【正文】 酉變換。 (31) (32) 圖 像 的 變 換 一 、 若把一個一維輸入信號作一維傅立葉變換 ， 該信號就被變換到頻域上的一個信號 ， 即得到了構(gòu)成該輸入信號的頻譜 ， 頻譜反映了該輸入信號由哪些頻率構(gòu)成 。 在實際應(yīng)用中 ， 這些條件一般總是可以滿足的 。 設(shè) {f(x)|f(0), f(1), f(2), …, f(N1)}為一維信號 f(x)的 N個抽樣， 其離散傅立葉變換對為 圖 像 的 變 換 NuxjNxNuxjNxeuFNxfuFFexfuFxfF/2101/210)(1)()]([)()()]([?????????????? （ 37) (38) 式中： x， u=0， 1， 2， …, N－ 1。式 (311)也可表示成指數(shù)形式： F(u)=|F(u) |ejφ(u) (712) 其中 )()(ar c t an)()()(|)(|22uRuIuuIuRuF????(313) (314) 圖 像 的 變 換 通常稱 |F(u) |為 f(x)的頻譜或傅立葉幅度譜 ， φ(u)為 f(x)的相位譜 。 二維離散函數(shù)的傅立葉頻譜、 相位譜和能量譜分別為 MN/1),(),(),(),(),(a r c t a n),(),(),(|),(|2222vuIvuRvuEvuRvuIvuvuIvuRvuF??????(318) (319) (320) 式中， R(u, v)和 I(u, v)分別是F(u, v)的實部和虛部。 圖 像 的 變 換 ? 空間位移 002 ( )00( , ) ( , )u x v yjMNf x x y y F u v e ???? ? ?? 平移性質(zhì) 002 ( )00( , ) ( , )u x v yjMNf x y e F u u v v? ? ? ? ?頻率位移 圖像中心化 0 2Mu ?0 2Nv ?( , ) ( 1 ) ( , )22xy NMf x y F u v?? ? ? ?圖 像 的 變 換 只要將 f(x,y)乘以 (1)x+y,再進行 DFT，即可將圖像頻譜原點移動到圖像中心（ M/2,N/2) 原圖像 無平移的傅立葉頻譜 平移后的傅立葉頻譜 圖 34 傅立葉平移頻譜 圖 像 的 變 換 ? 周期性： ( , ) ( , ) ( , ) ( , )F u v F u a M v F u v b N F u a M v b N? ? ? ? ? ? ?( , ) ( , ) ( , ) ( , )f x y f x a M y F x y b N f x a M y b N? ? ? ? ? ? ?? 共軛對稱性： *( , ) ( , )F u v F u v? ? ?| ( , ) | | ( , ) |F u v F u v? ? ?? 旋轉(zhuǎn)不變性 00( , ) ( , )f r F? ? ? ? ???圖 像 的 變 換 由旋轉(zhuǎn)不變性可知，如果時域中離散函數(shù)旋轉(zhuǎn) θ0角度，則在變換域中該離散傅立葉變換函數(shù)也將旋轉(zhuǎn)同樣的角度。 四 快速傅立葉變換 ? ? ? ?? ?21022112lguxNjNxnF u f x eND F T N N NNF F T N N????????計算復(fù)雜度= 次乘法+ 次加法對于 冪時有快速算法計算復(fù)雜度=圖 像 的 變 換 2 ( )[ ( , ) ] ( , ) ( , ) j u x v yfF f x y F u v x y e d x d y????????????? ??(3－ 21) 1 2 ( )[ ( , ) ] ( , ) ( , ) j u x v yFF F u v f x y u v e d u d v????????????? ??(3－ 22) 例如 :一幅 M N的圖像要進行 DFT，需要進行 M2N2次復(fù)數(shù)乘法， MN(M1)(N1)次復(fù)數(shù)加法。 1965年 Cooly 和 Tukey提出逐次加倍的 FFT，要求 N是 2的整數(shù)次冪 。且 W具有對稱性； ????????????????????????????????????????????????????? ???????????????????????)1()1()0()1()1()0()1()1()1(2)1(1)1(00)1(02010)1(0202200)1(020220NfffWWWWWWWWWWWWWWWNFFFNNNNNNNN???????圖 像 的 變 換 222 1NN jNWe??? ? ?22 *NNuxu x u xW W W W? ? ? ?可以進一步減少工作量。 設(shè) N為 2的正整數(shù)次冪， 即 ?,2,12 ?? nn n如令 M為正整數(shù)，且 N=2M 圖 像 的 變 換 離散傅立葉變換可改寫成如下形式 ： ??? ???????????10)12(2)2(2101202 )12()2()()(MxxuMxuMMxMxuxM WxfWxfWxfuF由旋轉(zhuǎn)因子 W的定義可知 uxMuxM WW ?22uMuxMMxMxuxM WWxfWxfuF 21010)12()2()( ????????? 現(xiàn)定義 1,1,0,)12()(1,1,0,)2()(1010?????????????MxuWxfuFMxuWxfuFMxuxMoMxuxMe??圖 像 的 變 換 )()()( 2 uFWuFuF ouMe ?? 進一步考慮 W的對稱性和周期性可知 ， 于是 uMMuM WW ??uMMuM WW 22 ???)()()( 2 uFWuFMuF ou Me ???由此，可將一個 N點的離散傅立葉變換分解成兩個 N／ 2短序列的離散傅立葉變換，即分解為偶數(shù)和奇數(shù)序列的離散傅立葉變換 Fe(u)和 Fo(u) 。線旁的 W18和－ W18為加權(quán)系數(shù)，定義由 F(1)、 F(5)、 Fe(1)和 Fo(1)所構(gòu)成的結(jié)構(gòu)為蝶形運算單元 , 其表示的運算為 ?????????)1()1()5()1()1()1(1818oeoeFWFFFWFF圖 像 的 變 換 蝶形運算單元 Fe( 1 ) F ( 1 )F ( 5 )Fo( 1 )18W18W－圖 像 的 變 換 由于 Fe(u)和 Fo(u)都是 4點的 DFT，因此，如果對它們再按照奇偶進行分組， ?????????????????)1()1()3()0()0()2()1()1()1()0()0()0(28082808eoeeeeoeeeeoeeeeoeeeFWFFFWFFFWFFFWFF?????????????????)1()1()3()0()0()2()1()1()1()0()0()0(28082808oooeooooeooooeooooeoFWFFFWFFFWFFFWFF（ 3－ 24a） （ 3－ 24b） 圖 像 的 變 換 4點 DFT分解為 2點 DFT的蝶形流程圖 Fee( 0 )Fe o( 1 )08W28W－Fee( 1 )Fe o( 0 )Fe( 0 )Fe( 1 )Fe( 2 )Fe( 3 )28W08W－Foe( 0 )Fo o( 1 )08W28W－Foe( 1 )Fo o( 0 )Fo( 0 )Fo( 1 )Fo( 2 )Fo( 3 )28W08W－圖 像 的 變 換 8點 DFT的蝶形流程圖 Fee( 0 )Fe o( 1 )08W28W－Fee( 1 )Fe o( 0 )Fe( 0 )Fe( 1 )Fe( 2 )Fe( 3 )28W08W－Foe( 0 )Fo o( 1 )08W28W－Foe( 1 )Fo o( 0 )Fo( 0 )Fo( 1 )Fo( 2 )Fo( 3 )28W08W－f ( 0 )f ( 4 )08W08W－f ( 2 )f ( 6 )08W08W－f ( 1 )f ( 5 )08W08W－f ( 3 )f ( 7 )08W08W－08W18W28W38W08W－18W－28W－38W－F ( 0 )F ( 1 )F ( 2 )F ( 3 )F ( 4 )F ( 5 )F ( 6 )F ( 7 )圖 像 的 變 換 8點 DFT逐級分解框圖 第 一 級N / 4 點D F Tf ( 0 )f ( 4 )N / 4 點D F Tf ( 2 )f ( 6 )N / 2 點D F TN / 4 點D F Tf ( 1 )f ( 5 )N / 4 點D F Tf ( 3 )f ( 7 )N / 2 點D F T第 二 級N 點D F T第 三 級F ( 0 )F ( 1 )F ( 2 )F ( 3 )F ( 4 )F ( 5 )F ( 6 )F ( 7 )圖 像 的 變 換 表 32 自然順序與碼位倒序（ N=8） 圖 像 的 變 換 上述 FFT是將 f(x)序列按 x的奇偶進行分組計算的 ， 稱之為時間抽選 FFT。0 ,1 , 2 , , 1.MNj ux M v y NxyMNj ux M v y NuvF u v f x y eMNuMvNf x y F u v exMyNMN????????????????????????????容易將一維離散傅立葉變換推廣到二維情況式中：式中：在數(shù)字圖象處理中，圖象一般取方形，即圖 像 的 變 換 五、 MATLAB中快速傅立葉變換的實現(xiàn) ? MATLAB中，矩陣函數(shù)的下標(biāo)是從 1開始，因此F(1,1)代表 F(0,0)， f(1,1)代表 f(0,0) ? MATLAB中提供以下圖像處理函數(shù) fft2 用來計算快速傅立葉變換，其格式為： F=fft2(f) F=fft2(f,m,n) 截去或補充 0元素，使圖像的大小為 m n，然后進行 fft。 Figure。 mesh(freqz2(h))。為了分析方便，采用換位方法