【正文】 Similarly, by constituting auxiliary function, we change nvariable function into onevariable function and give the proof of four theorems. Check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples. At last, proceed from the differential mean value theorem of twovariable function, we give the expressions of Rolle theorem, Lagrange theorem, Cauchy mean value theorem in plex field and check the availability of the differential mean value theorem by some typical examples at the same time. Keywords: nvariable function。圖中的系數(shù) c 是 p 跟 v 的比例，也就是 u 在 v 軸上的“坐標(biāo)” ． 可以用尺規(guī)作圖來完成投影這個(gè)動(dòng)作， 問題是：如果給定的向量 u 和 v 都是代數(shù)形式的，怎么用代數(shù)的方法求 c ？ 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 6 圖片 1：向量 u 到 v 所在直線的投影 知道 ucv? 這個(gè)向量是“正交”于 v 的，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)就是 ( ) 0u cv Tv??． 馬上就可以得到 c 的表達(dá)式如下 ： TTuvc vv? (1) 如下圖所示， 現(xiàn)在引進(jìn)一組正交基 12{ , }vv ，那么 u 可以展開成以下形式 1 1 2 2u cv c v?? (2) 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 7 圖片 2：向量 u 在正交基 12{ , }vv 上的展開 從圖上來看， (2) 式其實(shí)說的是可以把 u “投影”到 1v 和 2v 這兩個(gè)坐標(biāo)軸上， 1c 和 2c 就是 u 的新“坐標(biāo)” . 問題是：怎么求 1c 和 2c 呢？利用之前關(guān)于投影的討論，可以直接得出答案，直接利用 (1) 式就可以得到如下的表達(dá)式： 111TTuvc vv? ； 222TTuvc vv? ； 如果想把一個(gè)向量在一組正交基上展開，也就是找到這個(gè)向量沿每條新“坐標(biāo)軸”的“坐標(biāo)”，那么我們只要把它分別投影到每條坐標(biāo)軸上就好了，也就是把 (1) 式中的 v 換成新坐標(biāo)軸就好了 . 這些東西跟傅里葉級(jí)數(shù)有什么關(guān)系？給定一個(gè)周期是 21 的周期函數(shù) ?? fx，它的傅里葉級(jí)數(shù)為： ? ? 0 1 c o s s innnn n x n xf x a a bll???? ??? ? ?????? ??4 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 8 其中系數(shù)表達(dá)式如下： ? ?110 2f x dxal?? ? ； ? ?1 1 c os ,1nnxf x dxlanl????? ? ?1 1 si n ,1nnxf x dxlbnl????? 從幾 何 角度來看， ??fx可以用下面這組由無限多個(gè)三角函數(shù)（包括常數(shù)）組成的“正交基”來展開， 22{ 1 , c o s , si n , c o s , si n , .. .. .. }x x x xl l l l? ? ? ? 從幾何投影的觀點(diǎn)來看待傅里葉級(jí)數(shù)，理解變得更加容易，因?yàn)槿菀桌斫馔队暗母拍睿煌?，傅里葉級(jí)數(shù)所有的公式都可以輕松的記住，想忘記都難了 . 還可以嘗試著用不同的角度去看待同一個(gè)問題，這樣做會(huì)發(fā)現(xiàn)更多的簡(jiǎn)便方法和問題 . 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 9 傅里葉級(jí)數(shù)的斂散性問題 定義１ 若 函數(shù) ??fx在區(qū)間 ? ?,ab 除有限個(gè)第一類剪短點(diǎn)外皆連續(xù)，則稱函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 逐段連續(xù)． 若函數(shù) ??fx與它的導(dǎo)函數(shù) ??39。 geometric significance。 differential mean value theorem。fx都逐段連續(xù)， 則稱函數(shù) ??fx在 ? ?,ab 逐段光滑． 顯然，逐段光滑的函數(shù)是可積的． 相關(guān)定理 定理１ 若 ??fx是 n 元函數(shù) f 在凸區(qū)域 R 上以 2? 為周期的在 ? ?,??? 逐段光 滑 的 函 數(shù) ， 則 函 數(shù) ??fx 的 傅 里 葉 級(jí) 數(shù) 在 R 收 斂 ， 其 和 函 數(shù) 式? ? ? ?1 002 f x f x? ? ?????，即 ??,x??? ? ? ，有? ?? ?1 002 f x f x? ? ?????? ? ?01c o s s in2 nnna a n x b n x????? ． 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 10 ， 使得 ? ?1 0 1 2 0 2 01 , , , 0in x n n ii f x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ． 特別地， 當(dāng) 1?n 時(shí) ， ? ?1 0 1 2 0 2 01 , , , 0inx n n ii f x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??變?yōu)? ? ?? ?? ?0 0 00 f x x x x x??? ? ? ?． 因?yàn)?0xx? ，所以 ， ? ?? ? ? ?00 0 , 0. 1f x x x??? ? ? ? ?． 即 ? ? 0fc? ? ， ? ?0,c x x? ． 這就是一元函數(shù)的羅爾定理的公式 ． n 元函數(shù)羅爾定理的幾何意義 ： 在 1?n 維空間里， 閉區(qū) 域 D 上有連續(xù) 超曲面 ? ?10 20 0, , , ny f x x x? ，超 曲 面 上每一點(diǎn)都存在 超 切 平面，且在超曲面的底面與1 2 1nxx x? 面平行， 則 超 曲 面 上至少有一點(diǎn) ? ?? ?1 2 1 2, , , , , , ,nnCf? ? ? ? ? ?，使得過該點(diǎn)的超切平面 平行于 1 2 1nxx x? 面． 定理 2（ n 元函數(shù) 拉格朗日 定理） 設(shè) n 元函數(shù) f 在凸區(qū)域 nRD? 上連續(xù) ，在 D 的所有內(nèi)點(diǎn)都可微 ， 對(duì) D 內(nèi)任意兩點(diǎn) ， ? ?1 1 0 1 2 0 2 0, , , nnP x x x x x x? ? ? ? ? ?， ? ?2 10 20 0, , , nP x x x D?， ? ?1,0??? ， 使得 ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 0, , , , , ,n n nf x x x x x x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 01 , , ,in x n n ii f x x x x x x x? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ． (21) 證明 令 ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0, nnt f x t x x t x x t x? ? ? ? ? ? ? ?， ? ?01t?? ． 它是定義在 ? ?1,0 上的一元函數(shù) ， 由定理中的條件知 ??t? 在 ? ?1,0 上連續(xù) ， 在 ? ?1,0 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 11 內(nèi)可微 ， 于是根據(jù)一元函數(shù)微分中值定理 ， ? ?1,0??? ， 使得 ? ? ? ? ? ?10? ? ? ????． 由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0 1, , ,ix n nf x x x x x x x? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0, , ,nx n n nf x x x x x x x? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?． ? ?1 0 1 2 0 2 01 , , ,inx n n ii f x x x x x x x? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ??， ? ?0,1?? ． 而 ?? ? ?01 ?? ? = ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 0, , , , , ,n n nf x x x x x x f x x x? ? ? ? ? ? ?． 所以 ， ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 0 1 0 2 0 0, , , , , ,n n nf x x x x x x f x x x? ? ? ? ? ? ? ? ?1 0 1 2 0 2 01 , , ,in x n n ii f x x x x x x x? ? ?? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ． 特別地，當(dāng) 1?n ， 則由 (21)式有 ? ? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 0f x f x f x x x x x??? ? ? ? ?， ? ?01??? ． 這就是一元函數(shù)的拉格朗日 中值 公式 ． n 元函數(shù)拉格朗日定理的幾何意義： 在 1?n 維空間里， 閉區(qū) 域 D 上有連續(xù)超曲面 ? ?10 20 0, , , ny f x x x? ，超 曲 面 上每一點(diǎn)都存在 超 切 平面，超曲面被超平面? 所切得面 ? ， 則 超 曲 面 上至少有一點(diǎn) ? ?? ?1 2 1 2, , , , ,nnCf? ? ? ? ? ?，使得過該點(diǎn)的超切曲面 平行于 面 ? ． 定理 3（ n 元函數(shù) 柯西中值 定理） 設(shè) n 元函數(shù) f 和 g 在凸開域 nRD? 上連續(xù) ， 在 D 內(nèi)關(guān)于各個(gè)變?cè)哂羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù) ， 對(duì) D 內(nèi)任意兩點(diǎn) ),( 020211 nxxxP ? ，2 10 1 20 2 0( , , , )nnP x x x x x x D? ? ? ? ? ? ?， ?? ???????ni innx xxxxxg i1 0110 0),( ?? ?， 則有 1 0 1 0 1 0 01 0 1 0 1 0 0( , , ) ( , , )( , , ) ( , , )n n nn n nf x x x x f x xg x x x x g x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? 沈陽(yáng)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） No 12 1 0 1 011 0 1 01( , , )( , , )iinx n n iinx n n iif x x x x xg x x x x x??????? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ???， (0 1)??? ． 證明 首先證明 0),(),( 0100110 ?????? nnn xxgxxxxg ?? ， 用反證法 ． 假設(shè)0),(),( 0100110 ?????? nnn xxgxxxxg ?? ． 即 ),(),( 0100110 nnn xxgxxxxg ?? ????? ． 根據(jù) n 元函數(shù)的羅爾定理 ， )1,0(??? ， 使得 0),(1 0110 ?????????ni innx xxxxxg i ?? ?， 與已知條件 ?? ???????ni innx xxxxxg i1 0110 0),( ?? ?矛盾 ． 其次作輔助函數(shù) ???????? ),(),()( 0100110 nnn xxfxtxxtxft ?? )],(),([),(),( ),(),( 01001100100110 0100110 nnnnnn