經(jīng)濟數(shù)學微積分泰勒級數(shù)與冪級數(shù)(文件)
【正文】 nxx求導? ? ? ? ???????????? ????? 11112113 112nnnnnn nxxnnxnx求導?????????????1121202nnnnnn xnxxnxn ? ? ? ? ?????????? 23 1112xxx（注意下角標的靈活處理） 一、 求下列冪級數(shù)的收斂區(qū)間 : 1 . ??? ????????)2(424222nxxxn； 2 . ?? ?????nnxnxx125222222； 3 . ?????122212nnnxn； 4 、 )0,0(1??????babaxnnnn. 練 習 題 二、 利用逐項求導或逐項積分 , 求下列級數(shù)的和函數(shù) : 1. ????11nnnx ； 2. ?? ???????12531253nxxxxn. 練習題答案 一、 1 . ),( ????； 2 . ]21,21[ ? ； 3 . )2,2( ? ； 4 . ),( cc?, 其中 ? ? 0,m ax ?? bac . 二、 1 . )11()1(12????xx； 2 . )11(11ln21?????xxx. 一、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù) 二、小結(jié) 思考題 第四節(jié) 泰勒級數(shù)與冪級數(shù) (2) 一、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法 步驟 : ，寫出泰勒級數(shù)求 ! )()1( 0)(nxfa nn ?0lim)2( ??? nn R討論).( xf斂于則級數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收(一 ) 直接法 ??????????????nnnnnxxnxfxxxfxfxxnxf)(!)())(()()(!)(00)(000000)( 例 1 解 .)( 的冪級數(shù)展開成將 xexf x?,)()( xn exf ?),2,1,0(.1)0()( ??? nf n)!1()!1()(11???????nxexnexRnxnn?其中（ 麥克勞林 級數(shù)） ?? ef n ?? )()1(? ?112)!1()(!1.... ..!211 ?????????? nnnx xnfxnxxe ?之間）到在（ x0?),(!1!211 2 ??????????? xxnxxe nx ??)。5 1)()1( xxf ?? xln)2(解 于是即令 ,2,2 ???? txtx311313151)1(ttx ???????????? ??????? ?? nttt )3()3(3131 2??????? 232 )2(3 1)2(3 131 xx51 ??? x)21l n(2ln)21(2ln)2l n(ln)2( tttx ????????? ??????? ? nn tntt )2(1)1()2(2122ln 12??????????????????nnnnxxxx2)2()1(23)2(22)2(222ln1332240 ?? x注：常用函數(shù)的麥克勞林級數(shù) ?????????0),(!)1(nnx xnxe????????????012),()!12()1(s i n)2(nnn xnxx??????????02),()!2()1(c o s)3(nnn xnxx??????????01]1,1(1)1()1l n ()4(nnn xnxx??????????0)1,1(! )1()1()1()5(nn xxnnx ???? ??????????012]1,1[12)1(a r c t a n)6(nnn xnxx???????0)1,1(1 1:nn xxx特別????????0)1,1()1(1 1nnn xxx二、小結(jié) 函數(shù)展開成泰勒級數(shù)的方法 . 的冪級數(shù) x 的冪級數(shù) 0xx? 思考題 什么叫冪級數(shù)的間接展開法？ 思考題解答 從已知的展開式出發(fā) , 通過變量代換、四則運算或逐項求導、逐項積分等辦法 ,求出給定函數(shù)的展開式的方法，稱為間接展開法 . 一、 將下列函數(shù)展開成 x 的冪級數(shù) , 并求展開式成立的區(qū)間 : 1. xa ； 2. )1l n ()1( xx ??。1,1(1 ???? 收斂區(qū)間為]。)()2(1????nnnx。 。證明 應用達朗貝爾判別法對級數(shù) ??? 0nnn xannnnn xaxa 11lim???? xaannn1lim ???? ,x??,)0(lim)1( 1 存在如果 ???????nnn aa由比值審斂法 , ,1|| 時當 ??x ,||0收斂級數(shù) ???nnn xa.0收斂絕對從而級數(shù) ???nnn xa,1|| 時當 ??x ,||0發(fā)散級數(shù) ???nnn xa開始并且從某個 n |,||| 11 nnnn xaxa ??? 0|| ?nn xa.0???nnn
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