階段性測(cè)試題9-wenkub
2022-12-19 07:11:01 本頁(yè)面
【正文】 滿足 0k9， 則曲線 x225－y29－ k＝ 1 與曲線x225－ k－y29＝ 1 的( ) A． 焦距相等 B． 實(shí)半軸長(zhǎng)相等 C． 虛半軸長(zhǎng)相等 D． 離心率相等 [答案 ] A [解析 ] ∵ 0k9， ∴ 09－ k,25－ k0， ∴ 曲線表示雙曲線， 又 ∵ 25＋ 9－ k＝ c2， ∴ 焦距相等 ． 選 A . 6． 已知拋物線 y2＝ 4x的準(zhǔn)線與雙曲線 x2a2－ y2＝ 1 交于 A、 B兩點(diǎn) ， 點(diǎn) F是拋物線的焦點(diǎn) ，若 △ FAB為直角三角形 ， 則該雙曲線的離心率為 ( ) A． 2 B． 3 C． 2 D． 6 [答案 ] D [解析 ] 拋物線 y2＝ 4x的焦點(diǎn)為 (1,0)，準(zhǔn)線方程為 x＝－ 1，設(shè)直線 x＝－ 1與 x軸的交點(diǎn)為 C，則 FC＝ 2，因?yàn)?△ FAB 為直角三角形，所以根據(jù)對(duì)稱性可知， AC＝ FC＝ 2，則 A點(diǎn)的坐標(biāo)為 (－ 1,2)，代 入雙曲線方程得 1a2－ 4＝ 1，所以 a2＝ 15， c2＝ 15＋ 1＝ 65， e2＝ c2a2＝ 6，所以離心率 e＝ 6. 7． 已知直線 l1： 4x－ 3y＋ 6＝ 0 和直線 l2： x＝－ 1， 拋物線 y2＝ 4x上一動(dòng)點(diǎn) P到直線 l1和直線 l2的距離之和的最小值是 ( ) A． 3 55 B． 2 C． 115 D． 3 [答案 ] B [解析 ] 因?yàn)閽佄锞€的方程為 y2＝ 4x，所以焦點(diǎn)坐 標(biāo) F(1,0)，準(zhǔn)線方程為 x＝－ P到準(zhǔn)線的距離為 PB，則 PB＝ l1： 4x－ 3y＋ 6＝ 0的距離為 PA， 所以 PA＋ PB＝ PA＋ PF≥ FD，其中 FD為焦點(diǎn)到直線 4x－ 3y＋ 6＝ 0的距離，又因?yàn)?FD＝ |4－ 0＋ 6|32＋ 42＝ 105 ＝ 2， 所以距離之和最小值是 2，選 B． 8． 以 O為中心 ， F1， F2為兩個(gè)焦點(diǎn)的橢圓上存在一個(gè)點(diǎn) M， 滿足 |MF1→ |＝ 2|MO→ |＝ 2|MF2→|， 則該橢圓的離心率為 ( ) A． 33 B． 23 C． 63 D． 2 55 [答案 ] C [解析 ] 過(guò) M作 x軸的垂線，交 x軸于 N點(diǎn)，則 N點(diǎn)坐標(biāo)為 (c2， 0)，并設(shè) |MF1→ |＝ 2|MO→ |＝ 2|MF2→ |＝ 2t，根據(jù)勾股定理可知， |MF1→ |2－ |NF1→ |2＝ |MF2→ |2－ |NF2→ |2，得到 c＝ 62 t，而 a＝ 3t2，則 e＝ ca＝ 63 .故選 C． 9． (文 )(202134x，則所求的圓的圓心為 (5,0)，利用圓心到直線 3x－ 4y＝ 0的距離為半徑 r，則有 r＝ |3 5－ 4 0|32＋ ?－ 4?2＝ 3，故圓的方程為 (x－ 5)2＋ y2＝ 9. 12． 從拋物線 y2＝ 4x上一點(diǎn) P引拋物線準(zhǔn)線的垂線 ， 垂足為 M， 且 |PM|＝ 5， 設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為 F， 則 cos∠ MPF＝ ________. [答案 ] 35 [解析 ] 設(shè) P(x0， y0)，則 x0＋ 1＝ 5，即 x0＝ 4，代入拋物線方程得 y0＝ 177。 3x. 又拋物線的準(zhǔn)線方程為 x＝－ p2， 所以聯(lián)立雙曲線的漸近線方程和拋物線的準(zhǔn)線方程可得求 A(－ p2， 3p2 )， B(－ p2，－ 3p2 )． 在 △ AOB中， |AB|＝ 3p， O 到 AB的距離為 p2，因?yàn)?S△ AOB＝ 3，所以 12 x2＋ ?y－ 2?2＋ 64， 整理得 2 x2＋ ?y－ 2?2＝ 8－ y， 兩邊平方得 4[x2＋ (y－ 2)2]＝ (8－ y)2， 展開(kāi)，整理得 x212＋y216＝ 1. (2)∵ l過(guò) y軸上的點(diǎn) (0,3)，若直線 l是 y軸，則 A， B兩點(diǎn)是橢圓的頂點(diǎn)， ∵ OP→ ＝ OA→ ＋ OB→ ＝ 0， ∴ P與 O重合，與四邊形 OAPB是矩形矛盾， ∴ 直 線 l的斜率存在 ． 設(shè) l方程為 y＝ kx＋ 3， A(x1， y1)， B(x2， y2)， 由????? y＝ kx＋ 3，x212＋y216＝ 1， 消去 y得 (4＋ 3k2)x2＋ 18kx－ 21＝ 0， 此時(shí)， Δ＝ (18k)2－ 4(4＋ 3k2)(－ 21)0恒成立， 且 x1＋ x2＝－ 18k4＋ 3k2， x1x2＝－ 214＋ 3k2， ∵ OP→ ＝ OA→ ＋ OB→ ， ∴ 四邊形 OAPB是平行四邊形 ． 若存在直線 l，使得四邊形 OAPB是矩形，則 OA⊥
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