【正文】 A 2L 1x? x 1x? B C 0 1Q 1Q? 0Q 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 9 按照干涉原理，兩個相干光疊加時，它們的光程差若為半波長，可得到干涉相消的結(jié)果。根據(jù)上述分析，可將屏上 1Q 點(diǎn)應(yīng)滿足的條件總結(jié)如下： ? ? ? ? ?? ??????? 22211 LLBD m (22) ?? ?? 11 s inaBD (23) 1110 ?ftgx ?? (24) 110 x ??? (25) 此式的 f 是透鏡的焦距， 1x 是以0Q為原點(diǎn)的 1Q 位置坐標(biāo)。此 2Q 點(diǎn)所對應(yīng)的平行光線的衍射角 21 ??? ，所對應(yīng)的最大光程差為 ? ? 122 BDLBD m ??? 。（ 2）要求相鄰波帶發(fā)出的子波會聚到達(dá)屏上 Q 點(diǎn)的平均光程差都等于半波長。在這種情況下，計(jì)算衍射圖樣中光強(qiáng)的分布時，數(shù)學(xué)運(yùn)算就比較簡單。 圖 212 紅光單縫衍射圖樣 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 11 圖 213 單縫衍射光路 強(qiáng)度的計(jì)算 現(xiàn)在我們用惠更新 菲涅耳原理來解釋上述現(xiàn)象。平行光束垂直于縫的平面入射時，波面和縫平面重合（垂直于圖面）?，F(xiàn)在，首先對其中沿圖面與原入射方向成 θ角（稱為衍射角）的方向傳播的所有各次波進(jìn)行研究。BD，根據(jù) BD 面上各點(diǎn)的位相 分布情況即可決定在 P 點(diǎn)相遇的各次波的位相關(guān)系。 MN 為沿著衍射角θ進(jìn)行的任一條路程，令 BM =x，則 sinMN x ?? ，這就是從 M 和從 B 兩點(diǎn)所發(fā)次波沿平行于MN 方向到達(dá)平面 BD 時的光程差。不同的衍射角θ對應(yīng)于光屏上不同的觀察點(diǎn)。這里，疊加的各個次波位相差為零，所以振幅疊加互相加強(qiáng)。 圖 31 積分曲面 t 時刻、空間 P 點(diǎn)處的光電場為 ? ? ? ? iwtePEtPE ?? ~, （ 31） 若 P 是無源點(diǎn)，該 光 場應(yīng)滿足標(biāo)量波動方程： 01 2222 ????? tEcE （ 32） 將（ 31）式代入，可得到 ? ? 0~22 ??? PEkE （ 33） 式中， cwk? ，該 式 即為亥姆霍茲方程。它將 P 點(diǎn)的光場與周圍任一閉合曲線Σ上的光場聯(lián)系起來。 P點(diǎn)的光場復(fù)振幅為 ? ? ?? drenErenEPE ik rik r??????? ?????? ??????????????????????21~~4 1~ （ 39） 因?yàn)槠恋拇嬖诒厝粫蓴_ Σ 處的場。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 16對于 2? 面 Rr? , ? ? 1,cos ?Rn ?? ，且 1??R 有 ReikReRikRenik Rik Rik R ??????? ???????????? 1 因此在 2? 上的積分為 ???? ? ???????? ???? ????????? ??? ???? dREiknERedEiknERe i k Ri k R 2~~4 1~~4 12 ， 式中 ? 是 2? 對 P 點(diǎn)所張的立體角， d? 是立體角元。 與 惠更斯－菲涅耳公式（ 21）進(jìn)行比較 ,可得 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? iClnrnKelAlEQE ik l ?????? ,2 ,c os,c os,~~ ???? 將積分 面元 d? 視為次波源的話，（ 311）式可解釋為： P 點(diǎn)的光場是 Σ 上無窮多次波源產(chǎn)生的，次波源的復(fù)振幅與入射波在該點(diǎn) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 17的復(fù)振幅 ??QE~ 成正比，與波長成反比 ； 因子 ? ?i? 表 明次波源的振動相位超前于入射波 2? ； 傾斜因子 ???K 表示次波的振幅在各個方向上是不同的，其值在 0 與 1 之間。對于傍軸光線， 如 圖 33 開孔的線度和觀察屏上的考察范圍都遠(yuǎn)小于開孔到觀察屏的距離。 一 種 是 菲涅耳衍射 或近場衍射， 指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為有限遠(yuǎn)，或其中之一是有限遠(yuǎn)的情形 ； 另一 種 是 夫瑯禾費(fèi) 衍射 或遠(yuǎn)場衍射， 指的是光源和接收屏與衍射屏的距離均為無限遠(yuǎn)的情形。在夫瑯禾費(fèi)近似下， P 點(diǎn)的光場復(fù)振幅為 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 19? ? 1111211111221 ),(~,~ dydxeyxEezieyxE zyyxxikz yxikik z ???? ????? （ 319） 夫瑯禾費(fèi) 單縫 衍射 光強(qiáng)分布 如果只考慮單色平行光垂直入射到開孔平面上的的夫瑯禾費(fèi)衍射，則通常采用圖 34 所示的夫瑯禾費(fèi)衍 射裝置。所以后焦平面上的光場復(fù)振幅可為 ? ? ? ? 1111,~ dydxeCyxE fyyxxik??? ??? , ???????? ???? fyxfikefiAC 2 22? （ 320） 對于夫瑯禾費(fèi)單縫衍射，水平縫寬為 a,垂直縫寬為 b,則 ab?? ，沿 y 方向的衍射效應(yīng)不明顯，只在 x 方向有亮暗變化的衍射圖樣。 根據(jù)（ 322）式可的單縫衍射的光強(qiáng)分布特征： 在中央 P點(diǎn) , 0?? ,我們使 ? 為一很小的趨于零的角 ,對 ? 求極限 ,則1sin ??? ， 0II? ， 為中央主極大光強(qiáng)。 當(dāng) 27??? 時 ,同理 有 ? ?02203 27s in IAI ????????? ? ?為三級次極大光強(qiáng)。不同的衍射角θ對應(yīng)于光屏上不同的觀察點(diǎn)。 亮紋的角寬度 和線寬度 以相鄰暗紋的焦距離作為 亮紋 的角寬度。39。 接收屏的距離對條紋分布的影響 當(dāng)其他條件不變的情況下， 若接收屏沿軸向向前移動時， 接收屏上的條紋 間距 變 小 ， 衍射圖樣展開范圍減??； 若沿軸向 向后移動 ， 接收 屏上的條紋 間距變大 ，衍射圖樣展開范圍也增大 。 a=1e3。 ys=linspace(ym,ym,ny)。 alpha=2*pi*yp*sinphi/lam。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 24end N=255。 subplot(1,2,2) plot(B,ys)。 接收屏的距離對條紋分布的影響 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 25 圖 43 仿真不同屏距條紋的對比圖 當(dāng)入射光波長為 ，狹縫的 縫寬 為 1mm ，狹縫到接收屏的距離為 分別為 （內(nèi)） , 1m（中） , （外） ，仿真到的條紋對比圖如圖 43 所示。仿真結(jié)果如圖 44 所示。這里不采用分段測量法，而是在同一光強(qiáng)下讀取實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。 可以得出結(jié)論：當(dāng)只有縫寬改變，其他條件不改變的情況下，縫寬 與衍射光強(qiáng)成反比 ，縫寬也與條紋寬度成反比。 對比 分析 數(shù)值對比分析 根據(jù)采集完畢的數(shù)據(jù)計(jì)算出實(shí)驗(yàn)值，并和理論值相比較。 實(shí)驗(yàn)值衍射角 ? 的計(jì)算：從采集到的曲線數(shù)據(jù)中可計(jì)算出一級暗紋離 中央 主極大中心的距 離 ，這是原始數(shù)據(jù)，然后乘以 CCD 光敏元件的中心距才是 實(shí)際距離。所得實(shí)驗(yàn)值與理論值如下表 43 所示。 如果其他因素不變，只改變接收屏距離 的情況下，當(dāng)屏距越小時， 觀察到的衍射條紋的 間距越小 ，反之亦然 ，接收屏的距離與條紋寬度成正比 。 本章小結(jié) 本章 說明了根據(jù) 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射光強(qiáng)分布 的推導(dǎo) 而進(jìn)行 了 理論分析 、仿真分析和實(shí)驗(yàn)分析 ， 并 將 三者的 結(jié)果進(jìn)行具體的對比分析 ， 本章重點(diǎn)分析了縫寬、屏距及波長對衍射條紋的影響。而且波長的變化對衍射條紋的影響并不是很明顯。利用所測數(shù)據(jù)建立方程，最后求的單縫寬度 mma ? ,光波長 m?? 616? 。依此方 法計(jì)算出其它條紋距中央主極大中心的距離（表 42）。當(dāng)然誤差是會有的，但誤差很小，基本可以忽略。 從圖像中可以看到，曲線 1 所表示的條紋寬度在三條曲線里 是最 窄的，曲線 3是三條曲線里最寬的，而且這三條曲線的展開范圍是按著屏距的增大而變大的。 狹縫的寬度對條紋分布的影響 當(dāng)入射光的 波長 為 650nm，狹縫到接收屏的距離為 50cm， 狹縫的 縫寬分別為 （ 綠 1）， （ 紅 2）， （ 藍(lán) 3） ，實(shí)驗(yàn)采集到的條紋對比圖如圖 46 所示。而且波長的變化對衍射條紋的影響并不是很明顯?？梢缘贸鼋Y(jié)論：當(dāng) 屏距 改變，其他條件不改變的情況下， 屏距 與條紋的間距成正 比。 圖 42 仿真不同縫寬條紋的對比圖 從圖中可以看出，當(dāng)縫寬改變時，條紋寬度隨著縫寬的增大而減小，反之亦然。 subplot(1,2,1) image(ym,ys,Br)。 sumsin=sum(sin(alpha))。 yp=linspace(0,a,np)。 ym=3*lam*D/a。衍射積分法是由衍射積分算出接收屏上的光強(qiáng)分布，然后根據(jù)該分布調(diào)制色彩作圖，從而得到衍射圖案 ，如圖 41 所示： 圖 41 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射 Matlab 仿真圖 夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的仿真程序 ：波長 ,縫寬 1mm，屏距 1m。 由 （ 41）和（ 42） 式 可以看出 ， 條紋分布的 影響 因素有： 狹縫的寬度對條紋分布的影響 對于給定的波長， 亮紋的寬度是與狹縫的寬度成反比的， 在波前上對光束限制越大，也就是縫寬越小的時候，衍射場越彌散，衍射圖樣鋪開的越寬 ；反之，當(dāng)縫寬很大，光束幾乎自由傳播時， 0??? ，這表明衍射場基本上集中在沿直線傳播的原方向上，在透鏡焦面上衍射圖樣收縮為幾何光學(xué)像點(diǎn)。中央主極大明紋寬度由 1??k 的暗紋的衍射角所確定，則主極大亮紋角寬度 和線寬度分別 為 a?? 2?? ， affx ?? 2????? （ 41） 在兩相鄰暗紋間存在的次極明紋 ，其角寬度 和線寬度分別 為 239。 求出滿足光強(qiáng)的一階導(dǎo)數(shù)為零的那些點(diǎn)： ? ? 0s i nc oss i n2s i n 32 ??????????? ? ????? ??dd 解 得 ??? tan,0sin ?? 于是得到夫瑯禾費(fèi)單縫衍射的次極大值位置滿足關(guān)系為： ?? tan? 。 從基爾霍夫積分定理 出發(fā)，進(jìn)行了基爾霍夫衍射公式的推導(dǎo)，其中主要利用衍射公式的近似，最終推導(dǎo)出夫瑯禾費(fèi)的單縫衍射的光強(qiáng)公式。 當(dāng) 23??? 時 ,同理 有 ? ?02201 23s in IAI ????????? ? ?為一級次極大光 強(qiáng)。 相應(yīng) P 點(diǎn)的光強(qiáng)度為 20 sin ??????? ??II （ 322） 式中， 200 ~EI ?, ? ? 為衍射角??????? ,s i n2 afxafkxa ????。 圖 34 夫瑯禾費(fèi)衍射裝置 若開孔面上有均勻的 光 場分布，令 ? ? 常數(shù)?? AyxE 11 ,~ 。 于是，當(dāng) 1z 大到滿足 ? ? ? ?? ? ??????312m a x21218 z yyxxk （ 314） 時，上式第三項(xiàng)及以后的各項(xiàng)都可略去，即為 ? ? ? ?1212111112212121211 22211 zyxz yyxxz yxzz yyxxzr ????????????????? ?????? ????? （ 315） 這一近似稱為菲涅耳近似，在這個區(qū)域內(nèi)觀察到的衍射現(xiàn)象叫菲涅耳衍射。 于是，（ 311）可以化簡為 ? ? ? ?????? ?? deQEziPE ik r~~ 1 （ 312） 指數(shù)中