希爾伯特空間中子空間的閉性與補(bǔ)性(文件)
【正文】 ) 0ba F x d x F c b a? ? ??,? ( ) 0Fc? . ?對 ()Fx在 ? ?,ac 和 ? ?,cb 上分別利用羅爾定理 , 則 1 ( , )ac??? , 2 ( , )cb??? , 使 39。1 當(dāng) k 為偶數(shù)，易知： ()fx在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?與 1 2 3 4 1( , ) ( , ) ( , )k b? ? ? ? ? ?? ? ?上異號 . 不妨設(shè)在 1 2 3 1( , ) ( , ) ( , )kka ? ? ? ? ? ?? ? ?上 ( ) 0fx? ,在 1 2 3 4( , ) ( , )? ? ? ?? ? ? 1( , )k b?? 上 ( ) 0fx? .所以我們得到： 1 2 10 ( ) ( ) ( ) ( )b ka x x x f x d x? ? ? ?? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )ka x x x f x d x? ? ? ? ?? ? ? ?? 21 1 2 1( ) ( ) ( ) ( )kx x x f x dx?? ? ? ? ?? ? ? ? ?? 1 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) 0kb kx x x f x d x? ? ? ?? ?? ? ? ? ??矛盾 . 39。 1, 2 , )i m n??， ? ?ny 是柯西點(diǎn)列 , 0???? , 0N??， ,pq N??，有 8 pqyy???，即 1 1 1 ()m m mp q ip i iq i ip iq ii i iy y x x x? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 11( ( ) , ( ) )mmip iq i ip iq iiixx? ? ? ???? ? ??? 1 1 1 1 1 1( ( ) ( ) , ( ) ( ) )p q m p m q m p q m p m q mx x x x? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 2 2 22 2 21 1 1 2 2 2 0p q p q m p m q mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 21 1 2 2p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?, 對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? ,有 ??0 , 0N??, ,pq N??,有 2 2 21 1 2 2ip iq p q p q m p m q? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ?? ?對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? ,有 ? ?1, 2ij j? ? 是柯西數(shù)列必收斂， 不妨設(shè) lim ( )ij ij ???? ??, ( 1,2, , )im? ,其中 i??? ( 1,2, , )im? ,則 令 1 1 2 2 mmy x x x? ? ?? ? ?,則 yX? 顯然成立 ,下證 ()y y n? ??n : 由 ()? 有 ??0 ,對每個(gè) ( 1, 2, , )i i m? , 0iN??, inN?? ,in i m?????, ?對上述 ?0 ,1max( )iimNN? ????, nN??? ,有 1 1 2 2 1 1 2 2( ) ( )n n n m n m m my y x x x x x x? ? ? ? ? ?? ? ?+ + + + 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?) ) + ) 1 1 1 2 2 2( ( (n n m n m mx x x? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?) ) ) 1 1 2 2n n m n m? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?m m? ?? ? ? lim nn yy?????且 yX? ,即 ??ny 在 X 中收斂 , X? 為完備的內(nèi)積空間即 Hilbert 空間 . 定理 3 有限維內(nèi)積空間 X 的子空間 M 必為閉子空間 . 證明 只需證明 M 是閉的 ,即對 ? 收斂點(diǎn)列 ? ?nyM? 且 ()ny y n?? ? ?, 要證 yM?? .不妨設(shè)子空間 M 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基為 12, , , ( )rx x x r N?, 9 可設(shè) 1 1 2 2 , ( 1 , , 。 下證 0MM?? ,即證 xM??? ,有 0xM? . 0x M X M M?? ? ? ? yM?? ? , 0zM?? ,使 x y z??, xM?? , ( , ) 0xy??, 即 ( , ) ( , ) ( , ) 0y z y y y z y? ? ? ?,又 0MM? , ( , ) 0zy??, ( , ) 0yy??, 0y??, 0x y z z M? ? ? ? ?, 0MM???, 由上可知 0MM?? . 注 4 由定理 7 可知內(nèi)積空間 X 中的子空間 M 的正交補(bǔ)一定是 M 的直交補(bǔ) ,換句話說 M 的正 交補(bǔ)的條件比直交補(bǔ)的要強(qiáng)一些 。 Sons: Inc. 1978 [2] 程其襄等 .實(shí)變函數(shù)與泛函分析基礎(chǔ) (第二版 )[M].北京：高等教育出版社， 2020. [3] 王萼芳等 .高等代數(shù) (第三版 ) [M]. 北京：高等教育出版社 ,2020,2. [4] 王航平 .線性空間中有限維與無限維之差異 [J].中國計(jì)量學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(1):6769. [5] 舒世昌 .無限維歐式空間中的正交補(bǔ)與正交子空間 [J].教育創(chuàng)新 ,2020,12(2):3131. [6] 余航 .關(guān)于 n 維歐式空間子空間的正交補(bǔ) [J].桂林市教育學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(4):9495. [7] 胡運(yùn)紅等 .歐式空間中的子空間的正交補(bǔ)的探討 [J]. 運(yùn)城學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020, 14(4):9495. [8] 郭永強(qiáng) .模糊內(nèi)積空間中的投影定理 [J]. 華東船舶工業(yè)學(xué)院學(xué)報(bào) ,2020,14(6):1315. [9] 劉證 .H正交性的注解和內(nèi)積空間的特征 [J].鞍山科技大學(xué)學(xué)報(bào) ,2020,26(5):321323. [10] 曹云飛，雷智勇 . Hilbert空間中的廣義集值補(bǔ)問題 [J]. 四 川教育學(xué)院學(xué)報(bào)， 2020， 17(5):6163. 致 謝 我的畢業(yè)論文得到了我的指導(dǎo)老師 —胡付高副教授的大力支持與悉心指導(dǎo) ,在此向胡老師表示衷心的感謝 ! 。因此當(dāng) M 是內(nèi)積空間 X 中的有限維子空間時(shí) ,M 的正交補(bǔ)和直交補(bǔ)等價(jià) 。 MM???(2) 不一定成立 . 證明 只需舉出反例 : 歐氏空間 []X Rx? 按 ( ( ) , ( ) ) ( ) ( )baf x g x f x g x d x???成為內(nèi)積空間 ,令 ? ?( ) ( 0 ) 0M f x
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