【正文】 多項(xiàng)式 ,則其次數(shù)必小于 k,而 xnk 設(shè)該 (7, 3) 循 環(huán) 碼 的 生 成 多 項(xiàng) 式 為g(x)=x4+x2+x+1,則構(gòu)成的系統(tǒng)循環(huán)碼編碼器如圖 47所示 ,圖中有 4個(gè)移位寄存器 ,一個(gè)雙刀雙擲開關(guān) 。 達(dá)到檢錯(cuò)目的的譯碼十分簡單 ,可以依據(jù)式 (454),通過判斷接收到的碼組多項(xiàng)式 B(x)是否能被生成多項(xiàng)式 g(x)整除來完成 。 這種錯(cuò)誤 被稱為不可檢錯(cuò)誤 ,不可檢錯(cuò)誤的錯(cuò)碼數(shù)必將超過這種編碼的檢錯(cuò)能力 。 上述第 （ 1） 步運(yùn)算和檢錯(cuò)譯碼類似 ,也就是求解B(x)整除 g(x)的余式 ,第 （ 3） 步也很簡單 。 它的生成多項(xiàng)式 g(x)與最小碼距之間有密切的關(guān)系 ,人們可以根據(jù)所要 求的糾錯(cuò)能力 t,BCH碼 。 由圖可知 ,n個(gè)比特編碼輸出不僅與當(dāng)前的 k個(gè)比特信息輸入有關(guān) ,而且與以前的 (N1)k個(gè)比特信息輸入有關(guān) 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 圖 410 （ 2,1,3）卷積碼編碼器 mj輸入 序列m1m2… mj…mj － 1mj － 2輸出 序列x1 , jx2 , j第 4章 信道編碼技術(shù) 1. 在 (2,1,3)卷積碼編碼器當(dāng)中 ,輸出移位寄存器用轉(zhuǎn)換開關(guān)代替 ,每輸入一個(gè)位信息 ,經(jīng)編碼產(chǎn)生兩位輸出 。 當(dāng)?shù)谒奈惠斎霑r(shí) ,第一位移出移位寄存器而消失 。 當(dāng)輸入第二位時(shí) ,移位寄存器右移一位后 ,在上分支情況下 ,移位寄存器的狀態(tài)仍為 00,下分支的狀態(tài)則為 01,把 01狀態(tài)記作b。 樹狀圖中 ,每條樹叉上所標(biāo)注的碼元為輸出狀態(tài) ,每個(gè)節(jié)點(diǎn)上標(biāo)注的 a、 b、 c、 d表示移位寄存器的狀態(tài) ,也就是以前輸入的信息 ,a狀態(tài)表示 mj2mj1＝ 00,b狀態(tài)表示 mj2mj1＝ 01,c狀態(tài)表示 mj2mj1＝ 10,d狀態(tài)表示 mj2mj1＝11。 網(wǎng)格圖中分支上標(biāo)注的碼元為對(duì)應(yīng)的輸出 ,自上而下 4行節(jié)點(diǎn)分別表示 a、 b、 c、 d四種狀態(tài) 。 當(dāng)然 ,如果將狀態(tài)圖在時(shí)間上展開 ,便可以得到前面講到的網(wǎng)格圖 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 圖 414 （ 2,1,3）卷積碼的編碼過程及路徑 a輸出 碼狀態(tài)輸入 碼111b11011d010c001b011d101d010c110a111b100c110a000a0001010001100111 111011第 4章 信道編碼技術(shù) 通過上述分析以及對(duì)具體實(shí)例的研究 ,我們可以得到 (n,k,N) （ 1） 對(duì)于每組 k位的輸入 ,利用卷積碼編碼后將得到 n位的輸出； （ 2） 樹狀圖中每個(gè)節(jié)點(diǎn)可引出 2k條分支； （ 3） 網(wǎng)格圖和狀態(tài)圖都有 2k(N1) 種可能的狀態(tài) ,每個(gè)狀態(tài)可以引出 2k條分支 ,同時(shí)也有 2k條分支從其他狀態(tài)或本狀態(tài)引入； （ 4） 在任何情況下 ,只要卷積碼編碼器一確定 ,相應(yīng)的樹狀圖 、 網(wǎng)格圖和狀態(tài)圖都將確定 ,與輸入的碼序列無關(guān) 。 卷積碼中長度為 nN(假設(shè)約束長度為 7)的編碼后序列之間的最小漢明距離被稱為最小碼距 dmin,任意長編碼后序列之間的最小漢明距離被稱為自由碼距 dfree。 當(dāng)采用維特比譯碼或序列譯碼算法 ,且譯碼所考察的編碼后序列長度大于 nN時(shí) ,自由碼距 dfree就是一個(gè)重要參量 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 用狀態(tài)圖求生成函數(shù)可以得到卷積碼的距離特性 ,特別是自由距 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 卷積碼的最佳譯碼 —— 1. 利用最大似然序列估計(jì)器 ,使似然函數(shù)最大的一個(gè)參數(shù)作為估計(jì)值 ,鑒于似然函數(shù)的性質(zhì) ,我們通常選擇似然函數(shù)的對(duì)數(shù)最大 ,而不是似然函數(shù)本身最大 ,現(xiàn)在我們就根據(jù)卷積碼編譯碼系統(tǒng)的特點(diǎn)構(gòu)造似然函數(shù) 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 對(duì)于長度為 L的二進(jìn)制序列的最佳譯碼 ,需要對(duì)可能發(fā)送的 2L個(gè)不同的序列的 2L條路徑似然函數(shù)累加值 (即路徑量度 )進(jìn)行比較 ,選取其中最大 (即最小量度 )的一條 。 然后在剩下的 “ 幸存 ” 路徑中重新選擇譯碼路徑 ,這樣一直進(jìn)行到最后第 L級(jí) 。 由網(wǎng)格圖的前 N1條連續(xù)分支構(gòu)成的路徑互不相交 ,即最初的 2 (N1) 條路徑各不相同 ,當(dāng)接收到第 N條分支時(shí) ,每條路徑都有兩條分支延伸到第 N級(jí)上 ,而第 N級(jí)上的每兩條分支又都匯聚在一個(gè)節(jié)點(diǎn)上 。 有時(shí)會(huì)出現(xiàn)兩條路徑的對(duì)數(shù)似然函數(shù)累加值相 等的情形 ,在這種情況下可以任意選擇其中一條作為 “ 幸存 ” 路徑 。 由于每個(gè)節(jié)點(diǎn)引出兩條分支 ,因此以后各級(jí)中路徑的延伸都增大一倍 ,但比較它們的似然函數(shù)累加值后 ,丟棄一半 ,結(jié)果留存下來的路徑總數(shù)保持常數(shù) 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 2. 卷積碼的網(wǎng)格圖中共有 2k(N1) 種狀態(tài) ,每個(gè)節(jié)點(diǎn)(即每個(gè)狀態(tài) )有 2k條分支引入 , 也有 2k條分支引出 。 用網(wǎng)格圖描述時(shí) ,由于路徑的匯聚消除了樹狀圖中的冗余度 ,譯碼過程中只需考慮整個(gè)路徑集合中那些能使似然函數(shù)最大的路徑 。 求最大似然函數(shù)的對(duì)數(shù) ,就相當(dāng)于求 X和 Y之間的漢明距最小 。 隨著 k和 N增大 ,狀態(tài)圖中的狀態(tài)數(shù)指數(shù)增加 ,因而生成函數(shù)的計(jì)算變得愈來愈復(fù)雜 ,甚至不可能 。 計(jì)算自由碼距的一種解析方法是利用卷積碼的生成函數(shù) 。 更加確切地說 ,采用哪一種碼距作為糾錯(cuò)能力的度量標(biāo)準(zhǔn) ,與譯碼算法有關(guān) 。 常以最大的最小碼距作為糾錯(cuò)能力的度量 。 在這里使用卷積碼的網(wǎng)格圖表示法進(jìn)行分析 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 圖 412 （ 2, 1, 3）卷積碼的網(wǎng)絡(luò)圖表示 00 00 00 00 00111111111110狀態(tài)a ＝ 00b ＝ 01c ＝ 10d ＝ 1110 10 10010101010101 010000001011 11 1110 10第 4章 信道編碼技術(shù) 3. 由圖 411可以看到 ,對(duì)于每一個(gè)節(jié)點(diǎn)當(dāng)前狀態(tài) a、 b、 c、 d,根據(jù)不同的輸入將進(jìn)入不同的狀態(tài) ,基于這一原理 ,我們可以構(gòu)造出當(dāng)前狀態(tài)與下一狀態(tài)之間的狀態(tài)轉(zhuǎn)換圖 ,也可以稱之為卷積碼的狀態(tài)圖 。 第 4章 信道編碼技術(shù) 2. 從卷積碼的樹狀圖中可以看到 ,樹狀圖的節(jié)點(diǎn)自上而下會(huì)出現(xiàn)重復(fù)特性 ,為此 ,我們可以得到一種更為緊湊的圖形表示方法 ,即網(wǎng)格圖法 ,具體情況見圖 412。 上分支對(duì)應(yīng)于輸入 0狀態(tài) ,下分支對(duì)應(yīng)于輸入 1狀態(tài) 。 樹狀圖從節(jié)點(diǎn) a開始畫 ,此時(shí)移位寄存器狀態(tài) (即存儲(chǔ)內(nèi)容 )為 00。 隨著第二個(gè)位的輸入 ,第一位右移一位 ,此時(shí)輸出比特同時(shí)受當(dāng)前輸入位和前一個(gè)輸入位的影響 。 通常把 N稱為約束長度 (注意： 約束長度的定義并無統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn) ,在有的書和文獻(xiàn)中把 nN或 (N1)稱為約束長度 ),因此 ,卷積碼通?？梢员硎緸?n,k,N),它的編碼 效率為 Rc＝ k/n。 第 4章 信道編碼技術(shù) 卷積碼 卷積碼編碼器的一般形式如圖 49所示 ,它包括：一個(gè)由 N段組成的輸入移位寄存器 ,每段有 k級(jí) ,共 Nk位寄存器；一組 n個(gè)模 2相加器；一個(gè)由 n級(jí)組成的輸出移位寄存器 。 第 4章 信道編碼技術(shù) BCH BCH碼是循環(huán)碼中的一個(gè)重要子類 ,它是以三個(gè)研究 和 發(fā) 明 這 種 碼 的 人 名 Bose 、 Chaudhuri 和Hocguenghem命名的 。 我們知道 ,校正子與錯(cuò)誤圖樣之間存在某種對(duì)應(yīng)關(guān)系 。 因此 ,我們就可以根據(jù)余項(xiàng)是否為零來判斷碼組中有無錯(cuò)碼 。 當(dāng)信息碼為 110時(shí) ,編碼器的工作過程如表 44所示 。m(x)除以 g(x),可得余數(shù) r(x),r(x)的次數(shù)必小于(nk),將 r(x)加到信息位后作監(jiān)督位 ,就得到了系統(tǒng)循環(huán)碼 ,其數(shù)學(xué)描述如下： (453) 則系統(tǒng)循環(huán)碼可以表示為 A(x)=xnk 上面我們討論了循環(huán)碼的基本原理 ,下面就系統(tǒng)循環(huán)碼的產(chǎn)生進(jìn)行分析。 以 (x7+1)因式分解為例： x7+1=(x+1)g(x)=Q(x) 為此 ,可以得到一個(gè)重要的結(jié)論： 一旦生成多項(xiàng)式g(x)確定以后 ,整個(gè) (n, k)循環(huán)碼就被確定了 。g(x)、 … 、 xk1 由上述分析可以得到結(jié)論： 一個(gè)長為 n的循環(huán)碼 ,它必為按模 (xn+1)運(yùn)算的一個(gè)余式 。 為了利用代數(shù)理論研究循環(huán)碼 ,可以將碼組用代數(shù)多項(xiàng)式來表示 ,這個(gè)多項(xiàng)式被稱為碼多項(xiàng)式 ,對(duì)于許用循環(huán)碼A=(an1an2 … a1 a0),可以將它的碼多項(xiàng)式表示為 A(x)=an1xn1+an2xn2+… +a1x+a0 (445) 第 4章 信道編碼技術(shù) 對(duì)于二進(jìn)制碼組 ,多項(xiàng)式的每個(gè)系數(shù)不是 0就是 1,x僅是碼元位置的標(biāo)志 ,因此 ,我們這里并不關(guān)心 x 設(shè)上述循環(huán)許用碼組 A左循環(huán)一位得到的碼組記作 A（ 1） = (an2an3 … a0 an1 ),其碼多項(xiàng)式可以表示為 A (1) (x)=an