專題幾何不等式-wenkub
2023-04-08 05:53:27 本頁面
【正文】 證明過的不等式外，還需考慮幾何圖形的特點和性質(zhì)． 幾何不等式就其形式來說不外乎分為線段不等式、角不等式以及面積不等式三類，在解題中不僅要用到一些有關(guān)的幾何不等式的基本定理，還需用到一些圖形的面積公式．下面先給出幾個基本定理． 定理1 在三角形中，任兩邊之和大于第三邊，任兩邊之差小于第三邊． 定理2 同一個三角形中，大邊對大角，小邊對小角，反之亦然． 定理3 在兩邊對應(yīng)相等的兩個三角形中，第三邊大的，所對的角也大，反之亦然． 定理4 三角形內(nèi)任一點到兩頂點距離之和，小于另一頂點到這兩頂點距離之和． 定理5 自直線l外一點P引直線l的斜線，射影較長的斜線也較長，反之，斜線長的射影也較長． 說明 如圖2135所示．PA，PB是斜線，HA和HB分別是PA和PB在l上的射影，若HA＞HB，則PA＞PB；若PA＞PB，則HA＞HB．事實上， 由勾股定理知PA2HA2=PH2=PB2HB2， 所以PA2PB2=HA2HB2． 從而定理容易得證． 定理6 在△ABC中，點P是邊BC上任意一點，則有PA≤max｛AB，AC｝， 當點P為A或B時等號成立． 說明 max｛AB，AC｝表示AB，AC中的較大者，如圖2136所示，若P在線段BH上，則由于PH≤BH，由上面的定理5知PA≤BA，從而PA≤max｛AB，AC｝． 同理，若P在線段HC上，同樣有PA≤max｛AB，AC｝． 例1 在銳角三角形ABC中，AB＞AC，AM為中線，P為△AMC內(nèi)一點，證明：PB＞PC(圖2137)． 證 在△AMB與△AMC中，AM是公共邊，BM=MC，且AB＞AC，由定理3知，∠AMB＞∠AMC，所以∠AMC＜90176。． 由于在△ACM中∠ACM＞∠AMC，所以AM＞AC．
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