【正文】 jj i n x x x D x???? ? ?? ? ? ? ?? Compare 1n? 1nx? factor that was 12 1( ) ( )n i jj i nD x x x x x? ? ?? ? ? ? ?? (B) The Vander monde determinant polynomial theory Example 1 01( ) ,nnf x c c x c x? ? ?set ()fx is at least 1n? type root, ( ) 0fx? 。 例 2 設 12, na a a 是數(shù)域 F中互不相同的數(shù)， 12,nb b b 是數(shù)域 F中任一 組給定的不全為零的數(shù)，則存在唯一的數(shù)域 F 上次數(shù)小于 n 的多項式 ()fx，使 ()ifa =ib ， 1,2,in? 證明 設 10 1 1( ) ,nnf x c c x c x ??? ? ? ?由條件 ()iif a b? ， 1,2,in? 知 10 1 1 1 1 110 1 2 1 2 210 1 1,nnnnnn n n nc c a c a bc c a c a bc c a c a b??????? ? ? ? ?? ? ? ? ????? ? ? ? ?? （ 3） 因為 12,na a a 互不相同，所以方程組（ 3）的系數(shù)行列式 2111212 2 212111 ( ) 01nnnjii j nnn n na a aa a aD a aa a a??? ? ??? ? ? ?? 則方程組（ 3）有唯一解，即唯一的次數(shù)小于 n 的多項式 10 1 1( ) ,nnf x c c x c x ??? ? ? 使得 ()iif a b? ， 1,2,in? 例 3 設多項式 1212( ) ,nppp nf x a x a x a x? ? ? ?0, 1, 2,ia i n?? ， ,ijpp? , , 1, 2,i j i j n?? ，則 ()fx不可能有非零且重數(shù)大于 1n? 的根。而是由 1 遞升至 n 。分類號： __________ 學校代碼： 學 號： 畢業(yè)論文 外文翻譯材料 學生姓名： 學 號： 專業(yè)班級： 數(shù)學 指導教師： 正文： 外文資料譯文 附 件： 外文 資料 原文 指導教師評語： 簽名： 年 月 日 范德蒙行列式的相關應用 （ 一）范德蒙行列式在行列式計算中的應用 范德蒙行列式的標準規(guī)范形式是： 122 2 21211 1 1121 1 1()nn n i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x? ? ?? ? ?? ? ?? 根據(jù)范德蒙行列式的特點，將所給行列式包括一些非范德蒙行列式利用各種方法將其化為范德蒙行列式，然后利用范德 蒙行列式的結果，把它計算出來。如提取各行的公因數(shù)，則方冪次數(shù)便從 0 變到 1n? . ? ?2121211 1 1 11 2 2 2! ! ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 1 ) ( 3 2 ) ( 2 ) ( 1 )1 3 3 31nnnnD n n n n n nn n n???? ? ? ? ? ? ? ? ?!( 1) !( 2) ! 2 !1 !n n n? ? ? 例 2 計算 1 1 11( 1 ) ( )( 1 ) ( )11 1 1nnn n nna a a na a a nDa a a n? ? ??????? 解 本項中行列式的排列規(guī)律與范德蒙行列式的排列規(guī)律正好相反，為使1nD? 中各列元素的方冪次數(shù)自上而下遞升排列，將第 1n? 列依次與上行交換直至第 1行，第 n 行依次與上行交換直至第 2行 第 2行依次與上行交換直至第 n 行，于是共經(jīng)過 ( 1 )( 1 ) ( 2 ) 2 1 2nnn n n ?? ? ? ? ? ? ? ? 次行的交換得到 1n? 階范德蒙行列式： ? ? ? ?( 1 )211 1 1( 1 )211 1 11( 1 )( 1 ) ( )( 1 ) ( )( 1 ) ( 1 ) ( 2 ) ( ) 2 ( 1 ) ( ( 1 ) ) !nnnn n nnnnn nka a a nDa a a na a a na a a a a n a a a a n a n k?? ? ???????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 若 nD 的第 i 行（列）由兩個分行（列）所組成，其中任意相鄰兩行（列）均含相同分行（列）；且 nD 中含有由 n 個分行（列）組成的范德蒙行列式，那么將nD 的第 i 行（列）乘以 1 加到第 1i? 行（列 ），消除一些分行（列）即可化成范德蒙行列式： 例 3 計算 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41 1 1 11 si n 1 si n 1 si n 1 si nsi n si n si n si n si n si n si n si nsi n si n si n si n si n si n si n si nD ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 解 將 D 的第一行乘以 1加到第二行得： 1 2 3 42 2 2 21 1 2 2 3 3 4 42 3 2 3 2 3 2 31 1 2 2 3 3 4 41 1 1 1si n si n si n si nsi n si n si n si n si n si n si n si nsi n si n si n si n si n si n si n si n? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 再將上述行列式的第 2 行乘以 1 加到第 3 行，再在新行列式中的第 3 行乘以 1加到第 4 行得： 1 2 3 42 2 2 2141 2 3 43 3 3 41 2 3 41 1 1 1si n si n si n si n ( si n si n )si n si n si n si nsi n si n si n si nijjiD? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? 例 4 計算 21 1 122 2 221 1 11 1 11 1 1nnnn n nx x xx x xDx x x? ? ?? ? ??? ? ? （ 1） 解 先加邊，那 么 221 1 1 1 1 12 2 2 2 2 2221 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 1 1nnnnn n n n n nx x x x x xD x x x x x xx x x x x x? ? ?? ? ?? ? ? ? ?? ? ? 再把第 1 行拆成兩項之和， 221 1 11 1 1221 1 1 12 0 0 01111nnnnn n nn n nx x xx x xDx x xx x x?? 1