【正文】 ????????點(diǎn) 斜 式 ）兩 點(diǎn) 式 ）由兩點(diǎn)式可以看出， L1(x)是由兩個線性函數(shù) 1111kkkk k k kx x x x yx x x x???????? k和 線 性 組 合 得 到 ， 其 系 數(shù) 分 別 為 y 及11( ) ( ) ( )k k k kx y l x y l x????1即 L也是線性插值多項(xiàng)式 1( ) 1( ) 0kkkklxlx???111( ) 0( ) 1kkkklxlx?????1( ) ( )kkl x l x?和 線 性 無 關(guān)稱為線性插值基函數(shù) 11111( ) (kk kkk k k kx x x xL x y yx x x x???????? 兩 點(diǎn) 式 ）n=2的情況，假定插值節(jié)點(diǎn)為 112, , , ( )( ) ( 1 , , 1 )k k kjjx x x xL x y j k k k??? ? ? ?2要 求 一 個 二 次 插 值 多 項(xiàng) 式 L ， 使 它 滿 足2 1 1( ) , ) , , ) , , )k k ky L x y y y??? k 1 k k + 1在 幾 何 上 就 是 通 過 三 點(diǎn) ( x ( x ( x 的 拋 物 線為了求出 L2(x)的表達(dá)式，可采用基函數(shù)方法 11k k kl l l??此 時 基 函 數(shù) ， ， 是 二 次 函 數(shù) ， 且 在 節(jié) 點(diǎn) 上 滿 足 條 件1 1 11 1 1( ) 1 ( ) 0( ) 1 ( ) 0( ) 1 ( ) 0k k k jk k k jk k k jl x l xl x l xl x l x? ? ?? ? ??????? ， 　 (j=k,k+1) ， 　 (j=k1,k+1) ， 　 (j=k1,k)1 1 1 1( ) , ( ) ( ) 0k k k k kl x l x l x? ? ? ???如 求 ： 因 為11( ) ( ) ( )k k kl x A x x x x??? ? ? ?可 以 表 示 為111111( ) 1( ) ( )kkkk k kl x Ax x x x?????? ??? ???11111( ) ( )()( ) ( )kkkkk k kx x x xlxx x x x???????????同理 1 1 111 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )( ) , ( )( ) ( ) ( ) ( )k k k kkkk k k k k k k kx x x x x x x xl x l xx x x x x x x x? ? ??? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?線性無關(guān)，作為二次插值基函數(shù) 得到二次插值多項(xiàng)式 2 1 1 1 12( ) ( ) ( ) ( )( ) ( 1 , , 1 )k k k k k kjjL x y l x y l x y l xL x y j k k k? ? ? ?? ? ?? ? ? ?顯 然 它 滿 足考慮通過 n+1個節(jié)點(diǎn) 01 ()( ) ( 0 , 1 )njjx x x n xx y j n????nn… … 的 次 插 值 多 項(xiàng) 式 L ，要 滿 足 條 件 L? ……… ()xn如 何 構(gòu) 造 L上的一組節(jié)點(diǎn)為區(qū)間如果 ],[210 babxxxxa n ?????? ?njxln j ,2,1,0),( ??次多項(xiàng)式我們作一組??? ??? njii ijixxxx0 )()( nj ,2,1,0 ??n+1次多項(xiàng)式 )())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl?????????????????????? )(1 jn x?則 )())(())(( 1110 njjjjjjj xxxxxxxxxx ????? ?? ??)())(( 10 nxxxxxx ??? ??? )(1 xn?令)())(())(()())(())(()(11101110njjjjjjjnjjj xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxl???????????????????nj ,2,1,0 ??且 )(ij xl??????jiji01 nji ,2,1,0, ??線性無關(guān)顯然 )(,),(),(),( 210 xlxlxlxl n?(請同學(xué)們思考 ) ))(()(11jjnnxxxx??? ????從而 n ? 1 希望找到 li(x)， i = 0, …, n 使得 li(xj)=?ij ；然后令 ? ? ? n i i i n y x l x P 0 ) ( ) ( ，則顯然有 Pn(xi) = yi 。劉焯將等距節(jié)點(diǎn)的二次插值應(yīng)用于天文計(jì)算。 ? 插值理論卻是在 17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來的， Newton插值公式理論是當(dāng)時的重要成果。 li(x) 每個 li 有 n 個根 x0 … xi … xn ? ? ? ? ? ? ? ? n j j ? i j i n i i i x x C x x x x x x C x l 0 0 ) ( ) )...( )...( ( ) ( ? ? ? ? j ? i j i i i i x x C x l ) ( 1 1 ) ( ??? ??? njij jiji xxxxxl0)()()(??? niiin yxlxL0)()(Lagrange Polynomial 與 有關(guān)，而與 無關(guān) 節(jié)點(diǎn) f 例 1: 15)2 2 5(,13)1 6 9(,12)1 4 4()( ??? fffxf 滿足已知.)175(,)( 的近似值并求插值多項(xiàng)式的二次作 fL a g r a n g exf解 : 225,169,144210 ??? xxx設(shè))(0 xl插值基函數(shù)為的二次則 L a g r a n g exf )())(())((202221xxxxxxxx?????2 0 25)225)(169( ??? xx)(1 xl))(())((210120xxxxxxxx?????1 4 00)225)(144(???? xx)(2 xl))(())((120210xxxxxxxx?????4 5 36)169)(144( ??? xx15,13,12 210 ??? yyy插值多項(xiàng)式為的二次因此 L a g r a n g exf )()()()()( 2211002 xlyxlyxlyxL ???且 )175(f )175(2L?)1 7 5(15)1 7 5(13)1 7 5(12 210 lll ???731 5 82 3 ?在例 1中 ,如果只給出兩個節(jié)點(diǎn) 169和 225,也可以作插值 多項(xiàng)式 ,即 1次 Lagrange插值多項(xiàng)式 ,有兩個插值基函數(shù) , 這種插值方法稱為 Lagrange線性插值 ,也可以在 n+1個 節(jié)點(diǎn)中取相鄰的兩個節(jié)點(diǎn)作線性插值 ? 1 7 5 1 3 . 2 2 8 7 5 6 5 5 5 3 2 2 9 5 2 . . .?例 2. ).1 7 5(1 fL a g r a n g e 中的線性插值多項(xiàng)式求例用之間與在由于插值點(diǎn) 2 2 51 6 91 7 5 21 ??? xxx解 : 為插值節(jié)點(diǎn)與因此取 225169 21 ?? xx)(1 xl212xxxx???56225??? x )(2 xl121xxxx???56169?? xLagrange插值基函數(shù)為 Lagrange線性插值多項(xiàng)式為 )()()( 22111 xlyxlyxL ??562 2 513???? x561 6 915 ??? x)175(f562 2 51 7 513????5616917515 ????所以 Lagrange插值多項(xiàng)式的缺點(diǎn)： 插值基函數(shù)計(jì)算復(fù)雜 高次插值的精度不一定高 高次插值通常優(yōu)于低次插值 ? 1 7 5 1 3 . 2 2 8 7 5 6 5 5 5 3 2 2 9 5 2 . . .?但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿 …… 三、插值余項(xiàng) Remainder 插值的從上節(jié)可知 L a g r a n g exfy )(, ????njjjn xlyxL0)()(滿足 nixfxLiin ,1,0)()( ???],[ bax ??但 )()( xfxL n ? 不會完全成立 因此 ,插值多項(xiàng)式存在著截?cái)嗾`差 ,那么我們怎樣估 計(jì)這個截?cái)嗾`差呢？ )()(],[ xPxfba n的插值多項(xiàng)式為上假設(shè)在區(qū)間)()()( xPxfxR nn ??令 上顯然在插值節(jié)點(diǎn)為 ),1,0( nix i ??)()()( iniin xPxfxR ?? ni ,1,0,0 ???個零點(diǎn)上至少有在因此 1],[)( ?nbaxR n)()()( 1 xxKxR nn ?? ?設(shè) )())(()( 101 nn xxxxxxx ????? ?? 為待定函數(shù))( xK其中 )()()()()( 1 xxKxPxfxR nnn ???? ?)()()()( 1 xxKxPxf nn ??? ?0?)()()()()( 1 txKtPtft nn ???? ??若引入輔助函數(shù))( x?則有 0?的區(qū)分與注意 xt)( ix?且)()()( 1 inin xxKxR ??? ?0?即個零點(diǎn)上至少有在區(qū)間若令因此 ,2],[)(, ?? nbatxx i ?,0)( ?x?ni ,1,0 ??nix i ,2,1,0,0)( ????也可微則可微因此若為多項(xiàng)式和由于 )(,)(,)()( 1 txfxxP nn ?? ?)()()()( 1 xxKxPxf nn ???? ?)()()()( 1 inini xxKxPxf ???? ?近似函數(shù) 誤差 根據(jù) Rolle定理 , 個零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 1),()( ?? nbat?再由 Rolle定理 , 個零點(diǎn)上有至少在區(qū)間 nbat ),()(? ??依此類推 階導(dǎo)數(shù)為零的使得內(nèi)至少有一個點(diǎn)在區(qū)間 1)(,),( ?ntba ??0)()1( ?? ?? n)()1( tn??)()()()()( 1 txKtPtft nn ???? ??)()()()( )1( 1)1()1( txKtPtf nnnnn ???? ??? ?由于 )()()()()( )1( 1)1()1()1( ?????? ????? ??? nnnnnn xKPf因此 )!1()()()1( ???? ? nxKf n ? 0?39。39。2 0 1 2 0 21( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ,6R x f x x x x x x x x??? ? ? ? ?2n ? 時 線 性 插 值 余 項(xiàng) 為余項(xiàng)表達(dá)式只有在 f(x)的高階導(dǎo)數(shù)存在時才能應(yīng)用。 ix149ix1231[ , ]iif x x ?21 0 33 33 341 .? ??32 0294 .? ??12[ , , ]i i if x x x??0 2 0 3 3 3 3 3 0 0 1 6 6 791.. .? ???7解： 從而得二階牛頓基本差商公式為 2 1 0 3 3 3 3 3 1 0 0 1 6 6 7 1 4( ) . ( ) . ( ) ( )P x x x x? ? ? ? ? ?2 7 2 6 9 9 9 2( ) . .P ?因此計(jì)算得 的近似值為 7二、代數(shù)插值多項(xiàng)式的存在 唯一性 上的代數(shù)插值多項(xiàng)式為在區(qū)間設(shè)函數(shù) ],[)( baxfy ?nnn xaxaxaaxP ????? ?2210)(且滿足 niyxP iin ,2,1,0)( ???(2) (3) 滿足線性方程組的系數(shù)即多項(xiàng)式 nn aaaaxP ,)( 210 ?00202022 yxaxaxaa nn ????? ?11212110 yxaxaxaa nn ????? ?nnnnnn yxaxa