【正文】 9 年 9 月 30 日 2022 年 9 月 30 日 2022 年 9 月 30 日 … 2022 年 9 月 30 日 2022 年 9 月 30 日 2022 年 9 月 30 日 0 1 2 3 ? 16 17 18 － P 76 76 76 ? 76 76 1076 在 表 1 － 3 中，時(shí)間是從購(gòu)買日開始按年計(jì)的 三、固定利息債券 ? 如果在上例中，利息改為分期支付，每半年支付一次 (每次金額為 38元 )，利息在每年 3月 31日和 9月 30日支付，直到 2022年 9月 30日 (包括這一天也支付利息 )，則他這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如表 1－ 4所示： ? 表 1－ 4 日期 時(shí)間 現(xiàn)金流量 1998 年 9 月 30 日 1999 年 3 月 31 日 1999 年 9 月 31 日 2022 年 3 月 31 日 2022 年 9 月 30 日 ? 2022 年 9 月 30 日 2022 年 3 月 31 日 2022 年 9 月 30 日 0 1 2 ? 17 18 － P 38 38 38 38 ? 38 38 1038 表中的 時(shí)間是從購(gòu)買日開始按年計(jì) 算 的 四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券 ? 傳統(tǒng)的固定利息債券每期的利息支付都是同樣的金額。最簡(jiǎn)單的是：債券持有者在未來某些特定時(shí)間將得到約定金額的一次總付款以及一系列約定的利息報(bào)酬。 一、償債抵押 ? 例如，假設(shè)一家銀行準(zhǔn)備發(fā)放一筆 80萬元的貸款，貸款分次償還，在 20年內(nèi)每月償還 5000元。 ? 主要包括以下內(nèi)容： 一、償債抵押 二、無息債券 三、固定利息債券 四、指數(shù)關(guān)聯(lián)證券 五、基本人壽保險(xiǎn) 一、償債抵押 ? 假設(shè)一個(gè)人為了買一所房子，想從建設(shè)銀行或一家其他銀行借一筆錢。 ? 如果一位投資者把總額為 C的本金存入單利為 i的帳戶 (這期間沒有其他存款和提款 )那么， n年以后可得的利息為 第 n年末的本利和，則 niCI ? )1( niCICS n ????復(fù) 利 ? 復(fù)利就是假定每個(gè)計(jì)息期所得的利息可以自動(dòng)地轉(zhuǎn)成投資 (本金 )以在下一個(gè)計(jì)息期賺取利息 ? 一般地，如果將本金 C存入復(fù)利為 i的帳戶，我們假定之后沒有對(duì)該帳戶的存款和提款，設(shè)表示第 n年末的本利和，那么，第 n ＋ 1年的利息為 則第 n ＋ 1年末的本利和為 nn iSI ?? 1 11 )1( ?? ???? nnnn iCiSSS復(fù) 利 假如一個(gè)投資者在銀行開了一個(gè)帳戶并存入了 100 元，該帳戶按 8% 的年利率以復(fù)利計(jì)息。即借債人除償還出借人 (放款人 )原來出借的資本外，還要支付一個(gè)附加的補(bǔ)償，這個(gè)補(bǔ)償叫做利息。 ? 單位本金在單位時(shí)間（一個(gè)計(jì)息期）所獲得的利息即效用利率 (effective rate of interest)，又稱實(shí)際利率，簡(jiǎn)稱為利率。那么，一年以后，該帳戶的本利和為 108 元，這 108 元又作為第二年的本金，到第二年末的本利和為 108 ? (1 ＋ 0. 08 ) ＝ 100( 1 ＋ 0 . 08)2＝ 1 16 . 64( 元 ) 第二節(jié) 現(xiàn)金流量 ? 精算師在實(shí)際工作中經(jīng)常涉及到對(duì)各種現(xiàn)金流量 (cash flows)的管理，現(xiàn)金流量就是在不同時(shí)期支出或收入的資金金額。銀行可能會(huì)與他簽訂一個(gè)貸款合同，根據(jù)合同，借款者在每月月末支付一系列款項(xiàng)，一直到償還完全部貸款為止。從借款者的角度看，這項(xiàng)交易的現(xiàn)金流量如下所示： 注意，在上表中，時(shí)間是從貸款之日起按月計(jì)量的。 ? 在一些國(guó)家里政府發(fā)行的固定利息債券通常被稱為“金邊債券”或“金邊證券” (“gilt edged stocks”或“ gilts”)。如果經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中的通貨膨脹得不到控制，隨著時(shí)間的流逝，一定金額的貨幣的購(gòu)買力會(huì)減少，尤其當(dāng)通貨膨脹率高時(shí)效果更為明顯。例如英國(guó)的指數(shù)是以 1987年 1月為 100作為基準(zhǔn)的。 假設(shè)盧里坦尼亞政府 6% 的 20 1 0 年到期指數(shù)關(guān)聯(lián)債券在 1 9 9 5 年 5 月 1 日發(fā)行。 因此，如果盧里坦尼亞 1 9 9 5 年 1 月的 R P I 值為 1 8 4 . 5 ， 2 0 1 0 年 1 月的 R P I 值是 3 3 2 . 1 ，最后的利息支付 ( 在 2 0 1 0 年 5 月 1 日 ) 將是 6 元 3 3 2 . 1 /1 8 4 . 5 ＝ 1 0 . 8 0 元，本金返還的數(shù)額（在這一天）將是 1 0 0 元 3 3 2 . 1 / 1 8 4 . 5 ＝ 180 元。 五、基本人壽保險(xiǎn) ? （一）定期壽險(xiǎn)保單 ◆ 例如，考慮如下這個(gè)期限為 15年的定期壽險(xiǎn)保單，保險(xiǎn)金額為1,000,000元，每年初支付保費(fèi) 2,000元，保險(xiǎn)金在死亡之年年末給付 (在保單期限內(nèi) )。 五、基本人壽保險(xiǎn) ? （二）兩全保險(xiǎn)保單 兩全保險(xiǎn)保單是這樣一種合同：當(dāng)被保險(xiǎn)人在保險(xiǎn)期內(nèi)死亡時(shí)，或在保險(xiǎn)期滿時(shí)他還活著，壽險(xiǎn)公司一次性給付一筆保險(xiǎn)金。如果保單持有人在保單期限內(nèi)沒有死亡，人壽保險(xiǎn)公司將獲得 15次每次金額為 58,000元的數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量 (在 0， 1， 2， … ，14時(shí)刻 )以及在時(shí)刻 15的一次數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量 (金額為－ 1,000,000元 )。 如果保單持有人在保單第七年死亡 (即在 6和 7時(shí)刻之間死亡，時(shí)間是從發(fā)行保單之日起按年計(jì)算 )，人壽保險(xiǎn)公司的該合同的現(xiàn)金流量將包括在時(shí)刻 0的一筆數(shù)額為正值的現(xiàn)金流量 (100， 000元 )和以后的在 1， 2， 3， …6時(shí)刻的數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量 (每次－ 9， 400元 )，但是如果保單持有人在保單生效后一年內(nèi)死亡，人壽保險(xiǎn)公司，無論怎樣都不會(huì)發(fā)生數(shù)額為負(fù)值的現(xiàn)金流量。 在討論利息問題中時(shí)間單位是個(gè)重要的概念，它可能是 1個(gè)月或 1年，在實(shí)踐中較常用的是一年，然而，在某些情況下，選擇一個(gè)其他的時(shí)間單位 (例如 6個(gè)月 )也可能會(huì)簡(jiǎn)化問題。 如果每期的利率水平不隨投資的時(shí)刻 t 發(fā)生變化，即對(duì)于任意的 t ， i ( t ) ＝ i 。 在 實(shí)際中常常會(huì)有一年中利息結(jié)算多次的情況──這里的結(jié)算是指把利息 結(jié)轉(zhuǎn) 成本金──即計(jì)息期小于一年的情況，例如，一筆金額為 S 元的款項(xiàng)，年利率為 10% ，每半年結(jié)算一次（每年結(jié)算兩次），也就相當(dāng)于這筆款項(xiàng)每半年的利息為5 % 。 一、實(shí)際利率與名義利率的含義 ? （二）名義利率 一般地，考慮期限為 h 時(shí)間單位的交易， h ＞ 0 并且不一定是整數(shù)，我們用這種方式定義從時(shí)刻 t 開始的期限為 h 時(shí)間單位的每單位時(shí)間的名義利率)( ti h, 即從時(shí)刻 t 開始期限為 h 時(shí)間單位的實(shí)際利率為)( thi h。 ? 以計(jì)息期為一年的情況來說，假定各年的利率水平是不變的，初始時(shí)的 1元到了 1年后變成了（ 1＋ i）元， 2年后變成了（ 1＋ i） 2，我們稱（ 1＋ i）為 1元錢在 1年后的終值，稱（ 1＋ i） 2為 1元錢在 2年后的終值。 三、現(xiàn)值 前面講過， 假定各年的利率水平是不變的， 1 元經(jīng)過 n 年后變成了 (1 ＋ i )n， C元經(jīng)過 n 年后變成了 C (1 ＋ i )n元。 一般地，對(duì)于1t≤2t，在1t時(shí)刻投資 1/ a (1t,2t) 即能在2t時(shí)刻產(chǎn)生 1 元的收益；在1t時(shí)刻投資C/ a (1t,2t) 即能在2t時(shí)刻 產(chǎn)生收益 C ，因此我們說在2t時(shí)刻到期的 C 在1t時(shí)刻的現(xiàn)值為C/ a (1t,2t) 。 當(dāng)利率為 5% 時(shí)，現(xiàn)值因子 v ＝ 0. 95238 。 把等式 (1 . 9) 與 (1 . 13) 綜合起來，可直接用終值函數(shù) a (1t,2t) 定義 δ ( t ) 如下： δ ( t ) ＝]1),([l i m0 hhttah???? (1 . 14) 這里，利息力函數(shù) δ ( t ) 被用終值函數(shù)表示。很顯然，在這種情況下 a (0t,0t＋ n) ＝ ne ? (1 . 17) 對(duì)于所有0t和 n ≥ 0, 根據(jù)公式 (1 . 17) 每單位時(shí)間的實(shí)際利率為 i ＝ ?e － 1 (1 . 18) 因此 ?e ＝ 1 ＋ i ( 1 . 19) 一、利息力與終值函數(shù) 終值函數(shù) a (0t,0t＋ n) 因此可以另一種方式表達(dá) ： a (0t,0t＋ n) ＝ (1 ＋ i )n (1 . 20) 這與我們?cè)谇懊嬷v過的性質(zhì)相吻合。由公式 (1 . 25) 和 (1 . 26) 得出，在一個(gè)非負(fù)時(shí)刻 t 到期的數(shù)額為 C 的資金在今天的現(xiàn)值為 C v ( t ) (1 . 27) 在現(xiàn)實(shí)生活中最普遍的情況是對(duì)于所有 t , 有 δ ( t ) ＝ δ , 也就是說 δ ( t ) 為常數(shù)，我們可以說，對(duì)于所有 t v ( t ) ＝ tv (1 . 28) 在這里 v ＝ v ( 1 ) ＝ i?11 ＝ ??e (1 .29 ) 第五節(jié) 現(xiàn)金流量的現(xiàn)值 ? 一、離散的現(xiàn)金流量 ? 二、連續(xù)的現(xiàn)金流量 ? 三、現(xiàn)金流量的估值 一、離散的現(xiàn)金流量 根據(jù)公式（ 2 . 27 ），在1t、2t、?nt （ 0 ≤1t＜2t＜?＜nt ）時(shí)刻到期的金額為1tc,2tc?ntc的現(xiàn)金流量其現(xiàn)值是 1tcv (1t) ＋2tcv (2t) ＋ ? ＋ntcv (nt) ＝ ??njjt tvc j1)( (1 . 30) 如果支付的次數(shù)是無限的，現(xiàn)值被定義為： ??? 1)(jjt tvc j