【正文】 1，－ 12n?n－ 1?， n≥ 2. 等差數(shù)列主要的判定方法是定義法和等差中項法，而對于通項公式法和前 n 項和公式法主要適合在選擇題中簡單判斷． 【訓(xùn)練 2】 已知數(shù)列 {an}的前 n 項和 Sn 是 n 的二次函數(shù)，且 a1＝－ 2， a2＝ 2，S3＝ 6. (1)求 Sn； (2)證明：數(shù)列 {an}是等差數(shù)列． (1)解 設(shè) Sn＝ An2＋ Bn＋ C(A≠ 0)，則??? － 2＝ A＋ B＋ C，0＝ 4A＋ 2B＋ C，6＝ 9A＋ 3B＋ C， 解得： A＝ 2， B＝－ 4， C＝ 0. ∴ Sn＝ 2n2－ 4n. (2)證明 當(dāng) n＝ 1 時， a1＝ S1＝－ 2. 當(dāng) n≥ 2 時， an＝ Sn－ Sn－ 1＝ 2n2－ 4n－ [2(n－ 1)2－ 4(n－ 1)] ＝ 4n－ 6. ∴ an＝ 4n－ 6(n∈ N*)． 當(dāng) n＝ 1 時符合上式，故 an＝ 4n－ 6， ∴ an＋ 1－ an＝ 4， ∴ 數(shù)列 {an}成等差數(shù)列． 考向三 等差數(shù)列前 n 項和的最值 【例 3】 ?設(shè)等差數(shù)列 {an}滿足 a3＝ 5， a10＝－ 9. (1)求 {an}的通項公式； (2)求 {an}的前 n 項和 Sn 及使得 Sn 最大的序號 n 的值． [審題視點 ] 第 (1)問：列方程組求 a1與 d； 第 (2)問：由 (1)寫出前 n 項和公式，利用函數(shù)思想解決． 解 (1)由 an＝ a1＋ (n－ 1)d 及 a3＝ 5， a10＝－ 9 得 ??? a1＋ 2d＝ 5，a1＋ 9d＝－ 9， 可解得 ??? a1＝ 9，d＝－ 2. 數(shù)列 {an}的通項公式為 an＝ 11－ 2n. (2)由 (1)知， Sn＝ na1＋ n?n－ 1?2 d＝ 10n－ n2. 因為 Sn＝－ (n－ 5)2＋ 25，所以當(dāng) n＝ 5 時， Sn 取得最大值． 求等差數(shù)列前 n 項和的最值，常用的方法： (1)利用等差數(shù)列的單調(diào)性或性質(zhì)，求出其正負(fù)轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值． (2)利用等差數(shù)列的前 n 項和 Sn＝ An2＋ Bn(A、 B 為常數(shù) )為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值． 【訓(xùn)練 3】 在等差數(shù)列 {an}中，已知 a1＝ 20，前 n 項和為 Sn，且 S10＝ S15，求當(dāng)n 取何值時， Sn 取得最大值，并求出它的 最大值． 解 法一 ∵ a1＝ 20， S10＝ S15， ∴ 10 20＋ 10 92 d＝ 15 20＋ 15 142 d， ∴ d＝－ 53. ∴ an＝ 20＋ (n－ 1) ??? ???－ 53 ＝－ 53n＋ 653 . ∴ a13＝ n≤ 12 時， an＞ 0， n≥ 14 時， an＜ 0. ∴ 當(dāng) n＝ 12或 13時， Sn取得最大值，且最大值為 S12＝ S13＝ 12 20＋ 12 112 ??? ???－ 53＝ 130. 法二 同法一求得 d＝－ 53. ∴ Sn＝ 20n＋ n?n－ 1?2 福建 )在等差數(shù)列 {an}中， a1＝ 1， a3＝－ 3. (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)若數(shù)列 {an}的前 k 項和 Sk＝－ 35，求 k 的值． [審題視點 ] 第 (1)問，求公差 d； 第 (2)問，由 (1)求 Sn，列方程可求 k. 解 (1)設(shè)等差數(shù)列 {an}的公差為 d，則 an＝ a1＋ (n－ 1)d. 由 a1＝ 1， a3＝－ 3 可得 1＋ 2d＝－ 3. 解得 d＝－ ， an＝ 1＋ (n－ 1) (－ 2)＝ 3－ 2n. (2)由 (1)可知 an＝ 3－ 2n. 所以 Sn＝ n[1＋ ?3－ 2n?]2 ＝ 2n－ n2. 進(jìn)而由 Sk＝－ 35 可得 2k－ k2＝－ 35. 即 k2－ 2k－ 35＝ 0，解得 k＝ 7 或 k＝－ 5. 又 k∈ N*，故 k＝ 7 為所求． 等差數(shù)列的通項公式及前 n 項和公式中，共涉及五個量，知三可求二，如果已知兩個條件，就可以列出方程組解之．如果利用等差數(shù)列的性質(zhì)、幾何意義去考慮也可以．體現(xiàn)了用方程思想解決問題的方法． 【訓(xùn)練 1】 (2020遼寧 )已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 33， an＋ 1－ an＝ 2n，則 ann的 最小值為 ________． 【示例 2】 ? (2020123n－ 1. 答案 2泰州月考 )數(shù)列 1,1,2,3,5,8,13， x,34,55， ? 中 x 的值為 ________． 解析 觀察數(shù)列中項的規(guī)律，易看出數(shù)列從第三項開始每一項都是其前兩項的和． 答案 21 考向一 由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項 【例 1】 ?寫出下面各數(shù)列的一個通項公式： (1)3,5,7,9， ? ； (2)12， 34， 78， 1516， 3132， ? ； (3)－ 1， 32，－ 13， 34，－ 15， 36， ? ； (4)3,33,333,3 333， ? . [審題視點 ] 先觀察各項的特點 ，然后歸納出其通項公式，要注意項與項之間的關(guān)系，項與前后項之間的關(guān)系． 解 (1)各項減去 1 后為正偶數(shù)，所以 an＝ 2n＋ 1. (2)每一項的分子比分母少 1，而分母組成數(shù)列 21,22,23， 24， ? ，所以 an＝ 2n－ 12n . (3)奇數(shù)項為負(fù)，偶數(shù)項為正，故通項公式中含因子 (－ 1)n；各項絕對值的分母組成數(shù)列 1,2,3,4， ? ；而各項絕對值的分子組成的數(shù)列中，奇數(shù)項為 1，偶數(shù)項為3，即奇數(shù)項為 2－ 1，偶數(shù)項為 2＋ 1，所以 an＝ (－ 1)n2n－ 2－ 54，即 Sn＋54＝ 52 2，即 5＝ b1四川 )設(shè) d 為非零實數(shù)， an＝ 1n[C1nd＋ 2C2nd2＋ ? ＋ (n－ 1)Cn－ 1n dn－1＋ nCnndn](n∈ N*)． (1)寫出 a1， a2， a3并判斷 {an}是否為等比數(shù)列．若是，給出證明；若不是，說明理由； (2)設(shè) bn＝ ndan(n∈ N*)，求數(shù)列 {bn}的前 n 項和 Sn. 解 (1)由已知可得 a1＝ d， a2＝ d(1＋ d)， a3＝ d(1＋ d)2. 當(dāng) n≥ 2， k≥ 1 時， knCkn＝ Ck－ 1n－ 1，因此 an＝ ∑nk＝ 1knCkndk＝ ∑ nk＝ 1Ck－ 1n－ 1dk＝ d∑n－ 1k＝ 0Ckn－ 1dk＝ d(d＋ 1)n－ 1. 由此可見，當(dāng) d≠ － 1 時， {an}是以 d 為首項， d＋ 1 為公比的等比數(shù)列； 當(dāng) d＝－ 1 時， a1＝－ 1， an＝ 0(n≥ 2)，此時 {an}不是等比數(shù)列． (2)由 (1)可知， an＝ d(d＋ 1)n－ 1，從而 bn＝ nd2(d＋ 1)n－ 1 Sn＝ d2[1＋ 2(d＋ 1)＋ 3(d＋ 1)2＋ ? ＋ (n－ 1)(d＋ 1)n－ 2＋ n(d＋ 1)n－ 1]． ① 當(dāng) d＝－ 1 時， Sn＝ d2＝ 1. 當(dāng) d≠ － 1 時， ① 式兩邊同乘 d＋ 1 得 (d＋ 1)Sn＝ d2[(d＋ 1)＋ 2(d＋ 1)2＋ ? ＋ (n－ 1)(d＋ 1)n－ 1＋ n(d＋ 1)n]． ② ① ， ② 式相減可得 － dSn＝ d2[1＋ (d＋ 1)＋ (d＋ 1)2＋ ? ＋ (d＋ 1)n－ 1－ n(d＋ 1)n] ＝ d2??? ????d＋ 1?n－ 1d － n?d＋ 1?n . 化簡即得 Sn＝ (d＋ 1)n(nd－ 1)＋ 1. 綜上， Sn＝ (d＋ 1)n(nd－ 1)＋ 1. 考向三 等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用 【例 3】 ?已知等比數(shù)列前 n 項的和為 2，其后 2n 項的和為 12，求再后面 3n 項的和． [審題視點 ] 利用等比數(shù)列的性質(zhì)：依次 n 項的和成等比數(shù)列． 解 ∵ Sn＝ 2，其后 2n 項為 S3n－ Sn＝ S3n－ 2＝ 12， ∴ S3n＝ 14. 由等比數(shù)列的性質(zhì)知 Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n 成等比數(shù)列， 即 (S2n－ 2)2＝ 2a6＝ 329 ， 又 a1＋ a6＝ 11， 故 a1， a6看作方程 x2－ 11x＋ 329 ＝ 0 的兩根 ， 又 q∈ (0,1)∴ a1＝ 323 ， a6＝ 13， ∴ q5＝ a6a1＝ 132， ∴ q＝ 12， ∴ an＝ 323 (2n－ 1)； 當(dāng) a1＝ 2， q＝ 3 時， an＝ 21－ qa1?1－ q2? ＝ 1－ q51－ q2＝1－ ?－ 2?51－ 4 ＝－ 11. 答案 A 5． (2020bn}， ????? ?????anbn仍是等比數(shù)列． (4)公比不為－ 1 的等比數(shù)列 {an}的前 n 項和為 Sn，則 Sn， S2n－ Sn， S3n－ S2n 仍成等比數(shù)列，其公比為 qn. 5． 等比數(shù)列的前 n 項和公式 等比數(shù)列 {an}的公比為 q(q≠ 0)，其前 n 項和為 Sn， 當(dāng) q＝ 1 時， Sn＝ na1； 當(dāng) q≠ 1 時， Sn＝ a1?1－ qn?1－ q ＝a1－ anq1－ q . 一個推導(dǎo) 利用錯位相減法推導(dǎo)等比數(shù)列的前 n 項和： Sn＝ a1＋ a1q＋ a1q2＋ ? ＋ a1qn－ 1， 同乘 q 得： qSn＝ a1q＋ a1q2＋ a1q3＋ ? ＋ a1qn， 兩式相減得 (1－ q)Sn＝ a1－ a1qn， ∴ Sn＝ a1?1－ qn?1－ q (q≠ 1)． 兩個防范 (1)由 an＋ 1＝ qan， q≠ 0 并不能立即斷言 {an}為等比數(shù)列，還要驗證 a1≠ 0. (2)在運(yùn)用等比數(shù)列的前 n 項和公式時，必須注 意對 q＝ 1 與 q≠ 1 分類討論，防止因忽略 q＝ 1 這一特殊情形導(dǎo)致解題失誤． 三種方法 等比數(shù)列的判斷方法有： (1)定義法：若 an＋ 1an＝ q(q 為非零常數(shù) )或 anan－ 1＝ q(q 為非零常數(shù)且 n≥ 2 且 n∈ N*)，則 {an}是等比數(shù)列． (2)中項公式法：在數(shù)列 {an}中， an≠ 0 且 a2n＋ 1＝ anb(ab≠ 0)，那么 G 叫做 a 與 b 的等比中項． 4． 等比數(shù)列的常用性質(zhì) (1)通項公式的推廣： an＝ amqn－ 1. 3． 等比中項 若 G2＝ aan. (3)若 {an}， {bn}(項數(shù)相同 )是等比數(shù)列，則 {λan}(λ≠ 0)， ????? ?????1an， {a2n}， {ana6等于 ( )． A． 4 B． 8 C． 16 D． 32 解析 由等比數(shù)列的性質(zhì)得： a2a6＝ a24＝ 16. 答案 C 4．設(shè) Sn 為等比數(shù)列 {an}的前 n 項和， 8a2＋ a5＝ 0，則 S5S2＝ ( )． A．－ 11 B．－ 8 C． 5 D． 11 解析 設(shè)等比數(shù)列的首項為 a1，公比為 8a2＋ a5＝ 0，所以 8a1q＋ a1q4＝ 0. ∴ q3＋ 8＝ 0， ∴ q＝－ 2， ∴ S5S2＝ a1?1－ q5?1－ q 2n－ 1， Sn＝ 3a4＝ a1長沙模擬 )已知數(shù)列 {an}滿足 a1＝ 1， a2＝ 2， an＋ 2＝ an＋ an＋ 12 ， n∈N*. (1)令 bn＝ an＋ 1－ an，證明： {bn}是等比數(shù)列； (2)求 {an}的通項公式． [審題視點 ] 第 (1)問把 bn＝ an＋ 1－ an中 an＋ 1換為 an－ 1＋ an2 整理可證；第 (2)問可用疊加法求 an. (1)證明 b1＝ a2－ a1＝ 1. 當(dāng) n≥ 2 時， bn＝ an＋ 1－ an＝ an－ 1＋ an2 － an＝－ 12(an－ an－ 1)＝－ 12bn－ 1， ∴ {bn}是以 1 為首項，－ 12為公比的等比數(shù)列． (2)解 由 (1)知 bn＝ an＋ 1－ an＝ ??? ???－ 12 n－ 1， 當(dāng) n≥ 2 時， an＝ a1＋ (a2－ a1)＋ (a3－ a2)＋ ? ＋ (an－ an－ 1)＝ 1＋ 1＋ ??? ???－ 12 ＋ ? ＋??????－ 12n－ 2＝ 1＋1－ ??? ???－ 12 n－ 11－ ??? ???－ 12＝ 1＋ 23??? ???1－ ??? ???－ 12 n－ 1 ＝ 53－ 23??? ???－ 12 n－ 1. 當(dāng) n＝ 1 時， 53－ 23??? ???－ 12 1－ 1＝ 1＝ a1， ∴ an＝ 53－ 23??? ???－ 12 n－ 1(n∈ N*)． 證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等 比數(shù)列即可． 【訓(xùn)練 2】 (202