【正文】 大量不確定因素和外界干擾，目前對(duì)不確定倒立擺系統(tǒng)的魯棒控制問題進(jìn)行了研究并取得了一系列成果。但對(duì)于像非線性較強(qiáng)、模型較復(fù)雜的多變量系統(tǒng)（三、四級(jí)以及多級(jí)倒立擺）線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法的局限性就十分明顯，這就要求采用更有效的方法來進(jìn)行合理的設(shè)計(jì)。 事實(shí)上 ,人們一直在試圖尋找不同的控制方法來實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制 ,以便檢查或說明該方法對(duì)嚴(yán)重非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的控制能力。它不但是驗(yàn)證現(xiàn)代控制理論方法的典型實(shí)驗(yàn)裝置，而且其控制方法和思路對(duì)處理一般工業(yè)過程亦有廣泛的用途。倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的非線性、強(qiáng)耦合、多變量和不穩(wěn)定系統(tǒng)，作為控制系統(tǒng)的被控對(duì)象，它是一個(gè)理想的教學(xué)實(shí)驗(yàn)設(shè)備，許多抽象的控制概念都可以通過倒立擺直觀地表現(xiàn)出來。本文 以一 級(jí) 倒立擺為被控對(duì)象，用 經(jīng) 典控制理論設(shè)計(jì)控制器（ PID 控制器）的設(shè)計(jì)方法和用現(xiàn)代控制理論設(shè)計(jì)控制器（極點(diǎn)配置）的設(shè)計(jì)方法，通過 MATLAB 仿真軟件的方法來實(shí)現(xiàn)。倒立擺常規(guī)的控制算法如 LQR 在倒立擺的控制中已被廣泛采用，模糊控制作為一種智能控制的方法，在一定程度上模仿了人的控制，它不需要有準(zhǔn)確的控制對(duì)象模型，作為一種非線性智能控制方 法，已在多變量、時(shí)變、非線性系統(tǒng)的控制中發(fā)揮了重要的作用。 倒立擺的控制方法 （ 1） 線性理論控制方法 將倒立擺系統(tǒng)的非線性模型進(jìn)行近似線性化處理，獲得系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的線性化模型，然后再利用各種線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)方法，得到期望的控制器。 （ 2） 預(yù)測(cè)控制和變結(jié)構(gòu)控制方法 由于線性控制理論與倒立擺系統(tǒng)多變量、非線性之間的矛盾，使人們意識(shí)到針對(duì)多變量、非線性對(duì)象，采用具有非線性特性的多變量控制解決多變量、非線性的必由之路。 MATLAB/Simulink 簡(jiǎn)介 在科學(xué)研究和工程應(yīng)用中，為了克服一般語言對(duì)大量的數(shù)學(xué)運(yùn)算，尤其當(dāng)涉及到矩陣運(yùn)算時(shí)編制程序復(fù)雜、調(diào)試麻煩等困難，美國 Math Works 軟件公司于 1967 年構(gòu)思并開發(fā)了矩陣實(shí)驗(yàn)室（ Matrix Laboratory ,MATLAB）軟件包。 目前，在自動(dòng)控制、圖像處理、語言處理、信號(hào)分析、振動(dòng)原理、優(yōu)化設(shè)計(jì)、時(shí)序分析和系統(tǒng)建模等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。 Simulink 具有適應(yīng)面廣、結(jié)構(gòu)和流程清晰及仿真精細(xì)、貼近實(shí)際、效率高、靈活等優(yōu)點(diǎn)，并基于以上優(yōu)點(diǎn) Simulink 已被廣泛應(yīng)用于控制理論和數(shù)字信號(hào)處理的復(fù)雜仿真和設(shè)計(jì)。為了創(chuàng)建動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型， Simulink 提供了一個(gè)建立模型方塊圖的圖形用戶接口 (GUI) ，這個(gè)創(chuàng)建過程只需單擊和拖動(dòng)鼠標(biāo)操作就能完成，它提供了一種更快捷、直接明了的方式，而且用戶可以立即看到系統(tǒng)的仿真結(jié)果。 構(gòu)架在 Simulink 基礎(chǔ)之上的其他產(chǎn)品擴(kuò)展了 Simulink 多領(lǐng)域建模功能，也提供了用于設(shè)計(jì)、執(zhí)行、驗(yàn)證和確認(rèn)任務(wù)的相應(yīng)工具。 MATLAB 不僅流行于控制界，在生物醫(yī)學(xué)工程、語言處理、圖像信號(hào)處理、雷達(dá)工程、信號(hào)分析，以及計(jì)算機(jī)技術(shù)等行業(yè)中也都廣泛應(yīng)用。 圖 22 一級(jí)倒立擺系統(tǒng)組成框圖 系統(tǒng)是由計(jì)算機(jī)、運(yùn)動(dòng)控制卡、伺服機(jī)構(gòu)、倒立擺本體和光電碼盤幾大部分組成的閉環(huán)系統(tǒng)。 在忽略了空氣阻力和各種摩擦之后，可將直線一級(jí)倒立擺系統(tǒng)抽象成小車和勻質(zhì)桿組成的系統(tǒng)，如圖 31 所示。 圖 32 小車及擺桿受力分析 應(yīng)用 Newton 方法來建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)方程過程如下： 分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 6 NxbFxM ??? ??? (31) 由擺桿水平方向的受力進(jìn)行分析可以得到下面等式： 22 ( sin )dN m x ldt ??? (32) 即： 2c os si nN m x m l m l? ? ? ?? ? ? (33) 把這個(gè)等式代入上式中，就得到系統(tǒng)的第一個(gè)運(yùn)動(dòng)方程： FmlmlxbxmM ????? ???? s i nc o s)( 2?????? (34) 為了推出系統(tǒng)的第二個(gè)運(yùn)動(dòng)方程，我們對(duì)擺桿垂直方向上的合力進(jìn)行分析，可以得到下面方程： 22 ( c o s )dP m g m ldt ?? ? ? (35) 即： 2sin c osP m g m l m l? ? ? ?? ? ? (36) 力矩平衡方程如下： ??? ??INlPl ??? c o ss in (37) 注意：此方程中力矩的方向，由于 ??????? s i ns i n,c o sc o s, ?????? ，因此等式前面有負(fù)號(hào)。 擺桿角度和小車位移的傳遞函數(shù)： ? ?? ? 220 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5s sXs s? ? ? (321) 擺桿角度和小車加速度之間的傳遞函數(shù)為： ? ?? ? 20 .0 2 7 2 50 .0 1 0 2 1 2 5 0 .2 6 7 0 5sVs s? ? ? (322) 擺桿角度和小車所受外界作用力的傳遞函數(shù)： 32( ) 2 .3 5 6 5 5() 0 .0 8 8 3 1 6 7 2 7 .9 1 6 9 2 .3 0 9 4 2ssUs s s s? ? ? ? ? (323) 以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 10 0 1 0 0 00 0. 08 83 16 7 0. 62 93 17 0 0. 88 31 670 0 0 1 00 0. 23 56 55 27 .8 28 5 0 2. 35 65 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (324) 以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程： 0 1 0 0 00 0 0 0 10 0 0 1 00 0 2 9 . 4 0 3x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? (325) 需要說明的是，在 本文 的控制器設(shè)計(jì)和程序中，采用的都是以小車的加速度作為系統(tǒng)的輸入，如果需要采用力矩控制的方法，可以參考以上把外界作用力作為輸入的各式。0 0 0 1。0 1 0 0]。 倒立擺狀態(tài)方程及開環(huán)階躍響應(yīng)也可以采用編寫 M文件的仿真，仿真程序如下： M = 。 g = 。 0 (I+m*l^2)*b/p (m^2*g*l^2)/p 0。 0。 T = 0::5。 axis([0 2 0 100])。 b = 。 q = (M+m)*(I+m*l^2)(m*l)^2。 s = p 。 grid。 圖 41 常規(guī) PID 控制系統(tǒng)圖 PID 控制器是一種線性控制器，它根據(jù)給定值 )(tr 與實(shí)際輸出值 ()yt 構(gòu)成控制偏差 )(te ： ( ) ( ) ( )e t r t y t?? 將偏差的比例 (P)、積分 (I)和微分 (D)通過線性組合構(gòu)成控制量，對(duì)被控對(duì)象進(jìn)行控制，故稱 PID 控制器。 （ 2）積分環(huán)節(jié)：主要用于消除穩(wěn)態(tài)誤差，提高系統(tǒng)的型別。由于 PID 校正使系統(tǒng)在低頻段相位后移，而在中頻段相位前移，因此又稱它為相位滯后 超前校正。 考慮到輸入 0)( ?sr ，結(jié)構(gòu)圖可以很容易地變換成 如圖 43 的系統(tǒng)簡(jiǎn)化圖。 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 17 PID 控制參數(shù)設(shè)定及 MATLAB 仿真 對(duì)于 PID 控制參數(shù)，我們采用以下的方法進(jìn)行設(shè)定。為消除系統(tǒng)的振蕩，增加微分控制參數(shù) DK ，令： 0IK? ， 4DK? ，得到圖 47 仿真結(jié)果 。 圖 49 PID 控制（ 40PK? ， 20IK? ， 10DK ? ） 從上面仿真結(jié)果可以看出，系統(tǒng)可以較好的穩(wěn)定，但由于積分因素的影響，穩(wěn)定時(shí)間明顯增大。 現(xiàn)代控制理論是一種“時(shí)域法”，它引入了“狀態(tài)”的概念，用“狀態(tài)變量”及“狀態(tài)方程”描述系統(tǒng)，從而理論上解決了系統(tǒng)的可控性、可觀測(cè)性及許多復(fù)雜問題的控制問題。而現(xiàn)代控制理論由于采用系統(tǒng)內(nèi)部的狀態(tài)變 量來描述系統(tǒng)的物理特性，因而除了輸出反饋外，還經(jīng)常采用狀態(tài)反饋 ，因?yàn)樗芴峁└嗟男Ｕ畔⒑涂晒┻x擇的自由度，因而使系統(tǒng)容易獲得更為優(yōu)異的性能。 極點(diǎn)配置是通過選擇一個(gè)狀態(tài)反饋矩陣，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)處于期望的位置上。 狀態(tài)空間分析 狀態(tài)反饋閉環(huán)控制系統(tǒng)原理圖如圖 51 所示。 方程解為： 基于 MATLAB 的倒立擺控制系統(tǒng)仿真 22 ? ? ? ? ? ?0A BK tx t e x?? 可以看出，如果系統(tǒng)狀態(tài)完全可控， K 選擇適當(dāng)，對(duì)于任意的初始狀態(tài)，當(dāng) t 趨于無窮時(shí)，都可以使 ??xt 趨于 0。 (5) 需要的狀態(tài)反饋增益矩陣 K 由以下方程確定： ? ? 11 1 2 2 1 1n n n nK a a a a T? ? ? ? ???? ? ? ? ? 極點(diǎn)配置及 MATLAB 仿真 前面我們已經(jīng)得到了直線一級(jí)倒立擺的狀態(tài)空間模型，以小車加速度作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程