【正文】 uctural system is stiff enough and the external excitation is not too intensive, the system may vibrate with small amplitude around a certain nonlinear static state, where the change of the nonlinear static state induced by the vibration is very small and negligible. Such vibration with small amplitude around a certain nonlinear static state is termed linearized vibration. The linearized vibration is different from the linear vibration, where the system vibrates with small amplitude around a linear static state. The nonlinear static state qα a can be statically determined by nonlinear deflection analysis. After determining qα a , the system matrices may be established with respect to such a nonlinear static state, and the linearized system equation has the form as follows: Mαβ Aqβ ”+ Dαβ Aqβ ’+ 2Kαβ Aqβ =pα (t) Tα A where the superscript ‘ A’ denotes the quantity calculated at the nonlinear static state qα a . This equation represents a set of linear ordinary differential equations of second order with constant coefficient matrices Mαβ A, Dαβ A and 2Kαβ A. The equation can be solved by the modal superposition method, the integral transformation methods or the direct integration methods. When damping effect and load terms are neglected, the system equation bees Mαβ Aqβ ” + 2Kαβ Aqβ =0 This equation represents the natural vibrations of an undamped system based on the nonlinear static state qα a The natural vibration frequencies and modes can be obtained from the above equation by using eigensolution procedures, ., subspace iteration methods. For the cablestayed bridge, its initial shape is the nonlinear static state qα a . When the cablestayed bridge vibrates with small amplitude based on the initial shape, the natural frequencies and modes can be found by solving the above equation. . Computation algorithms of cablestayed bridge analysis The algorithms for shape finding putation, static deflection analysis and vibration analysis of cablestayed bridges are briefly summarized in the following. . Initial shape analysis 1. Input of the geometric and physical data of the bridge. 2. Input of the dead load of girders and towers and suitably estimated initial forces in cable stays. 3. Find equilibrium position (i) Linear procedure ? Linear cable and beamcolumn stiffness elements are used. ? Linear constant coordinate transformation coefficients ajα are used. ? Establish the linear system stiffness matrix Kαβ by assembling element stiffness matrices. ? Solve the linear system equation for qα (equilibrium position). ? No equilibrium iteration is carried out. (ii) Nonlinear procedure ? Nonlinear cables with sag effect and beamcolumn elements are used. ? Nonlinear coordinate transformation coeffi cients ajα 。以前斜拉橋所有非線性被忽視，而且形狀迭代是不考慮平衡而實行的。在由線性的和非線性計算程序決定的結(jié)果之間的幾何學和預應力分配中只有很小的不同。既然第一座現(xiàn)代的斜拉橋 1955年在瑞典被建造，他們的名聲在全世界得到快速地增長。一座斜拉橋由三個主要的成分所組成，也就是主梁、索塔和斜拉索。 斜拉橋的非線性的來源主要地包括拉 索下垂 ,梁柱的偏壓和大的偏轉(zhuǎn)效應。只有基于正確的起始形狀才能得到一個正確的偏轉(zhuǎn)和震動分析。通過泰勒的一般方程的擴展的最早的條目，對于一個小的時間（或荷載）間隔的線性化的方程便得到，如下： Mαβ Δ qβ ”+Δ Dαβ qβ ’ +2Kαβ Δ qβ =Δ pα upα 在靜力學中的線性化系統(tǒng)方程 在非線性靜力學中，線性化系統(tǒng)方程 變成： 2Kαβ Δ qβ =Δ pα upα 4．非線性分析 . 起始形狀分析 斜拉橋的初始形狀提供了幾何學的結(jié)構和橋在主梁和索塔的恒載、斜拉索的拉力作用下的預應力分配。這能用拉索中的任意小的張力開始。那么另外的一個迭代有必要執(zhí)行來減少偏轉(zhuǎn)和使主梁的彎矩平滑并最后找出正確的初始形狀。在每次形狀迭代過程中，主跨的控制點的垂直位移比率將會被檢驗。只有拉索下垂作用在確定初始形狀分析中有顯著作用，而偏壓柱和大的偏轉(zhuǎn)效應變則無關重要。合理的收斂于一點的起始形狀被得到，而且許多計算的工作能被節(jié)省。 牛頓 瑞普生方法在這里被用于平衡迭代。牛頓 瑞普生的迭代程序?qū)⒈皇褂?。斜拉橋靜態(tài)的偏轉(zhuǎn)分析的 運算法則在第 節(jié)中被概述。非線性靜態(tài)系數(shù) qα a 能由非線性偏轉(zhuǎn)分析決定。這個等式能被模型的重疊方法，整體的變形方法或直接的整合方法解答。 斜拉橋由于以開始的形狀為基礎小振幅振動的時候 ,天然的頻率和模態(tài)能被找到來解決上述的等式。 3. 確定平衡位置 (i)線性的程序 o 運用線性的拉索和主梁剛性單元。 (平衡位置 ) o 沒有平衡的迭代被實行。 o 建立接觸的系統(tǒng)剛度矩陣 2Kαβ 。 5. 包括幾何形狀和基本力的初始的形狀輸出。 3. 建立以初始形狀的自由振動的線性化系統(tǒng)等式。然而對于大型斜拉橋，確定形狀的計算變得更困難以達到一致。接下來 ,一些估計試驗初始拉索應力的方法將會被討論。因此，非對稱的斜拉橋的這個問題可以按如下解決。最后，一座高度冗余的斜拉橋?qū)谎芯俊? 接著的二個小型斜拉橋的開始形狀在第 拉索應力決定的。收斂于一點的結(jié)論顯示同樣的結(jié)果，而且他們與試驗的拉索應力無關。只有一個正確的起始形狀，才能得到一個有意義的和正確的偏轉(zhuǎn)及震動分析。 (3). 如果主跨的每條拉索的預應力符合到約 Eeq的 80%，通過兩重循環(huán)的方法可以很快的找到收斂于一點的初始形狀，而且邊跨拉索的初始應力是由作用于索塔上的水平等式?jīng)Q定的。 (7). 基本頻率和高度冗余剛性斜拉橋的顯著不同在研究中被展示。只有通過非線性的 計算而不是線性的計算確定的正確的初始形狀才能得到斜拉橋的振動頻率和模態(tài)的正確分析。舉例來說，橋的第一和第三的模態(tài)被索塔的橫向運動支配 ,而不是主梁。 (5).使用線性的計算能提供一個合理的起始形狀而且節(jié)省很多的計算工作 , 所以在工程實踐中它高度的被推薦。然而對于大跨度的斜拉橋，循環(huán)的收斂于一點會產(chǎn)生很大問題。這個方法能達到建筑的設計形式有統(tǒng)一的預應力分配 ,而且使所有的平衡和邊界情況滿足。他們的收斂于一點的起始形狀可以很容易地獲得。重復的最大周期定為 20。然后邊跨上拉索受力通過與索塔連接的拉索的水平平衡方程確定，即 Tim cosα i= Tis cosβ i, and Tis = Tim cosα i/ cosβ i, α i是指斜拉索與主跨梁的夾角， β i是指斜拉索與邊跨梁的夾角。因為中間跨 (主跨 )和邊跨的對稱的拉索布置對索塔的水平分力的合力為零，也就是沒有不平衡的水平力。當斜拉橋分析的形狀在王的論文中建議用任意小的初始拉索應力開始時，收斂到一點的困難可能會出現(xiàn)。 5. 初始拉索受力估算： 在王教授和林教授的最近研究中 ,小型的斜拉橋的通過任意小或任意大試驗初始拉索應力來實現(xiàn)。 . 振動分析 1. 橋的幾何 的和物理的數(shù)據(jù)輸入。 o 平衡迭代使用牛頓 瑞普生方法運行 △ qα 。 o 非線性變形調(diào)整系數(shù) ajα 。 o 建立線性系統(tǒng)剛度矩陣 Kαβ 通 過排列元素的剛度矩陣。 起始形狀分析 1. 橋的幾何和實際的數(shù)據(jù)輸入。天然振動的頻率和模態(tài)可以從上面的等式運用程序，舉例來說子空間重復方法來得到。 代表在非線性靜態(tài)系數(shù) qα a 被計算的數(shù)量。這種以一個非線性靜態(tài)系數(shù)以一個小振幅的振動被稱作線性化振動。一個模數(shù) 迭代程序高度地被推薦 ,荷載將會被增加，而且重復將會在每個荷載步驟中實行。 荷載模數(shù)方法導致很大的數(shù)字錯誤是廣為人知的。非線性拉索元素的下沉作用、主梁元素的穩(wěn)定系數(shù)和非線性變形調(diào)整系數(shù)被應用。 (1) 線性的計算程序 :為了要找到橋的平衡結(jié)構 ,斜拉橋的所有非線性因素被疏忽，而只是線性的彈性拉索、梁單元、同等的線形的變形系數(shù)被使用。當應變達到的時候 , 計算將會停止而斜拉橋的初始形狀就找到了。對于形狀迭代 ,在先前步驟中確定的基本的軸線力將會被作為下個重復采取的初始基本力 ,這樣一個新的平衡結(jié)構在恒載和這個初始力下再次被確定。雖然首先決定結(jié)構的是使平衡情況和邊界情況得到滿足，但是建筑的設計需求大體上沒有得到實現(xiàn)。因為計算的形狀 ,主梁和索塔的永久荷載必須被考慮，拉索的自重被疏忽，而且拉索下垂的非線性應包括在內(nèi)?；陂_始的形狀計算 ,橋的震動頻率和模態(tài)被確定。他們不能夠被獨立地看成是傳統(tǒng)的鋼或者是高強混凝土橋。主梁的永久荷載和車輛荷載通過拉索傳遞給索塔。 世界上現(xiàn)在最長的斜拉橋是日本的橫跨島海、連接本州四國的多多羅橋。 在過去的三十年中斜拉橋分析和建筑中取得了飛速的進步?；谑諗坑谝稽c的起始形狀由不同的程序決定 ,自振頻率和震動模態(tài)也被詳細地研究。 包括橋的幾何學和預應力分配的初始形狀是使用雙重迭代的方法決定的 ,也就是 ,一個平衡迭代和一個形狀迭代。 ajα，β are used. ? Establish the tangent system stiffness matrix 2Kαβ . ? Solve the incremental system equation for △ qα . ?