線性代數(shù)模擬題word版-wenkub
2023-01-24 02:14:05 本頁(yè)面
【正文】 1 2 5 1 1 1 3 1 31 2 0 02 5 0 000 0 1 3 2 300 0 1 3 1 3AA A AAAAA??????????? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?????????????????????? 四 、證明題 (每小題 5分，共 10分 ) 1設(shè) n 階方陣 A 滿足 ? ?3 0AE??，證明矩陣 A 可逆，并寫(xiě)出 A 逆矩陣的表達(dá)式。 解： 因?yàn)?2, 7AB? ??，所以都可逆，有 2 2 1 1 2 2 1 2 3 1 1 1 5 2( ) ( )1 4 2 5 9 1 9B A B A B A A B B A B B A B? ? ? ??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ?。 1計(jì)算行列式： 4433221100000000ababbaba。 A． a B． 1a C． 1na? D． na 因?yàn)?111 1 1n n nA A A A A A A A A A A??? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 A． nD 中有兩行 (或列 )元素對(duì)應(yīng)成比例 B． nD 中有一行 (或列 )元素全為零 C． nD 中各列元素之和為零 D．以 nD 為系數(shù)行列式的齊次線性方程組有非零解 對(duì)任意同階方陣 ,AB，下列說(shuō)法正確的是 C 。 設(shè)三階方陣 2 0 000 2 3A x y???????可逆，則 ,xy應(yīng)滿足條件 32xy? 。 231 1 1 1 1 2 1 2 1 1 1 3,0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1AA? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?可得 設(shè) A 為 5 階方陣， 5A? ，則 5A? 15n? 。 令 1, 2ij??， (12 35 4) (13 52 4) 1 3 4??? ? ? ?，取正號(hào)。 若將 n 階 行列式 D 的每一個(gè)元素添上負(fù)號(hào)得到新行列式 D ，則 D = ( 1)n D? 。 由矩陣的行列式運(yùn)算法則可知： 15 5 5nnAA ???。 可逆，則行列式不等于零： 2 0 00 2 ( 3 2 ) 0 3 20 2 3A x y x y x y? ? ? ? ? ? ?。 A. 111)( ??? ? BAAB B. BABA ??? C. TTT ABAB ?)( BA? 設(shè) ,AB為同階可逆矩陣， 0?? 為數(shù)，則下列命題中不正確的是 B 。 1矩陣 1 2 1 03 1 0 21 2 2a?????????的秩為 2，則 a = D 。 解： 先按第一行展開(kāi)，再按第三行展開(kāi)，有： 4433221100000000ababbaba= 2 2 2 21 3 3 3 3 1 4 1 4 2 3 2 3441 ( ) ( )a b a ba b a b b a a a b b a a b bab? ? ? ?。 1解矩陣方程 AX B X?? ，求 X ，其中 A =??????????????????????????350211,101111010B。 證明： 因?yàn)?? ? 3 3 2 23 3 0 ( 3 3 )A E A A A E A A A E E? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 從而 2 1 2( 3 3 ) 3 3A A A E E A A A E?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 因?yàn)椋?1 1 1 1 1 1 12 4 4 2 2 8 4A A A A A A A A A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 ? ?1 2 1 2 3 1 2 1 2 31 2 1 2 3 1 1 2 3 2 1 2 3( , 2 , 2 , 2 ) ( , 2 , 2 , 2 )8 , , , ) 8 , , , , , , 8 ( 1 4) 40A B A B? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?。 非齊次線性方程 組有解的定義。 二 、 單項(xiàng)選擇題 (每小題 4 分，共 24 分 ) 對(duì)行列式做 D 種變換不改變行列式的值。 若方陣 nnA? 不可逆，則 A 的列向量中 C 。 1若矩陣 54?A 有一個(gè) 3階子式為 0，則 C 。 解： 11 1 1 2 1 0321 1 3 1 1 1211 2 2 0 5 3Y A CB??? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?。 1寫(xiě)出方程組 1 2 3 41 2 3 41 2 3 4212223x x x xx x x xx x x x? ? ? ???? ? ? ???? ? ? ??的通解。 證明： 因?yàn)榫€性方程組 0?Ax ，當(dāng)秩 rA? 時(shí)，基礎(chǔ)解系為 rn? 個(gè)，由 0),(),( 2121 ??? nn AbAbAbbbbAAB ?? 則有 ),2,1(0 njAb j ??? ，即 B 的列均為 0?Ax 的解，這些列的極大線性無(wú)關(guān)組的向量個(gè)數(shù)≤ ,rn? 即秩 ( rnB ??) ，從而秩 nBA ?? )()( 秩 。 由行列式按行按列展開(kāi)定理可得。 由于1 13 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 01 4 0 2 0 1 0 1 2 0 1 2 1 2 00 0 3 0 0 1 0 0 1 0 0 1? ???? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???。 由于 ( ) 5RA? ，所以 0Ax? 的基礎(chǔ)解系
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