近世代數(shù)期末考試題庫【整理版】-wenkub
2023-04-10 04:30:28 本頁面
【正文】 S1∩S2也是子環(huán)。一個(gè)子群H的右、左陪集的個(gè)數(shù)相等。如果是與間的一一映射，是的一個(gè)元，則a。A、4個(gè) B、5個(gè) C、6個(gè) D、7個(gè)有限布爾代數(shù)的元素的個(gè)數(shù)一定等于（ d ）。四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）若G，*是群，則對(duì)于任意的a、b∈G，必有惟一的x∈G使得a*x＝b。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的惟一解。＝e*x162。令x＝a－1*b，則a*x＝a*(a－1*b)＝(a*a－1)*b＝e*b＝b。設(shè)E是所有偶數(shù)做成的集合，“”是數(shù)的乘法，則“”是E中的運(yùn)算，（E，）是一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)，問（E，）是不是群，為什么？解：H的3個(gè)右陪集為：{I,(1 2)}，{(1 2 3 )，(1 3)}，{(1 3 2 )，(2 3 )}H的3個(gè)左陪集為：{I,(1 2)} ，{(1 2 3 )，(2 3)}，{(1 3 2 )，(1 3 )}答：（E，）不是群，因?yàn)椋‥，）中無單位元。是代數(shù)系統(tǒng)的元素，對(duì)任何均成立，則稱為單位元。a的階若是一個(gè)有限整數(shù)n，那么G與模n乘余類加群同構(gòu)。錯(cuò)填、不填均無分。證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個(gè)商域 證畢。設(shè)集合，定義中運(yùn)算“”為ab=(a+b)(modm),則（，）是不是群，為什么？四、證明題（本大題共2小題，第1題10分，第2小題15分，共25分）設(shè)是群。證明：任何方陣都可唯一地表示成一個(gè)對(duì)稱矩陣與一個(gè)反對(duì)稱矩陣之和。全體不等于0的有理數(shù)對(duì)于普通乘法來說作成一個(gè)群，則這個(gè)群的單位元是1，元a的逆元是a1。如果環(huán)R的乘法交換，則稱R是一個(gè)交換環(huán)。錯(cuò)填、不填均無分。錯(cuò)選、多選或未選均無分。設(shè)A＝B＝R(實(shí)數(shù)集)，如果A到B的映射：x→x＋2，x∈R，則是從A到B的（ c ）A、滿射而非單射 B、單射而非滿射C、一一映射 D、既非單射也非滿射設(shè)集合A中含有5個(gè)元素，集合B中含有2個(gè)元素，那么，A與B的積集合AB中含有（ d ）個(gè)元素。設(shè)集合；，則有。偶數(shù)環(huán)是整數(shù)環(huán)的子環(huán)。設(shè)和是環(huán)的理想且，如果是的最大理想，那么。奇解：把和寫成不相雜輪換的乘積： 可知為奇置換，為偶置換。證明：如果對(duì)任意的，有，則是交換群。近世代數(shù)模擬試題二 單項(xiàng)選擇題 設(shè)G 有6個(gè)元素的循環(huán)群，a是生成元，則G的子集（c ）是子群。凱萊定理說：任一個(gè)子群都同一個(gè)變換全同構(gòu)。A={} B={} 那么A∩B=2。有限群的另一定義：一個(gè)有乘法的有限非空集合作成一個(gè)群，如果滿足對(duì)于乘法封閉；結(jié)合律成立、消去律成立。解 方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。所以，x＝a－1*b是a*x＝b的解。＝(a－1*a)*x162。容易證明這樣的關(guān)系是Z上的一個(gè)等價(jià)關(guān)系，把這樣定義的等價(jià)類集合記為Zm，每個(gè)整數(shù)a所在的等價(jià)類記為[a]=｛x∈Z；m︱x–a｝或者也可記為，稱之為模m剩余類。設(shè)m是一個(gè)正整數(shù)，利用m定義整數(shù)集Z上的二元關(guān)系：a?b當(dāng)且僅當(dāng)m︱a–b。下列哪個(gè)偏序集構(gòu)成有界格（ d ）A、偶數(shù) B、奇數(shù) C、4的倍數(shù) D、2的正整數(shù)次冪A、（N,） B、（Z,） C、（{2,3,4,6,12},|（整除關(guān)系）） D、 (P(A),)設(shè)S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以與(123)交換的所有元素有（ a ）A、(1)，(123)，(132) B、12)，(13)，(23) C、(1)，(123) D、S3中的所有元素二、填空題(本大題共10小題，每空3分，共30分)請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。區(qū)間[1，2]上的運(yùn)算的單位元是2。從同構(gòu)的觀點(diǎn)，每個(gè)群只能同構(gòu)于他/它自己的商權(quán)。S1+S2也是子環(huán)嗎？設(shè)有置換。證 由上題子環(huán)的充分必要條件，要證對(duì)任意a,b∈S1∩S2 有ab, ab∈S1∩S2：因?yàn)镾1，S2是A的子環(huán)，故ab, ab∈S1和ab, ab∈S2 ，因而ab, ab∈S1∩S2 ，所以S1∩S2是子環(huán)。M為含幺半群，證明b=a1的充分必要條件是aba=a和ab2a=e。錯(cuò)選、多選或未選均無分。錯(cuò)填、不填均無分。＝(23)(35)，τ＝(1243)(235)∈S5，那么στ＝___________(表示成若干個(gè)沒有公共數(shù)字的循環(huán)置換之積)。，其特征n是一個(gè)有限數(shù)，那么，n是___________。三、解答題（本大題共3小題，每小題10分，共30分），Zm為以m為模的剩余類加群，是Z到Zm的一個(gè)映射，其中 ：k→［k］，k∈Z，驗(yàn)證：是Z到Zm的一個(gè)同態(tài)滿射，并求的同態(tài)核Ker。abcaabcbbcaccab 已知R關(guān)于矩陣的加法和乘法作成一個(gè)環(huán)。近世代數(shù)模擬試題一 參考答案一、單項(xiàng)選擇題。 和可以寫成如下對(duì)換的乘積： 解：設(shè)A是任意方陣，令，則B是對(duì)稱矩陣，而C是反對(duì)稱矩陣，且。證明在F里有意義，作F的子集顯然是R的一個(gè)商域 證畢。解 方法一、輾轉(zhuǎn)相除法。所以，x＝a－1*b是a
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