【正文】 b)C=(fC○ bV ) 因為 f (x， y)=f (x， y)， 所以可寫為 (f○ b)=(fC● bV) (f● b)=(f○ bV) 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 在圖 (a)中 ， 給出了一幅圖像 f (x, y)在 y為常數(shù)時的一個剖面f(x)， 其形狀為一連串的山峰山谷 。 圖 (b)給出了 b在開運算中的幾個位置 ， 圖 (c)給出了開運算操作的結果 。 具體地說就是 ， 第一步的腐蝕去除了小的亮細節(jié)并同時減弱了圖像亮度 ， 第二步的膨脹增加了圖像亮度 ， 但又不重新引入前面去除的細節(jié) 。 換句話說 ， 當 b貼著 f 的上沿滾動時 ， f 中沒有與 b接觸的部位都得到 “ 填充 ” ， 使其與 b接觸 。 一般 ， 可以將開 、 閉運算結合起來構成形態(tài)學噪聲濾波器 ， 例如 (X○ S)● S或 (X● S)○ S等 。 再用 S對圖 (d)進行一次膨脹得到圖 (e)， 然后用 S對膨脹結果進行腐蝕得到圖 (f)， 這兩個操作的串行結合就是閉運算 ， 它將目標內部的噪聲孔消除掉了 。為了達到這一目的 ， 可將圖像和噪聲視為隨機過程 ， 通過統(tǒng)計優(yōu)化分析得到優(yōu)化結果 。 在圖像識別或數(shù)據(jù)壓縮時 ， 經常要用到這樣的細化結構 ， 例如 ，在識別字符之前 ， 往往要先對字符作細化處理 ， 求出字符的細化結構 。 其中數(shù)字圖像細化 ， 便是一種最常見的使用擊中 /擊不中變換的形態(tài)學算法 。 結構對的選擇僅受結構元素不相交的限制 。 設想在 ｔ ＝０時刻 ， 將目標邊界各處同時點燃 ， 火的前沿以勻速向目標內部蔓延 ， 當前沿相交時火焰熄滅 ， 火焰熄滅點的集合就構成了中軸 。 骨架的每個點都對應一個相應的最大圓盤和半徑 r。對于圖像 X， 一般用 S(X)表示其骨架 。 對于 k＝ 0， 1， 2， …， 定義骨架子集 Sk（ X） 為圖像 X內所有最大圓盤 kB的圓心 x構成的集合 。 圖 (a) 為一幅二值圖像 ， 圖 (b)為用 3 3的結構元素 S（ 原點在中心 ） 得到的骨架 ， 圖 (c) 為用 5 5的結構元素得到的骨架 ，圖 (d) 為用 7 7的結構元素得到的骨架 。 求一幅圖像骨架的過程就是對圖像進行 “ 細化 ”的過程 。 設已知目標點標記為 1， 背景點標記為 0。 同樣當對所有邊界點都檢驗完畢后 ， 將所有滿足條件的點刪除 。 在圖 (b)中刪除 p1會分割區(qū)域 ， 圖 (c)中刪除 p1 會分割縮短邊緣 ， 圖 (d)中滿足條件2≤N(p1)≤6但 p1不可刪除 。 算法反復迭代 ， 直至沒有點再滿足標記刪除的條件 ， 這時剩下的點就組成區(qū)域的骨架 。 算法對一幅圖像的所有邊界點即一個 3 3區(qū)域都進行如下檢驗和操作： 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 （ 1） 考慮以邊界點為中心的 8鄰域 ， 設 p1為中心點 ， 對其鄰域的 8個點逆時針繞中心點分別標記為 p2， p3， …， p9， 其中 p2位于 p1的上方 。 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 在細化一幅圖像 X時應滿足兩個條件： 第一 ， 在細化的過程中 ， X應該有規(guī)律地縮??； 第二 ， 在 X逐步縮小的過程中 ， 應當使 X的連通性質保持不變 。 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 (a) 一幅二值圖像； （ b） 用 3 3的結構元素 S (c） 用 5 5的結構元素得到的骨架； （ d）用 7 7的結構元素得到的骨架 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 第五節(jié) 應用實例 —— 細化 利用前面所介紹的形態(tài)學知識 ， 下面給出一種實用的對二值區(qū)域進行形態(tài)學細化的一種算法 。 ? ??? ? ? ?S(X) = ∪ ｛ (X kB)［ (X kB) ○ Ｂ ］ | k＝ 0， 1， 2， … ｝ 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 這就是骨架的形態(tài)學表示 ， 它也是用數(shù)學形態(tài)學方法提取圖像骨架技術的依據(jù) 。 骨架對噪聲非常敏感 ， 而且連通的集合可能具有不連通的骨架 （ 例如兩個相切圓盤的骨架 ） 。 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 骨架的定義 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 按照最大圓盤定義骨架的方式 ， 在歐氏二值圖像的內部任意給定一點 ， 如果以該點為圓心存在一個最大圓盤 ， 其整個盤體都在圖像的內部 ， 且至少有兩點與目標邊界相切 ， 則該點便是骨架上的點 。 另外一種定義骨架的方法使用了最大圓盤概念： 目標 X的骨架由 X內所有最大內切圓盤的圓心組成 ， 如圖 (b)、 (c)所示 。 在實際應用中 ， 通常選擇一組結構元素對 ， 迭代過程不斷在這些結構對中循環(huán) ， 當一個完整的循環(huán)結束時 ，如果所得結果不再變化 ， 則終止迭代過程 。 更一般地 ， 利用結構對序列 B1，B2， …， BN迭代地產生輸出序列 ?NNN BXXBXXBXX ?????? ? 121211 , ?或者 )))(((}{}{ 21 Nii BBBXBXX ?? ????? i=1, 2, …, N 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 隨著迭代的進行 ， 得到的集合也不斷細化 。 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 下面首先對數(shù)字圖像細化概念做簡要介紹 。 利用細化技術得到區(qū)域的細化結構是常用的方法 。 在利用開 、 閉運算濾除圖像的噪聲時 ， 選擇圓形結構元素會得到較好的結果 。 現(xiàn)在用圖 (b)所示的結構元素 S通過形態(tài)學操作來濾除噪聲 ， 這里的結構元素應當比所有的噪聲孔和塊都要大 。具體說來 ， 第一步的膨脹去除了小的暗細節(jié)并同時增強了圖像亮度 ， 第二步的腐蝕減弱了圖像亮度但又不重新引入前面去除的細節(jié) 。 圖 (d)給出了 b在閉運算操作中的幾個位置 ， 圖 (e)給出了閉運算操作的結果 。 換句話說 ， 當 b貼著 f 的下沿滾動時 ， f 中沒有與 b接觸的部位都削減到與 b接觸 。 下面分別討論開 、 閉運算的情況 。 膨脹和腐蝕相對于函數(shù)的補 (補函數(shù) )和反射也是對偶的 ， 對偶關系為 VCCVCCbfbfbfbf??????)()( 這里函數(shù)的補定義為 fC (x, y)= f(x, y)，而函數(shù)的反射定義為bV(x, y)=b(x, y)。 第七章 數(shù)學形態(tài)學及其應用 二 、 用結構元素 b對輸入圖像 f(x, y)進行灰值膨脹記為 f b， 其定義為