數(shù)值分析牛頓插值法-wenkub
2023-05-25 09:20:08 本頁(yè)面
【正文】 表示成 ,1 ,0xx ? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?共 n+1個(gè)多項(xiàng)式的線性組合 那么，是否可以將這 n+1個(gè)多項(xiàng)式作為插值基函數(shù)呢？ 華長(zhǎng)生制作 3 ,1 ,0xx ? ),)(( 10 xxxx ?? )())(( 110 ???? nxxxxxx ?,?顯然，多項(xiàng)式組 線性無(wú)關(guān)， 因此，可以作為插值基函數(shù) ,ix設(shè)插值節(jié)點(diǎn)為 ( ) , 0 , 1 , ,iif f x i n??函 數(shù) 值 為1,2,1,0,1 ???? ? nixxh iii ?ii hh m a x?nifxP ii ,1,0,)( ???插值條件為)())(())(()()(110102021????????????nn xxxxxxaxxxxaxxaaxP??具有如下形式設(shè)插值多項(xiàng)式 )( xP華長(zhǎng)生制作 4 nifxPxP ii ,1,0,)()( ???應(yīng)滿足插值條件000 )( afxP ??有 )()( 011011 xxaafxP ????00 fa ?01011 xxffa???))(()()( 12022021022 xxxxaxxaafxP ???????12010102022 xxxxffxxffa???????再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜 為此引入差商和差分的概念 華長(zhǎng)生制作 5 一、差商 (均差 ) 定義 1. nifxxfii ,1,0,)( ??處的函數(shù)值為在互異的節(jié)點(diǎn)設(shè)稱 )(],[ jixx ffxxfjijiji ????)(,)( 均差一階差商關(guān)于節(jié)點(diǎn)為 ji xxxf)(],[],[],[ kjixx xxfxxfxxxfjkjikikji ?????的二階差商關(guān)于為 kji xxxxf ,)(依此類推 華長(zhǎng)生制作 6 ],[ 110 kk iiii xxxxf ??階差商的關(guān)于節(jié)點(diǎn)為 kxxxxxf kk iiii ,)( 110 ??],[ 110 kk xxxxf ??差商具有如下性質(zhì) (請(qǐng)同學(xué)們自證 )： 且的線性組合表示可由函數(shù)值階差商的,)(,),(),(],[)()1(10110kkkxfxfxfxxxxfkxf?? ?顯然 kkkkkiiiiiiiiixxxxxxfxxxf??????1210110],[],[ ??kkkkkxxxxxxfxxxf??????1210110 ],[],[ ??華長(zhǎng)生制作 7 ],[ 110 kk xxxxf ???? ?? ?????ki kiiiiiiixxxxxxxxxf0 110 )())(()()(??(2) 差商具有對(duì)稱性 ,即任意調(diào)換節(jié)點(diǎn)的次序 ,差商的值不變 ],[ 210 xxxf ],[ 120 xxxf? ],[ 012 xxxf?如 ,)()3( 10) 的區(qū)間存在時(shí)在包含節(jié)點(diǎn)當(dāng) （ kk xxxxf ?使得之間必存在一點(diǎn)在 , 10 ?kxxx ?],[ 10 kxxxf ?用余項(xiàng)的 相同證明 !)()(kf k ??華長(zhǎng)生制作 8 )()()()()()(4433221100xfxxfxxfxxfxxfxxfxkk四階差商三階差商二階差商一階差商差商的計(jì)算方法 (表格法 ): ],[ 10 xxf],[ 21 xxf],[ 32 xxf],[ 43 xxf],[ 210 xxxf],[ 321 xxxf],[ 432 xxxf],[ 3210 xxxxf],[ 4321 xxxxf],[ 410 xxxf ?規(guī)定函數(shù)值為 零階差商 差商表 華長(zhǎng)生制作 9 xi f[xi] f[xi,xi+1]
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