【正文】 (t)的頻譜分別為和根據(jù)傅里葉變換的線性性質(zhì)和時移性質(zhì)可得： 圖231216．求信號x(t)的傅里葉變換解：由例216已知 注意到x(t)為實偶函數(shù)， t 0 時，t0 時，所以，根據(jù)線性疊加特性又根據(jù)時間比例特性有，所以最后得在實際應用中，一般為的實數(shù) 則 217．已知信號x(t)試求信號x() ，x(2t)的傅里葉變換 解：由例可知x(t)的傅里葉變換為根據(jù)傅里葉變換的比例特性可得如圖232所示,由圖可看出，時間尺度展寬(a)將導致其頻譜頻帶變窄,且向低頻端移動,這種情況為我們提高設(shè)備的頻率分析范圍創(chuàng)造了條件,但是以延長分析時間為代價的。解： 211．設(shè)X(f)為周期信號x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的頻移特性即：若 則 證明：因為 又因為 證畢！212．設(shè)X(f)為周期信號x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的共軛和共軛對稱特性即：若 則 式中x*(t)為x(t)的共軛。與傅里葉級數(shù)展開得到的幅值譜之區(qū)別在于，各諧頻點不是有限值，而是無窮大的脈沖，這正表明了傅里葉變換所得到的是幅值譜密度。計算各傅里葉序列系數(shù)當n=0時，常值分量c0：當n185。解：也可先求概率密度函數(shù)：則：。24．求正弦信號的概率密度函數(shù)p(x)。0時，最后可得注意上式中的括號中的項即sin (nw0 T1)的歐拉公式展開，因此，傅里葉序列系數(shù)可表示為其幅值譜為：，相位譜為：。28．求符號函數(shù)的頻譜。證明： 由于 上式兩端用 f 替代 f 得上式右端即為x*(t)的傅里葉變換，證畢！特別地，當x(t)為實信號時，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共軛對稱，即213．設(shè)X(f)為周期信號x(t)的頻譜，證明傅里葉變換的互易性即：若 則 證明：由于 以 t 替換 t 得上式 t 與 f 互換即可得即 證畢。反之,時間尺度壓縮(a)會導致其頻譜頻帶變寬,且向高頻端擴展,這種情況為我們提高信號分析速度提供了可能。（1） （30）（2） （12）（3） （）（4） （8）221．如圖所示，有個脈寬為的單位矩形脈沖等間隔（間隔為）地分布在原點兩側(cè)，設(shè)這個信號為，求其FT。見圖（b）。222．“時域相關(guān)性定理”可描述如下試證明。在式中，令，則可得自相關(guān)的傅里葉變換式中說明，“函數(shù)相關(guān)的FT是其幅度譜的平方”，換句話說，“函數(shù)的自相關(guān)函數(shù)與其幅度譜的平方是一對傅里葉變換對”。在特性曲線中可以看出，當ω﹤，ζ對幅頻特性影響較小，φ(ω)－ω曲線接近直線。分析表明，當ζ＝～，在ω＝(0～)ωn 的頻率范圍中，幅頻特性A(ω)的變化不超過5％，此時的相頻特性曲線也接近于直線，所產(chǎn)生的相位失真很小。ζ越大，輸出接近穩(wěn)態(tài)輸出的時間越長。另外，在斜坡輸入的情況下，ζ俞小，對斜坡輸入響應的穩(wěn)態(tài)誤差2ζ/ωn 也俞小，但隨著ζ的減小，超調(diào)量增大，回調(diào)時間加長，當ζ＝～,有較好的響應特性。4 ω 在對某壓力傳感器進行校準時，得到一組輸入輸出的數(shù)據(jù)如下：正行程平均值反行程平均值試計算該壓力傳感器的最小二乘線性度和靈敏度。根據(jù)式32，線性特性表明，對于線性系統(tǒng)，如果輸入放大，則輸出將成比例放大；同時作用于線性系統(tǒng)的兩個輸入所引起的輸出，等于兩個輸入分別作用于該系統(tǒng)所引起的輸出的和，當多個輸入作用于線性系統(tǒng)時，也有類似的關(guān)系。若系統(tǒng)的輸出信號中含有其他頻率成份時，可以認為是外界干擾的影響或系統(tǒng)內(nèi)部的噪聲等原因所至，應采用濾波等方法進行處理，予以排除。第四章 習題與題解余弦信號被矩形脈沖調(diào)幅，其數(shù)學表達式為試求其頻譜解：設(shè)其中 已知余弦信號，載波，求調(diào)幅信號的頻譜。解：下圖為信號數(shù)字分析流程框圖，整個系統(tǒng)由三部分組成：模擬信號予處理，模數(shù)轉(zhuǎn)換和數(shù)字運算分析。2) 模擬數(shù)字轉(zhuǎn)換完成模擬電壓離散采樣和幅值量化，將模擬電壓信號轉(zhuǎn)換為數(shù)字碼。52 .模數(shù)轉(zhuǎn)換器的輸入電壓為0～10V。根據(jù)采樣定理，信號的帶寬應小于等于相應采樣頻率的一半。 解:此題的關(guān)鍵是要掌握在不滿足采樣定理時，信號超出奈魁斯特頻率的頻譜部分將以奈魁斯特頻率為分界線，向低頻端折疊這一頻混現(xiàn)象。1100200300 f Hz2 f Hz200100155．某信號的幅值頻譜如下圖。f Hz02008001200A(f)2fN=1250Hz2) 當fs =2200Hz時，fN =1100Hz，小于信號的最高頻率，不滿足采樣定理。此時離散信號的頻譜如下：f Hz0200300700A(f)2fN=750Hz56. 已知某信號的截頻fc＝125Hz，現(xiàn)要對其作數(shù)字頻譜分析，頻率分辨間隔＝1Hz。3) 。在懸臂上對稱的貼有四片相同的電阻應變片，并采用全橋連接的方式，應變片的靈敏系數(shù)K=2，電阻值R1 = R2 = R3 = R4 =120Ω，質(zhì)量m的質(zhì)心到應變片中心的距離L = 8cm。檢驗工作的生產(chǎn)率與零件相對傳感器移動的速度V成正比，然而，速度過大可能在B1點處破壞接觸。這時桿1的運動微分方程為：令：；；桿的運動微分方程為： （a）恒定接觸時的條件在于點B1處的反力不改變符號，也即因為表面輪廓用下列方程描述：測量桿的運動方程具有形式 (b)式中 (c)把（b）待入（a），并考慮到條件，得到 (d)式中為儀表桿桿的移動頻率。當工作時值在范圍，在該值時接觸可能破壞，由關(guān)系式（d）等于零（當時）求得，于是或者考慮到（d）得到極限速度值 85 液位傳感器（測量液體水平面的敏感構(gòu)件）如圖題85所示。題圖 85