【正文】 令證明:給定正整數(shù)k,對任意的正整數(shù)p,成立不等式1解：對任意,所以對任意的，，所以0,令=，所以反證法:設(shè)存在兩個使得,則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立 ，所以+…1 已知數(shù)列滿足，并且（為非零參數(shù)，）．（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當時，證明；當時，證明1 （I）由已知，且若、成等比數(shù)列，則，即。 (Ⅱ) 1證明: （I） 先用數(shù)學歸納法證明，ｎ＝1,2,3,… (i) 當n=1時,由已知顯然結(jié)論成立 (ii) 假設(shè)當n=k時結(jié)論成立,即 因為0x1時,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù) 又f(x)在[0,1]上連續(xù),從而 故n=k+1時,結(jié)論成立 由(i)、(ii)可知，對一切正整數(shù)都成立 又因為時，所以，綜上所述 （II） 設(shè)函數(shù)， 由（I）知，當時，從而所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù) 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0,所以當時，g (x)0成立 于是 故 1已知a1=2，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項；（3） 記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1 1解：（Ⅰ）由已知， ，兩邊取對數(shù)得，即 是公比為2的等比數(shù)列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得（Ⅲ） 又 又 1　設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對于任何，有?。?）求，；（3）求數(shù)列的通項　1　解：（1）據(jù)條件得 ①當時，由，即有，解得　因為為正整數(shù)，故　當時，由，解得，所以?。?）方法一：由，猜想：　下面用數(shù)學歸納法證明　1當，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時由①得因為時，所以　，所以　又，所以　故，即時，成立　由1，2知，對任意，?。?）方法二：由，猜想：　下面用數(shù)學歸納法證明　1當，時，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時由①得即　　　　　?、谟散谧笫剑?，即，因為兩端為整數(shù)，則　于是　　　?、塾钟散谟沂?，　則　因為兩端為正整數(shù)，則，所以　又因時，為正整數(shù)，則　　　?、軗?jù)③④，即時，成立　由1，2知，對任意，　 已知函數(shù)f(x)=x3－x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0 （I）證明：f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)；設(shè)x1=0, xn+1=f(xn)。a2（2） 證：據(jù)1176。a2顯然，左端每個因式都是正數(shù)，先證明，對每個n206。式：（i） n＝1時，3176?！?－（）〕N*，3176。式成立，從而結(jié)論成立 2 已知有窮數(shù)列共有2項（整數(shù)≥2），首項＝2 設(shè)該數(shù)列的前項和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數(shù)＞1 （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若＝2，數(shù)列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數(shù)列的通項公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值 2(1) [證明] 當n=1時,a2=2a,則=a； 2≤n≤2k－1時, an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列 (2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,…,2k) （3）設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當n≤k時, bn； 當n≥k+1時, bn 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) == 當≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴當k=2,3,4,5,6,7時,原不等式成立 2已知數(shù)列中，?。á瘢┣蟮耐椆?；（Ⅱ）若數(shù)列中，2解：（Ⅰ）由題設(shè)：，　所以，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，即的通項公式為，?。á颍┯脭?shù)學歸納法證明?。á。┊敃r，因，所以，結(jié)論成立　（ⅱ）假設(shè)當時，結(jié)論成立，即，也即　當時，又，所以　　　也就是說，當時，結(jié)論成立　根據(jù)（ⅰ）和（ⅱ）知，　2在數(shù)列中，其中 （Ⅰ）求數(shù)列的通項公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項和；（Ⅲ）證明存在，使得對任意均成立 2 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識與基本方法，考查歸納、推理、運算及靈活運用數(shù)學知識分析問題和解決問題的能力 滿分14分 （Ⅰ）解法一：， 由此可猜想出數(shù)列的通項公式為 以下用數(shù)學歸納法證明 （1）當時，等式成立 （2）假設(shè)當時等式成立，即，那么 這就是說，當時等式也成立 根據(jù)（1）和（2）可知，等式對任何都成立 解法二：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項為0，故，所以數(shù)列的通項公式為 （Ⅱ）解：設(shè)，　　　①　　　　　　　?、诋敃r，①式減去②式，得， 這時數(shù)列的前項和 當時， 這時數(shù)列的前項和 （Ⅲ）證明：通過分析，推測數(shù)列的第一項最大，下面證明： 　　　?、塾芍?，要使③式成立，只要，因為 所以③式成立 因此，存在，使得對任意均成立 2設(shè)數(shù)列滿足為實數(shù)（Ⅰ）證明：對任意成立的充分必要條件是；（Ⅱ）設(shè)，證明：。（－）n－1，于是可得Sn=－要使aSnb對任意正整數(shù)n成立，即a－(λ+18)是否存在實數(shù)λ，使得對任意正整