【正文】 gkm??? ? ?當(dāng)物塊碰上彈簧時(shí)，取時(shí)間 t=0，作為振動(dòng)的起點(diǎn) 0 0 0N / 30s i nm / 3200???????????? ?x20 2 2 9 . 8 m / s 0 . 1 m 1 . 4 m / sv g h? ? ? ? ?22 00 203 5 .1vAx ?? ? ? mm 000a r c t a n 0 . 0 8 7 r a dxv?? ? ? ?運(yùn)動(dòng)方程為 mm)08 i n( ?? tx例 4－ 2 已知：如圖所示無重彈性梁，當(dāng)中部放置質(zhì)量 m的物塊時(shí)， 其靜撓度為 2mm， 若將此物塊在梁未變形位置處 無初速釋放。 （ 2）彈簧串聯(lián) 1st1 kmg??22st kmg??兩個(gè)彈簧總的靜伸長(zhǎng) )11(212st1stst kkmg ???? ???若設(shè)串聯(lián)彈簧系統(tǒng)的等效彈簧剛度系數(shù)為 eqk則有 eqst / kmg??比較上面兩式得 21eq111kkk ?? 2121eq kkkkk??固有頻率為 )( 2121eq0 kkmkkmk????當(dāng)兩個(gè)彈簧串聯(lián)時(shí)，其等效彈簧剛度系數(shù)的倒數(shù) 等于兩個(gè)彈簧剛度系數(shù)倒數(shù)的和。 167。第四章 機(jī)械振動(dòng)基礎(chǔ) 機(jī)械振動(dòng)的特點(diǎn)：圍繞其平衡位置往復(fù)運(yùn)動(dòng)。 4－ 1 單自由度系統(tǒng)的自由振動(dòng) 0l設(shè)彈簧原長(zhǎng)為 gmP ?? ?在重力 的作用下 剛度系數(shù)為 k st?彈簧的變形為 這一位置為平衡位置 稱為靜變形 st /Pk? ?取重物的平衡位置點(diǎn) O為坐標(biāo)原點(diǎn) st()F k k x??? ? ? ? ?其運(yùn)動(dòng)微分方程為 取 x 軸的正向鉛直向下 則 2st2d ()dxm P k xt ?? ? ?kxtxm ??22ddst /Pk? ?上式表明： 物體偏離平衡位置于坐標(biāo) x處將受到與偏離距離成正 比而與偏離方向相反的合力 恢復(fù)力 只在恢復(fù)力作用下維持的振動(dòng)稱為 無阻尼自由振動(dòng) mk?20?0dd 2022?? xtx ?－－ 無阻尼自由振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 kxtxm ??22dd其解具有如下形式 rtex ?其中 r為待定常數(shù) 本征方程 0202 ?? ?r本征方程的兩個(gè)根為 0201 ii ?? ???? rr1r 和 2r 是兩個(gè)共軛虛根 微分方程的解為 tCtCx 0201 s i nc o s ?? ??其中 和 是積分常數(shù)， 1C 2C由運(yùn)動(dòng)的起始條件確定 令： 212221 t a n CCCCA ??? ?)s in ( 0 ?? ?? tAx無阻尼自由振動(dòng)是簡(jiǎn)諧振動(dòng) （ 1）固有頻率 －－ 周期振動(dòng) 若運(yùn)動(dòng)規(guī)律 x( t ) 可以寫為 )()( Ttxtx ??T為常數(shù)－－ 周期 由式 )s in (0 ?? ?? tAx00[ ( ) ] ( ) 2 πt T t? ? ? ?? ? ? ? ?自由振動(dòng)的周期為 02πT??012 π 2 π fT? ??其中 －－振動(dòng)的 頻率 ，表示每秒鐘的振動(dòng)次數(shù)。 這一結(jié)論也可以推廣到多個(gè)彈簧串聯(lián)的情形 圖為一扭振系統(tǒng) 運(yùn)動(dòng)微分方程為 ?? tO ktJ ??22dd令 OtJk?20?則上式可變?yōu)? 0dd 2022?? ???t例 4－ 1 已知：質(zhì)量為 m＝ 。 求：系統(tǒng)的振動(dòng)規(guī)律。 求：此系統(tǒng)微小振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)微分方程及振動(dòng)固有頻率。 解： 以系統(tǒng)平衡時(shí)重物的位置為原點(diǎn)，取 x軸如圖。 已知：如圖振動(dòng)系統(tǒng)中，擺桿 OA對(duì)鉸鏈點(diǎn) O的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 J， 桿的點(diǎn) A和 B各安置一個(gè)彈簧，剛度系數(shù)分別為 和 。 解： 1 ()Ov R r ???rrR /)( ?? ???系統(tǒng)的動(dòng)能為 1122 2 2 2221 1 1 1 ( )[ ( ) ] ( ) [ ]2 2 2 2 23()4OOm r R rT m v J m R rrmRr?????? ? ? ? ???系統(tǒng)的勢(shì)能為 2s i n)(2)c o s1)((2 ?? rRmgrRmgV ?????當(dāng)圓柱體作微振動(dòng)時(shí)， 可認(rèn)為 22s in?? ?2)(21 ?rRmgV ??設(shè)系統(tǒng)作自由振動(dòng)時(shí) θ的變化規(guī)律為 )s in (0 ??? ?? tA則系統(tǒng)的最大動(dòng)能 2202m a x )(43 ArRmT ???系統(tǒng)的最大勢(shì)能 2m a x )(21 ArRmgV ??由機(jī)械守恒定律 有 m axm ax VT ?解得系統(tǒng)的固有頻率為 )(320 rRg??? 167。 一般的機(jī)械振動(dòng)系統(tǒng) 彈性元件（ k） 慣性元件（ m） 阻尼元件（ c） 如以平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)， 在建立此系統(tǒng)的振動(dòng)微分 方程時(shí)可以不再計(jì)入重力 的作用。 定義：質(zhì)點(diǎn)從一個(gè)最大偏離位置到下一個(gè)最大偏離位置 所需要的時(shí)間稱為衰減振動(dòng)的 周期 ， 記為 dT2202 π 2 πT? ???? ?d d令 22 0002 π 2 π11 ( )T? ???????dζmkc2ζ 0 ?? ?? ζ 稱為 阻尼比 2d ζ1 ?? TT 2d ζ1 ?? ff 20d ζ1 ?? ??設(shè)在某瞬時(shí) t， 振動(dòng)達(dá)到的最大偏離值為 A， e itiAA ???經(jīng)過一個(gè)周期 后 dT()1 e itTiAA ???? ? ddd()1e eeiitTitTiA AAA?????????－－ 減縮因數(shù) －－相當(dāng) 振幅 e s i n ( )tx A t? ????? d－－ 對(duì)數(shù)減縮， 反映阻尼的參數(shù)。 已知：如圖彈簧質(zhì)量阻尼系統(tǒng)，其物體質(zhì)量為 ， 彈簧剛度系數(shù) k=2022N/m。 簡(jiǎn)諧激振力是一種典型的周期變化的激振力 )s i n( ?? ?? tHF其中： H稱為激振力的力幅，即激振力的最大值； ω 是激振力的角頻率； ? 是激振力的初相角； 恢復(fù)力 kxF ??e質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)微分方程為 )s i n(dd 22?? ???? tHkxt xmmHhmk ?? ，20?)s i n(dd 2022??? ??? thxt x取物塊的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸向下為正。 當(dāng) ω 趨于 ∞ ， 振幅 b 趨于零。 0?? ?受迫振動(dòng)的振幅隨時(shí)間無限地增大。 已知：如圖表示帶有偏心塊的電動(dòng)機(jī)，固定在一根彈性梁上， 設(shè)電機(jī)的質(zhì)量為 ， 偏心矩為 e， 彈性梁的剛度系數(shù)為 k。 已知：如圖為一測(cè)振儀的簡(jiǎn)圖，其中物塊質(zhì)量為 m， 彈簧剛度系數(shù) k， 測(cè)振儀放在振動(dòng)物體表面， 將隨物體而運(yùn)動(dòng)。 4－ 5 單自由度系統(tǒng)的有阻尼受迫振動(dòng) 選平衡位置 O為坐標(biāo)原點(diǎn)，坐標(biāo)軸鉛直向下 線性恢復(fù)力 eF? kxF ??e粘性阻尼力 dF? txccF ddd ???? ?簡(jiǎn)諧激振力 F? tHF ?s in?質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程 tHtxckxt xm ?s i ndddd 22????令 mk?20? mc??2mHh?thxtxt x ??? s i ndd2dd 2022???－－ 有阻尼受迫振動(dòng)微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式 其解由兩部分組成 21 xxx ??在欠阻尼 的狀態(tài)下有 )( 0?? ?2210e s i n ( )tx A t? ? ? ??? ? ?)s in (2 ?? ?? tbxthxtxt x ??? s i ndd2dd 2022???其中 ε 表示受迫振動(dòng)的相位角落后于激振力的相位角 )c o s (s i n)s i n (c o s])s i n [ (s i n?????????????????thththth0)c o s (]s i n2[)s i n (]c o s)([ 220 ??????? ?????????? thbthb對(duì)任意瞬時(shí) t， 上式都必須是恒等式 0c o s)( 220 ??? ??? hb0s in2 ?? ??? hbthtbtbtb ??????????? s i n)s i n ()c o s (2)s i n ( 202 ???????將上述兩方程聯(lián)立可解出 222220 4)( ???? ??? hb2202t a n???????于是得方程的通解為 220e s i n ( ) s i n ( )tx A t b t? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?其中 A和 θ 為積分常數(shù)，由運(yùn)動(dòng)的初始條件確定。 （ 2）當(dāng) 時(shí))1即(0 ?? s??阻尼增大，振幅下降。并作用一 簡(jiǎn)諧激振力 。 當(dāng) 時(shí) 0???kmclFlcFhb44320000??? ???質(zhì)點(diǎn)的振幅 kmcFlbB40??167。 ?OArA ?設(shè)轉(zhuǎn)軸安裝于圓盤的中點(diǎn)。 4－ 7 隔振 隔振分為 主動(dòng)隔振 和 被動(dòng)隔振 兩類。 減振： 使振動(dòng)物體的振動(dòng)減弱的措施。 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)微分方程為 )()( 11 xxcxxkxm ???? ?????11 xckxkxxcxm ???? ????將 的表達(dá)式代入 1xtdctkdkxxcxm ??? c oss i n ???? ???)s i n( ?? ???? tHkxxcxm ???其中 222 ?ckdH ??kc?? a r c t a n?方程的特解（穩(wěn)態(tài)振動(dòng)）為 )s i n( ?? ?? tbx2222222)( ???cmkckdb????寫成綱量為 1的形式 222222ζ4)1(ζ41sssdb???????其中