函數(shù)的單調(diào)性與最值含例題詳解-wenkub
2023-04-08 12:17:15 本頁(yè)面
【正文】 斷函數(shù)單調(diào)性的方法相同即：(1)定義法；(2)復(fù)合法；(3)圖像法；(4)導(dǎo)數(shù)法．考點(diǎn)二 函數(shù)單調(diào)性的判斷[典例] 試討論函數(shù)的單調(diào)性．[解] 法一：由解析式可知，函數(shù)的定義域是．在(0，＋∞)內(nèi)任取，令，那么因?yàn)椋裕?故當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，即函數(shù)在上單調(diào)遞減．考慮到函數(shù)是奇函數(shù)，在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上具有相同的單調(diào)性，故在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上，函數(shù)f(x)在和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減．[解題通法]1．利用定義判斷或證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，作差后要注意差式的分解變形徹底．2．利用導(dǎo)數(shù)法證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，求導(dǎo)運(yùn)算及導(dǎo)函數(shù)符號(hào)判斷要準(zhǔn)確．[針對(duì)訓(xùn)練]判斷函數(shù)g(x)＝在 (1，＋∞)上的單調(diào)性．解：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1x2，則，由于1x1x2，所以x1－x20，(x1－1)(x2－1)0，因此g(x1)－g(x2)0，即g(x1)g(x2)．故g(x)在(1，＋∞)上是增函數(shù)．考點(diǎn)三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用角度一 求函數(shù)的值域或最值1． 已知函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當(dāng)x0時(shí)，f(x)0， f(1)＝－.(1)求證：f(x)在R上是減函數(shù)；(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．解：(1)證明：∵函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，∴令x＝y(tǒng)＝0，得f(0)＝0.再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．在R上任取x1x2，則x1－x20，f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．又∵當(dāng)x0時(shí)，f(x)0，而x1－x20，∴f(x1－x2)0，即f(x1)f(x2)．因此f(x)在R上是減函數(shù)．(2)∵f(x)在R上是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上也是減函數(shù)，∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.角度二 比較兩個(gè)函數(shù)值或兩個(gè)自變量的大小2．已知函數(shù)f(x)＝log2x＋，若x1∈(1,2)，x2∈(2，＋∞)，則( )A．f(x1)0，f(x2)0 B．f(x1)0，f(x2)0C．f(x1)0，f(x2)0 D．f(x1)0，f(x2)0解析：選B ∵函數(shù)f(x)＝log2x＋在(1，＋∞)上為增函數(shù)，且f(2)＝0，∴當(dāng)x1∈(1,2)時(shí)，f(x1)f(2)＝0，當(dāng)x2∈(2，＋∞) 時(shí)，f(x2)f(2)＝0，即f(x1)0，f(x2)0.角度三 解函數(shù)不等式3．已知函數(shù)則不等式f(a2
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