【正文】 g(x) 0 由此可知對(duì)于 x∈ R， g(x)≥ g(0) 即 ex－ x－ 1≥ 0，因此 x2(ex－ x－ 1)≥ 0，整理得 x2ex≥ x3 ＋ x2 ，即 f(x)≥ x3 ＋ x2. 閱卷報(bào)告 2—— 書寫不規(guī)范失分 【問題診斷】 利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，這類問題求解并不難，即只需由 f′ ?x?＞ 0 或 f′ ?x?＜ 0，求其解即得 .但在求解時(shí)會(huì)因書寫不規(guī)范而導(dǎo)致失分 . 【 防范措施】 對(duì)于含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的單調(diào)增區(qū)間 ?或單調(diào)減區(qū)間 ?，中間用“ ， ” 或 “ 和 ” 連接，而不能用符號(hào) “ ∪ ” 連接 . 【 示例 】 ?設(shè)函數(shù) f(x)＝ x(ex－ 1)－ 12x2，求函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間． 錯(cuò)因 結(jié)論書寫不正確，也就是說不能用符號(hào) “ ∪ ” 連接，應(yīng)為 (－ ∞ ，－ 1)和 (0，＋ ∞ )實(shí)錄 f′ (x)＝ ex－ 1＋ xex－ x＝ (ex－ 1)f2(x)]dx＝ ??abf1(x)dx177。 山東 ) 由曲線 y ＝ x2， y ＝ x3圍成的封閉圖形面積為 ( ) ． A .112 B .14 C .13 D .712 解析 由????? y ＝ x2，y ＝ x3，得交點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,0) ， (1,1) ，因此所求圖形面積為 S ＝????01( x2－ x3) d x ＝ ?????????13x3－14x4 10 ＝112. 答案 A 考向一 定積分的計(jì)算 【例 1】 計(jì)算下列積分 當(dāng)原函數(shù)較難求時(shí)，可考慮由其幾何意義解得． 解析 陰影 部分的面積 S ＝ ???????0π sin x d x ＝－ c os xπ0 ＝－ (－ 1 － 1 )＝2 ，矩形的面積為 2 π . 概率 P ＝陰影部分的面積矩形面積＝22 π＝1π.故應(yīng)選 A . 答案 A 5 ． ( 人教 A 版教材習(xí)題改編 ) 汽車以 v ＝ (3 t ＋ 2) m / s 作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第 1 s 至第 2 s 間的 1 s 內(nèi)經(jīng)過的路程是 ________ ． 解析 s ＝????12(3 t＋ 2) d t ＝???????? ???32t2＋ 2 t21 ＝32 4 ＋ 4 －??????32＋ 2 ＝ 10 －72＝132( m) ． 答案 m ( 5) 由 y ＝ x c os x － 5sin x 為奇函數(shù) ????－ 11( x c os x － 5sin x ＋ 2 ) d x ＝ ????? 1 － 12d x ＝ 2 x1－ 1 ＝ 4. ( 1) 利用微積分基本定理求定積分，其關(guān)鍵是求出被積函數(shù)的原函數(shù)，求一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)與求一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是互逆運(yùn)算，因此應(yīng)注意掌握一些常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． ( 2) 根據(jù)積分的幾何意義可利用面積求積分． ( 3) 若 y ＝ f ( x ) 為奇函數(shù)，則 ＝ 0. 考向二 利用定積分求面積 【例 2】 求 下 圖中陰影部分的面積． [審題視點(diǎn) ] 觀察圖象要仔細(xì)，求出積分上下限，找準(zhǔn)被積函數(shù)． 解 解方程組 ??? y＝ x－ 4，y2＝ 2x， 得 ??? x＝ 2y＝－ 2 ，或 ??? x＝ 8y＝ 4 S 陰影 ＝ ??08 2xdx－ 8＋??02|－ 2x|dx＋ 2 ＝ 2 ?????? ???23x32 80＋ 2 ?????? ???23x32 20－ 6＝ 18. 求由兩條曲線圍成的圖形的面積的解題步驟 (1)畫出圖形，確定圖形的范圍，通過解方程組求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．定出積分的上、下限； (2)確定被積函數(shù)，特別要注意分清被積函數(shù)的上、下位置； (3)寫出平面圖形面積的定積分的表達(dá)式； (4)運(yùn)用微積分基本定理計(jì)算定積分，求出平面圖形的面積． 【訓(xùn)練 2】 求曲線 y＝ x， y＝ 2－ x， y＝－ 13x 所圍成圖形的面積． 解 由 ????? y＝ x，y＝ 2－ x， 得交點(diǎn) A(1,1)； 由????? y＝ 2－ xy＝－ 13x 得交點(diǎn) B(3，－ 1)． 故所求面積 S＝ ??01??????x＋ 13x dx＋ ??13??????2－ x＋ 13x dx ＝ ?????? ???23x32＋ 16x2 10＋ ?????? ???2x－ 13x2 31 ＝ 23＋ 16＋ 43＝ 136 . 考向三 定積分的應(yīng)用 【例 3】 一質(zhì)點(diǎn)在直線上從時(shí)刻 t＝ 0(s)開始以速度 v＝ t2－ 4t＋ 3(m/s)運(yùn)動(dòng)．求： (1)在 t＝ 4 s 的位置； (2)在 t＝ 4 s 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程． [審題視點(diǎn) ] 理解函數(shù)積分后的實(shí)際意義，確定被積函數(shù)． 解 (1)在時(shí)刻 t＝ 4 時(shí)該點(diǎn)的位置為 ??04(t2－ 4t＋ 3)dt＝ ?????????13t3－ 2t2＋ 3t 40＝43(m)， 即在 t＝ 4 s 時(shí)刻該質(zhì)點(diǎn)距出發(fā)點(diǎn) 43 m. (2)因?yàn)?v(t)＝ t2－ 4t＋ 3＝ (t－ 1)(t－ 3)，所以在區(qū)間 [0,1]及 [3,4]上的 v(t)≥ 0， 在區(qū)間 [1,3]上， v(t)≤ 0，所以 t＝ 4 s 時(shí)的路程為 S＝ ??01(t2－ 4t＋ 3)dt＋ |??13(t2－ 4t＋ 3)dt|＋??34(t2－ 4t＋ 3)dt ＝ ?????? ???13t3－ 2t2＋ 3t 10＋ | ?????? ???13t3－ 2t2＋ 3t 31|＋ ?????? ???13t3－ 2t2＋ 3t 43＝ 43＋ 43＋ 43＝ 4 (m)， 即質(zhì)點(diǎn)在 4s 內(nèi)運(yùn)動(dòng)的路程為 4 m. 由 s＝ v0t＋ 12at2通過求導(dǎo)可推出 v＝ v0＋ at，反之根據(jù)積分的幾何意義，由 v＝ v(t)(v(t)≥ 0)可求出 t∈ [a， b]時(shí)間段內(nèi)所經(jīng)過的路程． 【訓(xùn)練 3】 已知甲、乙兩車由同一起點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，并沿同一路線 (假定為直線 )行駛，甲車、乙車的速度曲線分別為 v 甲 和 v 乙 (如圖所示 )．那么對(duì)于圖中給定的t0和 t1，下列判斷中一定正確的是 ( )． A．在 t1時(shí)刻，甲車 在乙車前面 B． t1時(shí)刻后，甲車在乙車后面 C．在 t0時(shí)刻，兩車的位置相同 D． t0時(shí)刻后，乙車在甲車前面 解析 可觀察出曲線 v 甲 ，直線 t＝ t1與 t 軸圍成的面積大于曲線 v 乙 ，直線 t＝ t1與 t 軸圍成的面積，故選 A. 答案 A 難點(diǎn)突破 8—— 積分的綜合應(yīng)用 定積分的考查在試卷中不是必然出現(xiàn)的，一般以選擇題或填空題的形式出現(xiàn)，試題難度不大，在近兩年的高考中，考查的一般是定積分的計(jì)算和定積分在求曲邊圖形面積中的應(yīng)用等，如 2020 年福建卷，陜西卷考查的 是定積分的計(jì)算，新課標(biāo)全國(guó)卷、湖南卷、山東卷考查的是定積分求曲邊形的面積． 一、積分的幾何意義 【示例】 ? 已知 r0，則 ??r－ r r2－ x2dx＝ ________. 二、積分與概率 【示例】 ? (2020山東 )已知 f(x)是 R上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且當(dāng) 0≤ x＜ 2 時(shí)， f(x)＝ x3－ x，則函數(shù) y＝ f(x)的圖象在區(qū)間 [0,6]上與 x 軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( )． A． 6 B． 7 C． 8 D． 9 解析 由 f(x)＝ 0， x∈ [0,2)可得 x＝ 0 或 x＝ 1。安徽 )設(shè) f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，當(dāng) x≤ 0 時(shí)， f(x)＝ 2x2－ x，則 f(1)＝ ( )． A．－ 3 B．－ 1 C． 1 D． 3 解析 法一 ∵ f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且 x≤ 0 時(shí)， f(x)＝ 2x2－ x， ∴ f(1)＝－ f(－ 1)＝－ 2 (－ 1)2＋ (－ 1)＝－ A. 法二 設(shè) x＞ 0，則－ x＜ 0， ∵ f(x)是定義在 R上的奇函數(shù)，且 x≤ 0 時(shí)， f(x)＝ 2x2－ x， ∴ f(－ x)＝ 2(－ x)2－ (－ x)＝ 2x2＋ x，又 f(－ x)＝－ f(x)， ∴ f(x)＝－ 2x2－ x， ∴f(1)＝－ 2 12－ 1＝－ 3，故選 A. 答案 A 本題考查函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的求值，解題思路有兩個(gè)：一是利用奇函數(shù)的性質(zhì)，直接通過 f(1)＝－ f(－ 1)計(jì)算；二是利用奇函數(shù)的 性質(zhì)，先求出 x＞ 0 時(shí) f(x)的解析式，再計(jì)算 f(1)． 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù) 指數(shù)函數(shù)在新課標(biāo)高考中占有十分重要的地位，因此高考對(duì)指數(shù)函數(shù)的考查有升溫的趨勢(shì)，重點(diǎn)是指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，以及函數(shù)的應(yīng)用問題．對(duì)于冪函數(shù)應(yīng)重點(diǎn)掌握五種常用冪函數(shù)的圖象及性質(zhì)，此時(shí)，冪的運(yùn)算是解決有關(guān)指數(shù)問題的基礎(chǔ)，也要引起重視．對(duì)數(shù)函數(shù)在新課標(biāo)中適當(dāng)?shù)亟档土艘?，因此高考?duì)它的考查也會(huì)適當(dāng)降低難度，但它仍是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，重點(diǎn)考查對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)及其應(yīng)用． 【示例 2】 ?(2020湖南 )由直線 x＝－ π3， x＝ π3， y＝ 0 與曲線 y＝ cos x 所圍成的封閉圖形的面積為 ( )． B． 1 C. 32 D. 3 解析 S＝ ∫ π3－ π3cos xdx＝ 2∫ π30cos xdx＝ |2sin x π30＝ 3. 答案 D 4．如圖，在一個(gè)長(zhǎng)為 π，寬為 2 的矩形 OABC 內(nèi)，曲線 y＝ sin x(0≤ x≤ π)與 x軸圍成如圖所示的陰影部分，向矩形 OABC 內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn) (該點(diǎn)落在矩形 OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的 )，則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是 ( )． 雙基自測(cè) 1 ． ( 201 1(x＋ 1)． 令 f′ (x)＞ 0，即 (ex－ 1)(x＋ 1)＞ 0，得 x＜－ 1 或 x＞ 0. 所以函數(shù) f(x)的單調(diào)增區(qū)間為 (－ ∞ ，－ 1)和 (0，＋ ∞ )． 【試一試】 設(shè)函數(shù) f(x)＝ ax3－ 3x2， (a∈ R)，且 x＝ 2 是 y＝ f(x)的極值點(diǎn)，求函數(shù)g(x)＝ ex山東 )曲線 y＝ x3＋ 11在點(diǎn) P(1,12)處的切線與 y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是 ( )． A．－ 9 B．－ 3 C． 9 D． 15 解析 由已知 y′ ＝ 3x2，則 y′ |x＝ 1＝ 3 切線方程為 y－ 12＝ 3(x－ 1)， 即 y＝ 3x＋ 9. 答案 C 2． (20202 x＝ xx2＋ 1， (2)y′ ＝ (2sin 2x)(cos 2x) 2＝ 2sin 4x (3)y′ ＝ (－ e－ x)sin 2x＋ e－ x(cos 2x) 2 ＝ e－ x(2cos 2x－ sin 2x)． (4)y′ ＝ 11＋ x2cos??? ???2x＋ π3 ＝ 2sin??? ???4x＋ 2π3 . (4)設(shè) y＝ ln u， u＝ 2x＋ 5，則 yx′ ＝ yu′ uv′ 1x＝ ex??? ???1x＋ ln x . (4)∵ y＝ (x＋ 1)2(x－ 1)＝ (x＋ 1)(x2－ 1)＝ x3＋ x2－ x－ 1， ∴ y′ ＝ 3x2＋ 2x－ 1. 考向三 求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) 【例 3】 ?求下列復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)． (1)y＝ (2x－ 3)5； (2)y＝ 3－ x； (3)y＝ sin2??? ???2x＋ π3 ； (4)y＝ ln(2x＋ 5)． [審題視點(diǎn) ] 正確分解函數(shù)的復(fù)合層次，逐層求導(dǎo)． 解 (1)設(shè) u＝ 2x－ 3，則 y＝ (2x－ 3)5， 由 y＝ u5與 u＝ 2x－ 3 復(fù)合而成， ∴ y′ ＝ f′ (u)湖南 )曲線 y＝ sin xsin x＋ cos x－