【正文】 3132212343102313221P 使 P?1AP? 18? 設 3階方陣 A的特征值為 1?2 2??2 3?1? 對應的特征向量依次為 p1?(0 1 1)T p2?(1 1 1)T p3?(1 1 0)T 求 A. 解 令 P?(p1 p2 p3) 則 P?1AP?diag(2 ?2 1)? A?P P?1 因為 76 ????????????????????? ??110 111011011 111110 11P 所以 ??????????????????? ???????????? ?110 111011100 020002011 1111101PPA?????????? ?????244 354331 19 設 3階對稱陣 A的特征值為 1?1 2??1 3?0 對應 2的特征向量依次為 p1?(1 2 2)T p2?(2 1 ?2)T 求 A 解 設 ?????????653542321xxx xxxxxxA 則 Ap1?2p1 Ap2??2p2 即 ???????? ??????222 222122653542321xxx xxxxxx ???① ???????? ????????222 122222653542321xxx xxxxxx ???② 再由特征值的性質(zhì) 有 x1?x4?x6? 1? 2? 3?0 ???③ 由①②③解得 61 2131 xx ??? 62 21xx? 63 4132 xx ?? 64 2131 xx ?? 65 4132 xx ?? 令 x6?0 得 311 ??x x2?0 323?x 314?x 325?x 因此 ??????????022 21020131A 20? 設 3階對稱矩陣 A的特征值 1?6 2?3 3?3 與特征值 1?6對應的特征向量為 p1?(1 1 1)T 求 A. 解 設 ?????????653542321xxx xxxxxxA 因為 1?6對應的特征向量為 p1?(1 1 1)T 所以有 77 ?????????????????1116111A ? 即???????? ??????666653542321xxx xxxxxx ???① 2? 3?3是 A的二重特征值 , 根據(jù)實對稱矩陣的性質(zhì)定理知 R(A?3E)?1 利用①可推出 ???????????????????????331113333653542653542321 ~xxx xxxxxx xxxxxxEA 因為 R(A?3E)?1 所以 x2?x4?3?x5且 x3?x5?x6?3 解之得 x2?x3?x5?1 x1?x4?x6?4 因此 ?????????411 141114A ? 21 設 a?(a1 a2 ? ? ? an)T a1?0 A?aaT (1)證明 ?0是 A的 n?1重特征值 證明 設 是 A的任意一個特征值 x是 A的對應于 的特征向量 則有 Ax? x 2x?A2x?aaTaaTx?aTaAx? aTax 于是可得 2? aTa 從而 ?0或 ?aTa 設 1 2 ? ? ? n是 A的所有特征值 因為 A?aaT的主對角線性上的元素為 a12 a22 ? ? ? an2 所以 a12?a22? ? ? ? ?an2?aTa? 1? 2? ? ? ? ? n 這說明在 1 2 ? ? ? n中有且只有一個等于 aTa 而其余 n?1個全為 0 即 ?0是 A的 n?1重特征值 (2)求 A的非零特征值及 n個線性無關(guān)的特征向量 解 設 1?aTa 2? ? ? ? ? n?0 因為 Aa?aaTa?(aTa)a? 1a 所以 p1?a是對應于 1?aTa的特征向量 對于 2? ? ? ? ? n?0 解方程 Ax?0 即 aaTx?0 因為 a?0 所以aTx?0 即 a1x1?a2x2? ? ? ? ?anxn?0 其線性無關(guān)解為 p2?(?a2 a1 0 ? ? ? 0)T p3?(?a3 0 a1 ? ? ? 0)T ? ? ? 78 pn?(?an 0 0 ? ? ? a1)T 因此 n個線性無關(guān)特征向量構(gòu)成的矩陣為 ?????????????????????????????????????112212100), , ,(aaaaaaannnppp 22 設 ???????? ??340 430241A 求 A100 解 由 )5)(5)(1(340 430241|| ??????????? ??????? EA 得 A的特征值為 1?1 2?5 3??5 對 于 1?1 解方程 (A?E)x?0 得特征向量 p1?(1 0 0)T 對于 1?5 解方程 (A?5E)x?0 得特征向量 p2?(2 1 2)T 對于 1??5 解方程 (A?5E)x?0 得特征向量 p3?(1 ?2 1)T 令 P?(p1 p2 p3) 則 P?1AP?diag(1 5 ?5)?? A?P?P?1 A100?P?100P?1 因為 ?100?diag(1 5100 5100) ??????????????????? ?? ??120 21050551120 210121 11P 所以 ?????????????????????????? ??120 210505551120 21012151 1 0 01 0 01 0 0A ???????? ??100100100500 0501501 23 在某國 每年有比例為 p的農(nóng)村居民移居城鎮(zhèn) 有比例為 q的城鎮(zhèn) 79 居民移居農(nóng)村 假設該國總?cè)丝跀?shù)不變 且上述人口遷移的規(guī)律也不變 把n年后農(nóng)村人口和城鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋壤来斡洖?xn和 yn(xn?yn?1) (1)求關(guān)系式 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11中的矩陣 A 解 由題意知 xn?1?xn?qyn?pxn?(1?p)xn?qyn yn?1?yn?pxn?qyn? pxn?(1?q)yn 可用矩陣表示為 ???????????? ????????? ?? nnnn yxqp qpyx 1111 因此 ?????? ??? qp qpA 11 (2)設目前農(nóng)村人口與城鎮(zhèn)人口相等 即 ????????????? 求 ??????nnyx 解 由 ????????????? ?? nnnn yxAyx 11可知 ????????????? 00yxAyx nnn 由 )1)(1(11|| qpqp qpEA ??????????? ????? 得 A的特征值為 1?1 2?r 其中 r?1?p?q 對于 1?1 解方程 (