【正文】 。因?yàn)?0)( ?xf ，所以特征函 數(shù)中 )(?? 在原點(diǎn)有最大值，即： 1)0()( ???? ? (32) 用概率論中的熟知公式： ?????? dxxfxgxgE )()()}({ (33) 得到特征函數(shù)的最常見的形式： ?? sxeEs ?? )( (34) 對式 (34)求 k階導(dǎo)數(shù)得到： ?? sxkk exEs ?? )( (35) 令 s 為零，則： ?? kkk MxE ??? )0( (36) 也就是說， )(s? 在原點(diǎn)的 k 階導(dǎo)數(shù)與隨機(jī)變量 x 的 k 階矩 km 相等。因此，我們可以將 )(s? 展開為如下的泰勒 (Taylor)級數(shù)： ???????????? sCksCsCs k!121)( 21 (39) 另一方面，由于 )()( ses ??? ，所以有 )()(39。39。)0(39。{)0(39。 隨機(jī)向量 X 為 ? ?Tkxxx ???21, ，其矩生成函數(shù)為： ? ??? )(e x p),( 221121 kkk xxxjE ?????? ?????????? (313) 對上式去取 kr ??? ?????? 21 次偏導(dǎo)數(shù)，得： ??)(212121 22112121),( kkkkxxxkrkkr exxxEj ????????? ??? ??? ????????????? ????? (314) 令 021 ??????? k??? ，則上式的結(jié)果為： ?? 02121211212121),()( ???????? ???? ???????????kkkK kkrrk jxxxEM ??????????? ??? ??? (315) 式 (315)就是隨機(jī)向量 X 的 r 階矩的定義。設(shè)向量 ),()( 21 kIX ??? ???? ，且1?i? 若 Ii? ； 0?i? 若 Ii? 。利用這些定義，得到累積量 矩公式 (簡稱從 CM公式 )： ? ??? ???1 11)()(pqp Iqp pxx ICIm (322) 和矩 累積量公式 (簡稱 MC公式 )： 姓名：畢業(yè)設(shè)計(jì)題目 ? ??? ??????1 111)()!1()1()(Pqp Iqp pxqx IMqIC (323) 式中， ???? 11 pqp I 表示在 I 的所有分割 ))(1( INq?? 內(nèi)求和。因此 ，用高階累積量構(gòu)造特征參數(shù)，能有效地抑制高斯白噪聲。 在現(xiàn)實(shí)世界中，許多信號是非高斯的 (正 如我們研究的數(shù)字通信信號 )，它們具有非零的高階累積量和高階譜，在高階累積量和高階譜域內(nèi)分解非高斯信號，不同階數(shù)的高階統(tǒng)計(jì)量可能包含了關(guān)于信號的不同的信息，這在信號分類問題中是非常有用的。 在接收端已知載頻信息，并且達(dá)到定時(shí)同步的情況下，對待識(shí)別信號進(jìn)行下變頻處理，得到了采樣復(fù)信號序列的表達(dá)式為： NknaePnxs kkjkkk c ,2,1 ?????? ? (350) 通過前文對高階累積量理論的研究可以知道，對于信號而言，階數(shù) 2?k 的累積量對噪聲 )(in 具有抑制作用，因此在這里只分析 ka 的各累積量。在假定發(fā)送的信息序列為獨(dú)立同分布的情況下，計(jì)算 2ASK 信號的高階矩，得到如下結(jié)果： ? ? cc jkj PeaPeEkxkxEM ?? 2220 ][)(),( ??? (352) ? ? PPaEkxkxEM k ??? ? ][)(),( 221 (353) ? ? cc jkj ePaePEkxkxkxkxEM ?? 4244240 2][)(),(),(),( ??? (354) ? ? cc jkj ePaePEkxkxkxkxEM ?? 2242241 2][)(),(),(),( ??? ? (355) ? ? 24242 2][)(),(),(),( PaPEkxkxkxkxEM k ??? ?? (356) ? ? cc jkj ePaePEkxkxkxkxkxkxEM ?? 6366360 4][)(),(),(),(),(),( ??? (357) 20xx 屆輪機(jī)工程專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 28 將式 (352)~(357)代入式 (324)~(329)中可計(jì)算出 2ASK信號的高階累積量： cjePMC ?222020 ?? (358) PMC ?? 2121 (359) cjePMMC ?422204040 3 ???? (360) cjePMMMC ?4220214141 3 ???? (361) 22212204242 2 PMMMC ????? (362) cjePMMMMC ?6336020406060 4)(3 ???? (363) 同理可推出 4ASK信號各階累積量的理論值。 MFSK信號各階累積量的理論值 對于 MFSK信號而言，在不考慮 kn 的影響下，其碼元同步采樣 復(fù)信號的表達(dá)式為： }110110)2 1({ /2 ??????????MmLlMmeaaePxmfljkkjksmc， ?????? (377) 式中， ?? 為 MFSK信號的頻偏， L 為一個(gè)符號周期內(nèi)的采樣點(diǎn)數(shù)。 MPSK信號各階累積量的理論值 對于 MPSK信號而言，在 不考慮 kn 的影響下，其碼元同步采樣復(fù)信號的表達(dá)式為： }110{ /2 ???? MmeaaePx Mmjkkjk c ， ??? (364) 在假定發(fā)送的信息序列為獨(dú)立同分布的情況下，計(jì)算 BPSK 信號的高階矩，得到如下結(jié)果： ? ? ccc jjjkj PeePeaPeEkxkxEM ???? 222220 )1(21][)(),( ????? (365) ? ? PPPaEkxkxEM k ????? ? )11(21][)(),( 221 (366) ? ? ccc jjjkj ePePeaePEkxkxkxkxEM ???? 422444240 )1(21][)(),(),(),( ????? (367) ? ? cc jkj ePaePEkxkxkxkxEM ?? 2242241 ][)(),(),(),( ??? ? (368) ? ? 24242 ][)(),(),(),( PaPEkxkxkxkxEM k ??? ?? (369) ? ? cc jkj ePaePEkxkxkxkxkxkxEM ?? 6366360 ][)(),(),(),(),(),( ??? (370) 將式 (365)~(370)代入式 (324)~(329)中可計(jì)算出 BPSK信號的高階累積量： cjePMC ?222020 ?? (371) PMC ?? 2121 (372) cjePMMC ?422204040 23 ???? (373) cjePMMMC ?4220214141 23 ???? (374) 姓名：畢業(yè)設(shè)計(jì)題目 22212204242 22 PMMMC ????? (375) cjePMMMMC ?6336020406060 16)(3 ???? (376) 同理可推出 QPSK信號各階累積量的理論值。 MASK信號各階累積量的理論值 對于 MASK信號而言，在不考慮 kn 的影響下，其碼元同步采樣復(fù)信號的表達(dá)式為： }110{ ??? MaaePx kkjk c ， ?? (351) 在推導(dǎo)的過程中，將碼元序列進(jìn)行歸一化以便分析。 姓名：畢業(yè)設(shè)計(jì)題目 最后，高階累積量還可以檢測和刻畫信號的非線性本質(zhì)，并用于非線性系統(tǒng)的辨識(shí)。 在信號處理中采用高階統(tǒng)計(jì)量的幾個(gè)因素是： 由于高斯噪聲 2?k 階的累積量值恒為零，把接收的含有高斯噪聲的非高斯信號變換到累積量或累積量譜域處理，就可以剔除噪聲的影響。 性質(zhì) 3：高階累積量具有可加性，即： ),(),(),( 2121211 kkk zzyC u mzzxC u mzzyxC u m ???????????? (341) 性質(zhì) 4：若隨機(jī)向量 ? ?kxxxX ???? , 21 和隨機(jī)向量 ? ?kyyyY ???? , 21 是獨(dú)立的，則： 20xx 屆輪機(jī)工程專業(yè)畢業(yè)設(shè)計(jì) (論文 ) 26 ),(),(),( 21212211 kkkk yyyC u mxxxC u myxyxyxC u m ?????????????? (342) 性質(zhì) 5：若存在 k 個(gè)隨機(jī)變量 ?? ),2,1( kixi ???? 的一個(gè)子集與剩下的部分獨(dú)立，則： 0),( 21 ???? kxxxCum (343) 性質(zhì) 6：零均值高斯隨機(jī)變量的高階累積量 )3( ?k 恒為零。因此，可以寫出： ))(()( Ixx mIm ?? ， ))(()( Ixx cIc ?? (321) 換言之， )(Imx 和 )(Icx 就是 X 的子向量 1X 的矩和累積量。 設(shè) ?? )(nx 為零均值的平穩(wěn)隨機(jī)過程，則它 的 k 階矩為： )}(),(),({),( 11121 ?? ????????? kkkx nxnxnxM o mM ????? (319) k 階累積量為： )}(),(),({),( 11121 ?? ????????? kkkx nxnxnxC u mC ????? (320) 令 ),( 21 kxxxX ???? 是一向量， },2,1{ kIx ???? 是其指示符集。 M?????? (311) 比較式 (38)和式 (311)可知： 11 MC? ， 2122 MMC ?? (312) 就是說，隨機(jī)變量 x 的一階累積量和一階 矩相等，而二階累積量等于二階矩減去一階矩的平方值。)0(39。39。 sess ???? ， ? ? )(2 })(39。 對 )(s? 取對數(shù)可得： )()( sIns ??? (37) 姓名：畢業(yè)設(shè)計(jì)題目 )(s? 被稱作 x 的累積量生成函數(shù) (又叫第二特征函數(shù) )。隨著高階統(tǒng)計(jì)量理論的不斷成熟，它的應(yīng)用前景也更加廣闊，目前已成為信號調(diào)制識(shí)別領(lǐng)域中