值為： （ 3）求出負載矩陣 C o m p o n e n t M a t r i xa. 4 7 7 . 6 9 5 . 5 2 3 7 . 5 3 1 E 0 2 9 . 9 5 9 E 0 2. 6 8 2 . 5 6 5 7 . 6 0 3 E 0 2 . 3 0 0 . 3 4 5 . 7 0 3 . 4 3 3 . 4 6 8 . 2 6 2 . 1 7 6 . 8 5 4 . 1 3 4 8 . 3 1 3 E 0 2 . 3 3 2 . 3 6 9. 5 8 0 . 6 2 9 . 1 6 9 . 4 6 3 . 1 5 7牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉1 2 3 4 5C o m p o n e n tE x t r a c t io n Me t h o d : P r in c ip a l C o m p o n e n t A n a ly s is .5 c o m p o n e n t s e x t r a ct e d .a . To t a l V a r i a n c e E x p l a i n e d2 .2 5 2 4 5 .0 4 2 4 5 .0 4 2 2 .2 5 2 4 5 .0 4 2 4 5 .0 4 21 .4 0 5 2 8 .0 9 7 7 3 .1 3 9 1 .4 0 5 2 8 .0 9 7 7 3 .1 3 9.5 3 4 1 0 .6 7 1 8 3 .8 1 0 .5 3 4 1 0 .6 7 1 8 3 .8 1 0.4 8 9 9 .7 7 6 9 3 .5 8 6 .4 8 9 9 .7 7 6 9 3 .5 8 6.3 2 1 6 .4 1 4 1 0 0 .0 0 0 .3 2 1 6 .4 1 4 1 0 0 .0 0 0C o mp o n e n t12345T o t a l % o f V a r ia n c e C u mu la t iv e % T o t a l % o f V a r ia n c e C u mu la t iv e %I n it ia l E ig e n v a lu e s E x t r a c t io n S u ms o f S q u a r e d L o a d in g sE x t r a c t io n M e t h o d : P r in c ip a l C o mp o n e n t A n a ly s is .其中前兩個因子對應(yīng)的特征值大于 1, 因此取前兩個因子 . 它們的累積貢獻率為 %(SPSS計算的結(jié)果見上表 ). （ 4）用最大方差法旋轉(zhuǎn)，得到含義明確的負載矩陣 R o t a t e d C o m p o n e n t M a t r i xa . 8 2 2 . 1 8 8 . 1 1 8 . 8 7 8. 8 1 0 . 1 5 8. 7 1 8 . 4 8 07 . 0 5 7 E 0 5 . 8 5 6牛肉魚肉羊肉豬肉雞肉1 2C o m p o n e n tE x t r a c t io n M e t h o d : P r in c ip a l C o m p o n e n t A n a ly s is . R o t a t io n M e t h o d : V a r im a x w it h K a is e r N o r m a li z a t io n .R o t a t io n c o n v e r g e d in 3 it e r a t io n s .a . 于是有 121 特殊因子牛肉 ???? ff221 8 7 1 特殊因子魚肉 ???? ff321 1 5 0 特殊因子羊肉 ??? ff421 特殊因子豬肉 ??? ff5215 特殊因子雞肉 ???? ? ff從表中數(shù)據(jù)看，第一個公共因子 f1（從絕對值角度看）對牛肉、羊肉、豬肉（都屬于大家畜）的影響大， f1應(yīng)當是消費者對大家畜肉類的某些特征的共同反映。但一般而言，對公共因子的合理解釋建立在對實際問題的深刻理解與把握的基礎(chǔ)之上，是 實踐性很強的藝術(shù) 。極端情況是回到原來的變量。 ?方差最大法 (Varimax)：使每個因子上的負載盡可能向 ?1的方向，或 0的方向靠近。 實際上，按照前面的方法得到的負載矩陣 Ak?m所對應(yīng)的公共因子往往綜合性太強，以致難以看出因子的實際意義，因此 需要通過旋轉(zhuǎn)坐標軸，使負載盡可能向? 0的方向靠近。 這表明 AT也是負載矩陣。 設(shè) Ak?m是一個已經(jīng)得到的負載矩陣。 ?碎石準則 (Scree Test Criterion)：把特征值從大到小，繪在坐標圖上（橫坐標是特征值從大到小的編號，縱坐標是特征根的值），把特征根減小速度變緩的特征根都去掉。 注意： 這一算法只是近似算法 。若 111 ba ??TR 11)( aaX ?接近對角矩陣，則說明剩下的主要是特殊因子的影響了，計算停止。 記 ，可以證明， 若 λ2是 R1*的最大特征根， b2是與之對應(yīng)的任意一個模長為 1的特征向量，則 就是所求 。 可以證明： ??? εAAX ()( C O VC O V T由于 ε已知，所以 已知，記 ?? εX ()( C O VC O V???? εXAAX ()()(* C O VC O VR T現(xiàn)在的任務(wù)是 由已知的 R*(X)來求（ k?m階）矩陣 A。 沒有針對 KMO測度的顯著性檢驗。 因此 KMO越接近 1，越適合于公共因子分析。 （ 1） KMO樣本測度 (KaiserMeyerOlkin Measure of Sampling Adequacy)。所以 在進行因子分析之前，必須先檢驗 X1, X2, …, Xk之間的相關(guān)性 。此外 在因子模型中除了公共因子外還存在特殊因子，因此公共因子只能解釋原來變量的部分方差，而主成分能解釋原來變量的所有方差 。 jmimjijiij aaaaaar ???? ?2211（ 3） xi的方差為： 1)()(2 ??? iii eV a rhxV a r其中 22 2212 imiii aaah ???? ? （即負載矩陣第 i行元素的平方和）稱為 公因子方差 (Communality)， 又稱為 公共度 或 公共方差 ，代表了xi的方差中由公共因子決定的部分。 矩陣 ????????????kmkkmmaaaaaaaaa???????212222111211稱為 公共因子的負載矩陣 。 因子分析最初由英國心理學家 C. Spearman提出。 （ 2） 數(shù)據(jù)化簡 通過因子分析可以用所找出的少數(shù)幾個因子代替原來的變量做回歸分析、聚類分析、判別分析等。 321 FFF 、i?因子分析的主要作用： （ 1） 尋求基本結(jié)構(gòu) 在多元統(tǒng)計分析中我們經(jīng)常遇到諸多變量之間存在強相關(guān)的問題。 但消費者主要關(guān)心的是三個方面，即商店的環(huán)境、商店的服務(wù)和商品的價格。它通過研究眾多變量之間的內(nèi)部依賴關(guān)系，探求觀測數(shù)據(jù)中的基本結(jié)構(gòu)，并用少數(shù)幾個假想變量來表示其基本的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。 （ 2）求 R的特征根 ?1， ?2， … ， ?k（從大到小排列）及一組相互正交的單位特征向量 b1， b2， … ， bk。 ????kiisii11?? 我們進行主成分分析的目的之一是希望用盡可能少的主成分 Y1， Y2， … ， Ys（ s≤k） 代替原來的 k個指標 。 協(xié)方差矩陣 ?的 對角線上的元素之和等于特征根之和 。 如果第一主成分的信息不夠，則需要尋找第二主成分。 而 U恰好是由特征根相對應(yīng)的單位特征向量所組成的正交陣 。 Yl和 Y2稱為原始變量 X1和 X2的綜合變量。變量 Yl代表了原始數(shù)據(jù)的絕大 部分信息，在研究某經(jīng)濟或管理問題時，即使不考慮變量 Y2也無損大局。顯然，如果只考慮 Xl和 X2 中的任何一個，那么包含在原始數(shù)據(jù)中的經(jīng)濟信息將會有較大的損失。 然后，從 Y1, Y2, …, Yk中選出對方差貢獻最大的部分指標作為主成分。