【正文】 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim ssFs ??存在，則 )(lim)(lim)0( 0 ssFtff st ??? ?? (8) 終值定理 若 L[f(t)]= F(s)， 且 )(lim tft ??存在，則 )(lim)(lim)( 0 ssFtff st ??? ??? 例 已知 F(s)= as?1 ,求 f(0)和 f (? )。 ① dtetf st?????)( ； ② dtetf tj??????)( ； ③ dtetf st??0)( ； ④ dtetf st???0)( 。 答： 1)12( 1l i m)(l i m 20 ??????? ??? sss sstee stss，所以選擇 ① 。 (4) 圖所 示函數(shù)的拉氏變換為（ ）。 (5) 已知 541)(2 ??? sssF，其原函數(shù) )(tf 為（ ）。 拉氏反變換的定義 部分分式法 例 已知 23 3)(2 ???? ss ssF，求 ?)( ?tf 好文檔 ,好知識 14 解：因 )(21),2)(1(23)( 2 sFsssssssD 是和 ?????????? 的一階極點，可得 21)( 21 ???? sCsCsF 式中 21)1()2)(1(31 ????????sssssC 12)2()2)(1(32 ?????????sssssC 所以 )0(2)( 2 ??? ?? teetf tt 。 解：方法 1，由終值定理知： 方法 2，利用部分分式法將 )(sF 改寫成 11010)1( 10)( ?????? sssssF 則可知 )(sF 的拉氏反變換為 tetf ??? 1010)( 則 1010lim10)(lim ??? ????? ttt etf 例 已知 2)2( 1)( ?? ssF 。 例求61)( 2 ???? ss ssF的拉氏反變換。求該系統(tǒng)的微分方程 式。 解 根據(jù)基爾霍夫電路定律，有 CuRidtdiLtu ?????)( 而 dtduCi c? ，則上式可寫成如下形式 )(22 tuudtduRCdt udLCCcc ??? （ 2－ 3） 上式表示了 RLC 電路的輸入量和輸出量之間的關系。而這些物理定律的數(shù)學表達式就是環(huán)節(jié) (或元件 )的原始方程式。 (4) 消去中間變量，列出各變量間的關系式。 y。 +Δ y； F＝ F。 線性化有如下特點： (l) 線性化是相對某一額定工作點進行的。因此，可以認為其初始條件為零。 系統(tǒng)傳遞函數(shù)是復變量 s 的函數(shù)，常?？梢员磉_成如下形式 G(s) Xr(s) Xc(s) 好文檔 ,好知識 18 或 傳遞函數(shù)的性質 1．傳遞函數(shù)只與系統(tǒng)或元件自身的內部結構和參數(shù)有關，而與輸入量和初始條件等外部因素無關。 5．分母中的最高階若為 n，則稱系統(tǒng)為 n 階系統(tǒng)。 放大環(huán)節(jié)的共同特點是傳遞函數(shù)為一常數(shù)。設輸入為 xr(t)，輸出為 xc(t)，則其運動方程式為 )()()( tKxtxdt tdxT rcc ?? 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/(Ts+1) 式中 T—— 環(huán)節(jié)的時間常數(shù)； K—— 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)。 圖 29 電氣慣性環(huán)節(jié) (三 ) 積分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié)的輸出量 xc(t)的變化率和輸入量 xr(t)成正比，即 其傳遞函數(shù)為 G(s)=Xc(s)/Xr(s)=K/s (四 ) 振蕩環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié)包含兩種形式的儲能元件，并且所儲存的能量相互轉換。 顯然，決定振蕩環(huán)節(jié)性能的參數(shù)有放大系數(shù) K，時間常數(shù) T 和阻尼比ζ。因此，任何一個能指示出 — 個量的變化速率的裝置都可視為微分環(huán)節(jié)。 (七 ) 時滯環(huán)節(jié) 在實際控制系統(tǒng)中常遇到時滯環(huán)節(jié)，即輸入信號加入后，輸出要隔一定時間τ才能復現(xiàn)輸入信號，時滯環(huán)節(jié)的運動方程為 xc(t)=xr(tτ ) 根據(jù)時域位移定理，其傳遞函數(shù)為 src esX sXsG ???? )( )()( 圖 211 時滯環(huán)節(jié) 系統(tǒng)動態(tài)結構圖 控制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖一般由如下四種基本單元組成，它們是 好文檔 ,好知識 20 （ 1）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的傳遞方向，信號線上標信號的原函數(shù)或象函數(shù) 。 （ 4）綜合點（比較點）：對兩個以上信 號進行加減運算，“＋”號表示相加，“－”號表示相減，如圖 (d)所示。 （ 3）反饋運算法則 具有反饋環(huán)節(jié)的系統(tǒng)的總傳遞函數(shù)等于前向通路的傳遞函數(shù)除以 1 加 (或減 )前向通路和反饋通路兩者傳遞函數(shù)的乘積。方框圖變換的原則是：變換前后的輸出信號應不變。 R(s) R(s) (d) U(s) C(s) G(s) (b) 好文檔 ,好知識 21 (a) 引出點前移 (b) 引出點后移 圖 引出點前后移動等效變換 3. 有擾動參與作用下的閉環(huán)系統(tǒng) 當給定量 R(s)和擾動量 N(s)兩個輸入量同時作用于線性系統(tǒng)時，可對每一輸入量分別求出 輸出量，然后應用疊加原理，將兩者疊加而成系統(tǒng)的總輸出量。這是閉環(huán)系統(tǒng)的另一優(yōu)點。 繪制系統(tǒng)方框圖的步驟 1．首先按照系統(tǒng)的結構和工作原理，分解出各環(huán)節(jié)； 2．列寫系統(tǒng)各組成 環(huán)節(jié)的運動方程，并進行線性化； 3．求初始條件皆為零時的各組成環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 4．分別以方框圖的形式表達各環(huán)節(jié)的拉氏變換式； 5．將各環(huán)節(jié)的方框圖中的相同變量用箭頭聯(lián)接起來，便構成系統(tǒng)的總方框圖。 2. 斜坡函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ????? ???0 ,00 , )(tttAtxr 式中 A 為常數(shù)。這種函數(shù)相當于隨動系統(tǒng)中加入一按照恒加速變化的位置信號，該恒加速度為 A。單位脈沖函數(shù)的面積等于 l，即 ???? ?1)( dtt? 在 t＝ t0處的單位脈沖函數(shù)用δ (tt0)來表示，它滿足如下條件 幅值為無窮大、持續(xù)時間為零的脈沖純屬數(shù)學上的假設，但在系統(tǒng)分析中卻很有用處。 好文檔 ,好知識 25 1 動態(tài)性能指標 動態(tài)性能指標通常有如下幾項： 延遲時間 dt 階躍響應第一次達到終值 )(?h 的 50％ 所需的時間。 超調量 ? ％ 峰值 )(pth 超出終值 )(?h 的百分比，即 ? ％ 100)( )()( ?? ??? h hth p％ 在上述動態(tài)性能指標中，工程上最常用的是調節(jié)時間 st （描述“快”），超調量 ? ％ （描述“勻”）以及峰值時間 pt 。一些控制元部件及簡單系統(tǒng)如 RC 網(wǎng)絡、發(fā)電機、空氣加熱器、液面控制系統(tǒng)等都是一階系統(tǒng)。響應曲線具有非振蕩特征，故又稱為非周期響應。 (a) (b) (c) ζ ≥ 1 時二階系統(tǒng)的特征根的分布與單位階躍響應 2. 過阻尼 (ζ＞ 1) 具有兩個不同負實根 ])1(,[ 221 nss ??? ???? 的慣性環(huán)節(jié)單位階躍響應拉氏變換式。 顯然，ζ≤ 0 時的二階系統(tǒng)都是不穩(wěn)定的，而在ζ ≥ 1 時，系統(tǒng)動態(tài)響應的速度又太慢，所以對二階系統(tǒng)而言，欠阻尼情況是最有實際意義的。固有頻率ω n越大， tr 越小，反之則 tr 越大。但是，降低 kK 值將增大系統(tǒng)的誤差。 ? ? 122 122 ??? TSSTs? 這一系統(tǒng)的單位階躍響應瞬態(tài)特性指標為： 最大超調百分數(shù) %%100)1/(% 2 ??? ?? ???? e 上升時間 Ttnr 2 ???? ?? ?? 調整時間 ? ? Tts %2 ? (用近似式求得為 8T) ? ? Tts %5 ? (用近似式求得為 6T) 好文檔 ,好知識 29 有一位置隨動系統(tǒng)其中 Kk＝ 4。 欠阻尼二階系統(tǒng)的動態(tài) 性能指標 1. 上升時間 tr 上升時間 tr 是指瞬態(tài)響應第一次到達穩(wěn)態(tài)值所需的時間。圖為其特征根分布圖。 二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為 s2+2ζω ns+ω 2n=0 其特征根為 ns ??? ?????? ???? 122,1 1. 臨界阻尼 (ζ =1) 其時域響應為 ? ? )1(1 tetc ntn ?? ??? ? 上式包含一個衰減指數(shù)項。當時間 t 趨于無窮，暫態(tài)分量衰減為零。穩(wěn)態(tài)誤差有不同定義，通常在典型輸入下進行測定或計算。 峰值時間 pt 階躍響應越過穩(wěn)態(tài)值 )(?h 達到第一個峰值所需的時間。 控制系統(tǒng)的時域性能指標 對控制系統(tǒng)的一般要求歸納為穩(wěn) 、準、快。 4. 脈沖函數(shù) 這種函數(shù)的定義是 ??????? ???????0)( 0 ,)0( ,0 ,0)(?????tAtttx r 式中 A 為常數(shù)， ε 為趨于零的正數(shù)。當 A＝ l時，稱為單位斜坡函數(shù)，如圖所示。 A 等于 1 的階躍函數(shù)稱為單位階躍函數(shù)，如圖所示。 在 R(s)作用下的誤差傳遞函數(shù) 設 N(s)＝ 0，再用反饋運算法則得誤差傳遞函數(shù)為 )()()(1 1)( )( 21 sHsGsGsR sE R ?? 上式對于反饋系統(tǒng)的誤差分 析是非常重要的。這是閉環(huán)系統(tǒng)的優(yōu)點之一。 U(s) (a) U(s) U(s) (c) 177。為了便于運算，常通過移動比較點和引出點的方法，將系統(tǒng)結構作些變化，以減少局部反饋回路。 （ 1）串聯(lián)運算法則 n 個環(huán)節(jié)串聯(lián)的總傳遞函數(shù)等于各個環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)之積。它起著對信號的運算和轉換作用 。其特性由 K、τ和ζ三個參數(shù)來表示。理想微分環(huán)節(jié)的輸出 xυ (t)為輸入 xr(t)的微分。因此，使輸出量具有振蕩的性質。慣性環(huán)節(jié)的輸出量和輸入量的量綱可能是相同的，也可 能是不相同的。幾乎所有控制系統(tǒng)都有放大環(huán)節(jié)，主要 用于電壓、電流、力、速度等的放大或減小。 典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù) (一 ) 放大環(huán)節(jié) (比例環(huán)節(jié) ) 放大環(huán)節(jié)的輸出量以一定比例復現(xiàn)輸入量，而毫無失真和時間滯后現(xiàn)象。 3．傳遞函數(shù)等于單位脈沖函數(shù)輸入時的系統(tǒng)輸出響應的象函數(shù)，或者說傳遞函數(shù)的拉氏反變換是系統(tǒng)的單位脈沖響應。 傳遞函數(shù)的定義 在線性定常系統(tǒng)中，初始條件為零時，系統(tǒng) (或元件 )輸出的拉氏變換 Xc(s)和輸入的拉氏變換 Xr(s)之比稱為系統(tǒng) (或元件 )的傳遞函數(shù)，即 )( )()]([ )]([)( sX sXtxL txLsG rcrc ?? 或 Xc(s)=G(s)Xr(s) 圖 傳遞函數(shù)圖示 若令輸入信號為單位脈沖函數(shù)δ (t)，其拉氏變換為 Xr (s)＝ 1，則根據(jù)上式得 Xc(s)＝ G(s) 傳遞函數(shù)是系統(tǒng)或環(huán)節(jié)數(shù)學模型的另一種形式，它反映了系統(tǒng)輸出變量與輸入變量之間的關系。 (2) 若使線性化具有足夠精度，調節(jié)過程中變量偏離工作點的偏差信號必須足夠小。 FFyykdt yydBdt yydM ??????????? 000202 )()()( (3) 將演化后的運動方程式與靜態(tài)方程式相減，其結果即為增量方程式 Fykdt ydBdt ydM ???????22 非線性函數(shù)的線性化