數(shù)列測(cè)試題答案高考數(shù)學(xué)專項(xiàng)訓(xùn)練-wenkub
2023-01-29 02:23:42 本頁(yè)面
【正文】 令證明:給定正整數(shù)k,對(duì)任意的正整數(shù)p,成立不等式1解：對(duì)任意,所以對(duì)任意的，，所以0,令=，所以反證法:設(shè)存在兩個(gè)使得,則由，得，所以，矛盾，故結(jié)論成立 ，所以+…1 已知數(shù)列滿足，并且（為非零參數(shù)，）．（1）若成等比數(shù)列，求參數(shù)的值；（2）當(dāng)時(shí)，證明；當(dāng)時(shí)，證明1 （I）由已知，且若、成等比數(shù)列，則，即。 (Ⅱ) 1證明: （I） 先用數(shù)學(xué)歸納法證明，ｎ＝1,2,3,… (i) 當(dāng)n=1時(shí),由已知顯然結(jié)論成立 (ii) 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)結(jié)論成立,即 因?yàn)?x1時(shí),所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù) 又f(x)在[0,1]上連續(xù),從而 故n=k+1時(shí),結(jié)論成立 由(i)、(ii)可知，對(duì)一切正整數(shù)都成立 又因?yàn)闀r(shí)，所以，綜上所述 （II） 設(shè)函數(shù)， 由（I）知，當(dāng)時(shí)，從而所以g (x)在(0,1)上是增函數(shù) 又g (x)在[0,1]上連續(xù),且g (0)=0,所以當(dāng)時(shí)，g (x)0成立 于是 故 1已知a1=2，點(diǎn)(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，…（1） 證明數(shù)列｛lg(1+an)｝是等比數(shù)列；（2） 設(shè)Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an)，求Tn及數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)；（3） 記bn=，求｛bn｝數(shù)列的前項(xiàng)和Sn，并證明Sn+=1 1解：（Ⅰ）由已知， ，兩邊取對(duì)數(shù)得，即 是公比為2的等比數(shù)列 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 （*） = 由（*）式得（Ⅲ） 又 又 1 設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足：，且對(duì)于任何，有?。?）求，；（3）求數(shù)列的通項(xiàng) 1 解：（1）據(jù)條件得 ①當(dāng)時(shí)，由，即有，解得 因?yàn)闉檎麛?shù)，故 當(dāng)時(shí)，由，解得，所以?。?）方法一：由，猜想： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由①得因?yàn)闀r(shí)，所以 ，所以 又，所以 故，即時(shí)，成立 由1，2知，對(duì)任意， （2）方法二：由，猜想： 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明 1當(dāng)，時(shí)，由（1）知均成立；2假設(shè)成立，則，則時(shí)由①得即 ?、谟散谧笫?，得，即，因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則 于是 ?、塾钟散谟沂?， 則 因?yàn)閮啥藶檎麛?shù)，則，所以 又因時(shí)，為正整數(shù)，則 ?、軗?jù)③④，即時(shí)，成立 由1，2知，對(duì)任意， 已知函數(shù)f(x)=x3－x2+ + , 且存在x0∈(0, ) ,使f(x0)=x0 （I）證明：f(x)是R上的單調(diào)增函數(shù)；設(shè)x1=0, xn+1=f(xn)。a2（2） 證：據(jù)1176。a2顯然，左端每個(gè)因式都是正數(shù)，先證明，對(duì)每個(gè)n206。式：（i） n＝1時(shí)，3176?！?－（）〕N*，3176。式成立，從而結(jié)論成立 2 已知有窮數(shù)列共有2項(xiàng)（整數(shù)≥2），首項(xiàng)＝2 設(shè)該數(shù)列的前項(xiàng)和為，且＝＋2（＝1，2，┅，2－1），其中常數(shù)＞1 （1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若＝2，數(shù)列滿足＝（＝1，2，┅，2），求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3）若（2）中的數(shù)列滿足不等式|－|＋|－|＋┅＋|－|＋|－|≤4，求的值 2(1) [證明] 當(dāng)n=1時(shí),a2=2a,則=a； 2≤n≤2k－1時(shí), an+1=(a－1) Sn+2, an=(a－1) Sn－1+2, an+1－an=(a－1) an, ∴=a, ∴數(shù)列{an}是等比數(shù)列 (2) 解：由(1) 得an=2a, ∴a1a2…an=2a=2a=2, bn=(n=1,2,…,2k) （3）設(shè)bn≤,解得n≤k+,又n是正整數(shù),于是當(dāng)n≤k時(shí), bn； 當(dāng)n≥k+1時(shí), bn 原式=(－b1)+(－b2)+…+(－bk)+(bk+1－)+…+(b2k－) =(bk+1+…+b2k)－(b1+…+bk) == 當(dāng)≤4,得k2－8k+4≤0, 4－2≤k≤4+2,又k≥2,∴當(dāng)k=2,3,4,5,6,7時(shí),原不等式成立 2已知數(shù)列中， （Ⅰ）求的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列中，2解：（Ⅰ）由題設(shè)：， 所以，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即的通項(xiàng)公式為，?。á颍┯脭?shù)學(xué)歸納法證明?。á。┊?dāng)時(shí)，因，所以，結(jié)論成立?。áⅲ┘僭O(shè)當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立，即，也即 當(dāng)時(shí)，又，所以 也就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立 根據(jù)（?。┖停áⅲ┲?在數(shù)列中，其中 （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）證明存在，使得對(duì)任意均成立 2 本小題以數(shù)列的遞推關(guān)系式為載體，主要考查等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式、數(shù)列求和、不等式的證明等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查歸納、推理、運(yùn)算及靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力 滿分14分 （Ⅰ）解法一：， 由此可猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式為 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明 （1）當(dāng)時(shí)，等式成立 （2）假設(shè)當(dāng)時(shí)等式成立，即，那么 這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立 根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何都成立 解法二：由，可得，所以為等差數(shù)列，其公差為1，首項(xiàng)為0，故，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為 （Ⅱ）解：設(shè)， ?、佟 、诋?dāng)時(shí)，①式減去②式，得， 這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和 當(dāng)時(shí)， 這時(shí)數(shù)列的前項(xiàng)和 （Ⅲ）證明：通過(guò)分析，推測(cè)數(shù)列的第一項(xiàng)最大，下面證明： ?、塾芍?，要使③式成立，只要，因?yàn)? 所以③式成立 因此，存在，使得對(duì)任意均成立 2設(shè)數(shù)列滿足為實(shí)數(shù)（Ⅰ）證明：對(duì)任意成立的充分必要條件是；（Ⅱ）設(shè)，證明：。（－）n－1，于是可得Sn=－要使aSnb對(duì)任意正整數(shù)n成立，即a－(λ+18)是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整
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