【正文】 ? ?*? ?( ) [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]ddJ n E x n x n x n x n? ? ? 最小 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論167。 3. 已知模型與最優(yōu)準(zhǔn)則 濾波概念：指將噪聲中的有用信號(hào)分離出來 —— ( ) ( ) ( )z t x t w t?? 優(yōu)化準(zhǔn)則：最小均方誤差 ? ?*? ? [ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ]ddM i n E x t x t x t x t?? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論一． 連續(xù)情況 1 ．限定：濾波器為線性的 2 . 線性濾波器的輸入 ( ) ( ) ( )z t x t w t??—— 線性觀測(cè)、加性噪聲 其中()xt 是未知的消息，()xt與噪聲)( tw聯(lián)合平穩(wěn)分布且統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論若 隨機(jī) 消息 x (k) 或隨機(jī) 消息 矢量 x ( k ) 及觀測(cè) z (k) 或 z (k) 是廣義平穩(wěn) 的， 則 已知 自相關(guān)函數(shù) 或 功率譜 的線性最小均方誤差估計(jì) （ LM MS E ） ，即是 維納濾波 —— 求最優(yōu)濾波器的沖激響應(yīng) 。 對(duì)上式取相關(guān)，可得： mkmkbbbkRjmjjkjkux??????????????????? , ,0)(1239。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論2. 時(shí)間序列模型與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系 (1) 時(shí)間序列 ?)( kR x 如 AR(1) ：kkk uaxx ?? ? 1，10 ?? a 式中ku為零均值、12 ?u?的白噪聲。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論四、 自相關(guān)函數(shù)、功率譜與時(shí)間序列信號(hào)模型的關(guān)系 1 ． 時(shí)間序列模型與功率譜的關(guān)系 (1) ARMA( m,n) ?)(?xS )()1()()1( 1111 zUzbzbzXzaza mmnn ???? ??????? ?? ?)()()( zUzHzX ? 而nnmmzazazbzbzAzBzH??????????????111111)()()( 由線性系統(tǒng)的輸入輸出關(guān)系，有 )()()()( 1 zUzHzHzS x ?? 由 tjez ??及2)(uuS ?? ?，有 2)()()(uTjTjx eHeHS ???? ?? （ * ） 可見 ARMA 信號(hào)模型的功率譜)(?xS是 Tje ?的有理函數(shù)，這種隨機(jī)過程叫有理譜過程。 解： （ 1 ）???????????idtduCuuiRdtdiLcic →icccuudtduRCdtudLC ?????22—— 二階微分方程 11)()()(2??????sRCsLCsUsUsTic （ 2 ）若 )( ti 、)( tu c的初值)( 0ti、)( 0tu c和0tt ?的輸入電壓)( tu i已知，則0tt ?時(shí)網(wǎng)絡(luò)的狀態(tài)可由 )( ti ，)( tu c決定 ∴ 設(shè) )( ti ，)( tu c為狀態(tài)變量 ? ?? ? ? ?? ?????????????????????????????????????????????????????????iccicuuiuuLuiCLLRcui01001011 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論線性時(shí)不變系統(tǒng)可以用一個(gè)高階差分方程描述 ： )()1()()1( 1111 zUzbzbzXzaza mmnn ???? ??????? ?? 也可以用 n 個(gè)一階差分方程描述： kkk uGxΦx ??? 1 白噪聲驅(qū)動(dòng)的線性系統(tǒng)的輸出 ? 時(shí)間序列 信號(hào) 模型 ? 狀態(tài)空間 信號(hào) 模型 ！ 動(dòng)態(tài)方程或消息模型（隨機(jī)動(dòng)態(tài)模型） ： kkkkk uGxΦx ??? 1 觀測(cè)方程 ： kkkkk wΓxHz ?? 其中kx和kz分別為狀態(tài)向量和觀測(cè)向量。 任意 AR MA 序列可用無限階 AR 序列表 示 ： 可 用階數(shù)足夠大的 AR 序列近似表示。 由于對(duì)ku的所有假定都以二階矩為基礎(chǔ)，所以最優(yōu)線性預(yù)測(cè)器意味著預(yù)測(cè)誤差方差最小。 在許多應(yīng)用場(chǎng)合，隨機(jī)過程 x 或者不包含確定性部分，或者其確定性部分可除去。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) 滑動(dòng)平均模型 MA( m)( Movi ng Av e ra ge ) mkmkkk ububux ?? ???? ?11, kk uzBx )(? 模型多項(xiàng)式為：nn zbzbzB?? ???? ?111)( 若0)( ?zB的根全在單位圓內(nèi)，則 MA( m) 是可逆的。 －是實(shí)時(shí)遞推算法 －把多狀態(tài)變量引入了濾波理論 －易于用計(jì)算機(jī)求解，適于實(shí)時(shí)處理，同時(shí)突破了平穩(wěn)隨機(jī)過程的限制 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論167。 引 言 一、基本概念 通信與控制中的濾波問題： 指從獲得的信號(hào)與干擾中盡可能地消除干擾，分離出所期望的消息；或：對(duì)一系列有誤差的實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，得出所期望數(shù)據(jù)的估值。 在波形估計(jì)與狀態(tài)估計(jì)中 , 基于觀測(cè) z (k) 對(duì)隨機(jī)矢量 x (k+ α ) 進(jìn)行最優(yōu)估計(jì)時(shí)，若 0?? ，就是濾波 , 若 0?? ，就是預(yù)測(cè) , 若 0?? ，就是平滑。167。 (3) 自回歸滑動(dòng)平均模型 ARMA( m,n) ( Autor e g r e ssi ve Movi ng Ave r a ge ) mkmkknknkk ububuxaxax ???? ??????? ?? 1111， kk uzBxzA )()( ? 其中)( zA與)( zB無公因子，應(yīng)分別滿足上述平穩(wěn)性和可逆性條件。 解釋 ： 在描述時(shí)間序列方面， MA 模型具有普遍適用的性質(zhì)。 如 AR 模型：?????nikikikuxax1 預(yù)測(cè)值：????niikikxax1? 預(yù)測(cè)誤差：kkkk uxxx ??? ?~ 可以證明，若ku是白噪聲，則預(yù)測(cè)誤差方差最小。 —— 即當(dāng)時(shí)間序列可用 MA 或 AR MA 模型表示時(shí)，他們也可用AR 序列表示。kx的均值為0x、方差為0P；ku為策動(dòng)噪聲，kw為觀測(cè)噪聲，kx與kw不相關(guān)。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) )(?xS? AR M A( m ,n) 若已知)(?xS，要將之表示為（ * ）式的乘積形式，這個(gè)過程被稱為譜分解。 假定00 ?x，可求 22||2( ) { }111x l k lkkkkR k E x xaaaaa????????????? 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論(2) . )( kR x? 時(shí)間序列 對(duì) ARMA( m,n) 模型兩邊分別乘以1?? nkx、2?? nkx、 … 、nkx 2?，取期望可得： nkiknRaknRnixix,2,1 ,0)()(1??????? ?? — Yule W a lker 方程（正規(guī)方程） 若已知)( kR x，則可求出 AR 部分參數(shù) ia。? 若)(39。 若 隨機(jī)消息矢量可被建模為 狀態(tài)空間模型 ，則 已知 動(dòng)態(tài)模型 、 測(cè)量方程 和 初始條件 的線性無偏最小均方誤差估計(jì)（ LM MS E ） ，即是 卡爾曼濾波 —— 求解最優(yōu)濾波器輸出（即消息的估計(jì)） 的遞推算法 。已知()xt與)( tw的相關(guān)函數(shù))(?xR、)(?wR，或?qū)?yīng)的功率譜)(?xS、)(?wS。 .2 維納霍夫方程 設(shè)計(jì) WF 即尋找()ht或()hn，使)( tJ或)( nJ最小。已知：222)(kkSx????，2)(0NtSw?，待估計(jì)信號(hào)為)()( ??? txtx d，?為常數(shù)。39。39。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論Not e : 對(duì)固定的消息帶寬 k ，最佳濾波器的帶寬S N Rk ?12隨著S NR 的增加而增加。 與零延遲時(shí)的濾波器相比可見，最佳預(yù)測(cè)器正好等于零延遲時(shí)估計(jì)的最佳濾波器乘以增益 ?ke ?，當(dāng)預(yù)測(cè)時(shí)間較長(zhǎng)時(shí)，預(yù)測(cè)的輸出將為 0 。當(dāng)???時(shí)，)0(12 xo p t R???—— 最好的預(yù)測(cè)系統(tǒng)也只能預(yù)測(cè)一定時(shí)間間隔內(nèi)的情況， 對(duì)預(yù)測(cè)來說這個(gè)概念很重要 ！ [*] H. Van Trees, 檢測(cè)估計(jì)調(diào)制理論 I ，國防工業(yè)出版社， 1983 。 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論對(duì)于 FIR 濾波器 ， W H 方程為： 10( ) ( ) ( ) , 0 ,1 , , 1dMo z x zih i R i k R k k M??? ? ? ? ?? 定義：? ?( ) ( 1 ) ( 1 ) T( n ) z n z n z n M? ? ? ?Z ， 則 ? ?( 0 ) ( 1 ) ( 1 )( 1 ) ( 2 ) ( 2 )( ) ( )( 1 ) ( 2 ) ( 0 )z z zz z zz z zR R R MR R R ME n nR M R M R??????????????????R Z ZT ? ?( ) ( )dE n x n?pZ ? ?TMddd)1()1()0( ??? zxzxzx RRR ? 由上述定義，可把維納霍夫方程寫為矩陣形式：phR ?? o 其中? ?(0 ) ( 1 ) ( 1 ) To o o oh h h M??h。 33 .. 44 維維 納納 濾濾 波波 的的 應(yīng)應(yīng) 用用 一、 時(shí)域?yàn)V波器 —— 信道均衡 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論 碼間干擾現(xiàn)象 ? 碼間干擾的影響： RA KE 接收機(jī) 的 BER ~ SN R ， B= 1GH z ， R= 4 00Mbps ， 干擾 19 個(gè)碼元 自自 適適 應(yīng)應(yīng) 信信 號(hào)號(hào) 處處 理理 －－ 最最 優(yōu)優(yōu) 線線 性性 濾濾 波波 理理 論論應(yīng)設(shè)計(jì)均衡器()Wn使誤碼率()P e S N R最小，但()P e S N R與()Wn的關(guān)系為非線性的 ：m in2m in26( ) [ ( ) ]1eP SN R K Q SN R W nM????? ?????（ M 進(jìn)制 P A M 調(diào)制、 M L SE的符號(hào)差錯(cuò)概率）。 Kk k k k j j j kjky c