希望杯試題1-10-wenkub
2023-04-09 01:10:00 本頁(yè)面
【正文】 解法2運(yùn)用了；解法3運(yùn)用了；解法4運(yùn)用了；解法5運(yùn)用了．雖解法異彩紛呈，但卻殊途同歸．此題使我們聯(lián)想到最新高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）P第8題：已知，求證：．證：令，則．．，．此證法通過(guò)換元將分母中的多項(xiàng)式改寫(xiě)成單項(xiàng)式，使得推證更簡(jiǎn)單了．運(yùn)用這一思路，又可得本賽題如下解法：設(shè)，則．恒成立，就是恒成立．也就是恒成立．恒成立，由題意得．故選．再看一個(gè)運(yùn)用這一思想解題的例子．例 設(shè)，求證：．（第二屆“友誼杯”國(guó)際數(shù)學(xué)競(jìng)賽題）證明 設(shè)則．， ①，,即，． 本賽題還可直接由下面的命題得解．命題 若，則．證明 ，都大于．反復(fù)運(yùn)用①式，可得: “若,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”.故有．也可以這樣證明：，．故由柯西不等式，得，即．，．由此可得本賽題的如下解法：，．由 題意，．故選．由此命題還可直接解決第七屆高二培訓(xùn)題第8題：設(shè)，并且，則與的大小關(guān)系是 ( ) A、 B、 C、 D、解 ，．故選．題3 設(shè)實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為 ( ) A、 B、 C、 D、（第十一屆高二培訓(xùn)題第5題）解法1 設(shè)則即max=.故選D．解法2 ,又,當(dāng)且僅當(dāng)且即時(shí)取等號(hào)，解法3 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故.解法4 設(shè)則當(dāng)且僅當(dāng)共線，即時(shí)取等號(hào)，故.解法5 若設(shè)，則直線與圓有公共點(diǎn)，于是，即.解法6 設(shè),則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故．解法7 構(gòu)造函數(shù)，則故即解法8 由還可構(gòu)造圖形（如圖），其中為圓的直徑，由托勒密定理,得，從而得，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)取等號(hào)．．評(píng)析 解法1抓住已知條件式的結(jié)構(gòu)特征，運(yùn)用三角代換法，合情合理，自然流暢，也是解決此類型問(wèn)題的通法之一．解法2運(yùn)用基本不等式將放大為關(guān)于與的式子，再利用條件求出最大值．值得注意的是，稍不注意，就會(huì)得出下面的錯(cuò)誤解法：．故選A．錯(cuò)誤的原因就在于用基本不等式求最值時(shí)未考慮等號(hào)能否取到．上述不等式取等號(hào)的條件是①且②，而若①，②式同時(shí)取得，則，即這與題設(shè)矛盾！即當(dāng)時(shí)，取不到．解法2是避免這種錯(cuò)誤的有效方法．由于向量與復(fù)數(shù)的模的平方是平方和形式，與已知形式一致，故解法4與解法6分別運(yùn)用了構(gòu)造向量與構(gòu)造復(fù)數(shù)的方法，新穎而簡(jiǎn)潔．解法5設(shè)后，將其看作動(dòng)直線，利用該直線與定圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離小于等于半徑，得，充分體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的解題功能．解法7運(yùn)用的是構(gòu)造函數(shù)法．為什么構(gòu)造函數(shù)呢？主要基于兩點(diǎn)：①為非負(fù)式（值大于等于0），②由于，故有，而溝通了已知與未知的關(guān)系，故使問(wèn)題得到解決．解法8抓住已知兩條件式的特征，構(gòu)造了兩個(gè)有公共邊的直角三角形，利用托勒密定理及圓的弦小于等于半徑使問(wèn)題獲解，充分揭示了這一代數(shù)問(wèn)題的幾何背景．拓展 此
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