【正文】 —— 雙負(fù)介質(zhì)中電磁波的傳播特性。 第三章講述時(shí)域有限差分法的基本使用技術(shù)，按由簡(jiǎn)到繁的順序，逐步介紹 FDTD在一維、二維和三維電磁場(chǎng)問題上基本應(yīng)用，旨在給出該方法的基本構(gòu)成脈絡(luò)。由于窄邊開縫的 波導(dǎo)裂縫天線各個(gè)縫隙排列復(fù)雜，給 HFSS 建模帶來了困難，所以本文提供了利用 MATLAB 生成建模 腳本程序的方法。 小電流環(huán)可以看成是磁偶極子?？梢园崖菥€管的每一匝線圈看成是一個(gè)小電流環(huán)，并把小電流環(huán)的正方向作為螺線管的正方向，電流正方向與螺線管正方向成右手螺旋關(guān)系，這樣，就可以把螺線管看成是等效的磁流元，假想的高頻磁流 mI 的方向是沿 z 軸正方向，其輻射場(chǎng)為： ??????????????rjmrjmerlIjEerlIjH?????????s in2s in120 （ ） 比較式（ ）和式（ ）可以看出，兩式中某些物理量之間具有下面的對(duì)偶關(guān)系： 001?? ? me HE ?? ? me EH ?? ?? （ ） 式中帶有下標(biāo)“ e”的場(chǎng)量代 表電流元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量；有下標(biāo)“ m”的場(chǎng)量代表磁流元產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。理想縫隙受到激勵(lì)時(shí)，由于縫很窄，縫隙上只存在與寬邊垂直的切向電場(chǎng)，根據(jù)等效原理， mt JEn ??? ??? ，切向電場(chǎng)可等效為表面磁流。由電磁場(chǎng)邊界條件可知，對(duì)帶狀振子來說，在振子上切向電場(chǎng) tdE 為零，因?yàn)檎褡邮抢硐雽?dǎo)體 ；在振子以外切向磁場(chǎng) tdH 為零，因?yàn)檎褡拥拇艌?chǎng)均垂直于分界平面。電流沿軸線按正弦律分布 的 對(duì)稱振子的遠(yuǎn)區(qū)輻射場(chǎng)為 [22]： ????? s in c o s)c o sc o s (2 0 klklreIjE j k rd ?? ? （ ） 式中振子的波腹電流 0I 可以用振子表面的波腹切向磁場(chǎng)表示。因此鉛垂縫隙是水平極化的，水平縫隙是垂直極化的 。由于邊緣繞射的干涉，將使方向性圖出現(xiàn)波紋，平板加大，波動(dòng)減小，波紋數(shù)增多，方向性圖向無限大平板時(shí)的方向 性 圖趨近 [23]。這是因?yàn)檎谪Q縫和寬壁中軸線上的縱縫對(duì)波導(dǎo)內(nèi)原來的電磁場(chǎng)結(jié)構(gòu)無明顯影響，而其它形式的縫隙能有效地改變波導(dǎo)壁表面的場(chǎng) 分布。 10TE 橫向電流在波導(dǎo)寬面中軸線處等于零，往兩邊沿逐漸增至最大，所以切割橫向表面電流的寬壁縱向縫隙在中軸線上是得不到激勵(lì)的，因而這樣的縫 隙不能用作天線，而波導(dǎo)測(cè)量線正是利用這個(gè)特點(diǎn)，將縱縫開在寬面中心而使輻射損耗最小。因而寬面還可以開橫向縫隙，橫縫在寬面中心線上受到的激勵(lì)最強(qiáng)，往邊沿逐漸減小。波導(dǎo)上開的縫隙可等效為負(fù)載，開縫的波導(dǎo)便等效為加載傳輸線，根據(jù)開縫的位置和方向，縫隙或等效為串聯(lián)的負(fù)載或等效為并聯(lián)的負(fù)載。在縫的長(zhǎng)度適當(dāng)（略短于 2? ）時(shí)發(fā)生諧振，電納等于零而變成純電導(dǎo)。這和傳輸線串聯(lián)接入阻抗的情況相當(dāng)，所以寬邊橫縫等效為串聯(lián)的阻抗，如圖 （ c）所示。圖 所示的窄邊傾斜縫隙的主要優(yōu)點(diǎn)是加工方便。 （ a） （ b） 圖 Fig. Oblique slot and its equivalent circuit in the narrow face of a waveguide 波導(dǎo)縫隙天線陣 單個(gè)縫隙的方向性比較弱，要求強(qiáng)方向性時(shí)可采用波導(dǎo)縫隙天線陣。波導(dǎo)縫隙陣的方向性函數(shù)仍為元方向性函數(shù)與陣函數(shù)的乘積 [26]，即 ),(),(),( ?????? ae FFF ?? （ ） 陣函數(shù)仍為： ????? 10)c o s(),( Nn nd nkjna eAF ???? （ ） 式中 nA 為縫隙激勵(lì)電壓的幅度比， 10?A ， ? 為觀察點(diǎn)所在方向與縫隙陣軸線（也就是波導(dǎo)縱軸）的夾角。 波導(dǎo)縫隙陣以各縫隙間距是否等于 2g? 為根據(jù)而分兩類。 諧振式波導(dǎo)縫隙陣由于縫隙間距為 2g? ，所以 相鄰縫隙的激勵(lì)會(huì)產(chǎn)生 ?180 ，為使各縫獲得同相激勵(lì)，應(yīng)當(dāng)采取措施使相鄰縫隙再獲得 ?180 的附加相移。圖 （ a）是傾斜方向相同的情況，圖 （ b）是傾斜方向相反的情況。所以這類縫隙陣是窄頻帶的。事實(shí)上，從感性上來說，微分運(yùn)算也就是極限意義下的 差商運(yùn)算。 在正式介紹之前，作如下兩點(diǎn)處理 說明 ： 由于 0? 和 0? 在數(shù)值上相差若干數(shù)量級(jí)，致使電場(chǎng)和磁 場(chǎng)的數(shù)值不在相同的數(shù)量級(jí)上，在編寫程序時(shí)，應(yīng)考慮到編程語(yǔ)言數(shù)據(jù)類型的精度范圍，所以為了使電場(chǎng)和磁場(chǎng)在某種編程語(yǔ)言下具有相同的精度，可令 EE ?? ??00~ ?? ，這種歸一化處理有助于計(jì)算準(zhǔn)確度的提高 [27]。上述旋度方程中 E? 和 H? 均為三維矢量，所以等價(jià)于六個(gè)標(biāo)量方程，我們僅以其中的 xE 和yH 為代表展開一維 FDTD 問題的表述，即 ???????????????????zEtHzHtExyyx0011?? （ ） 這是沿 z 方向傳播的一維平面波方程，電場(chǎng)方向是 x 方向，磁場(chǎng)是 y方向。 附錄 A 的程序代碼模擬了高斯脈沖在自由空間的傳播過程， 在這個(gè)程序中 問題空間的大小設(shè)為200 個(gè)空間步長(zhǎng)，即 k 由 1 變化到 200，其中脈沖源設(shè)置在 k=100 處，這樣能使我們得以同時(shí)觀察向正負(fù) z兩個(gè)方向 傳播的一維平面波，如圖 所示， 程序中保存時(shí)間步總數(shù)的變量 “nsteps”可由讀者重新設(shè)定，以根據(jù)需要觀測(cè)波形的變化。前面我們根據(jù)Courant 條件取02czt ??? ，這意味著對(duì)于自由空間中的一維電磁波傳播問題，波前將以兩個(gè)時(shí)間步來前進(jìn)一個(gè)完整網(wǎng)格的距離，亦即02 czt ???? ，根據(jù)這一事實(shí)，我們可以得到一維自由空間問題的吸收邊界條件為： ?????????)199()200()2()1(22nxnxnxnxEEEE （ ） 式（ ）的第一式和第二式分別對(duì)應(yīng)問題區(qū)間的左邊界和右邊界。當(dāng)脈沖到達(dá)介質(zhì)時(shí)，由于媒質(zhì)的不連續(xù)性，導(dǎo)致一部分波向源的方向反射，一部分波透過介質(zhì)繼續(xù)向前傳播，如圖 所示。 色散媒質(zhì)的處理方法 對(duì)于色散媒質(zhì)，也完全可以采用與在導(dǎo)電損耗媒質(zhì)情況下類似的處理方法，在此舉例說明。 二維電磁問題的 FDTD 基本技術(shù) 二維 FDTD 基本計(jì)算公式 對(duì)于自由空間中二維電磁問題 FDTD 公式的推導(dǎo)，也是從 Maxwell 旋度方程出發(fā)進(jìn)行推導(dǎo)，如式（ ）。令)(1)( 01 ???? Etjs ?? ，頻域的乘積運(yùn)算相當(dāng)于時(shí)域的卷積運(yùn)算，即 ??? ? dEtts t tte? ?? ??0 /)(01 )()( 0 （ ） 對(duì)式（ ）進(jìn)行時(shí)域離散化，得到： )( 10 /)(010 /)(01 00 ini tintnini tintn EEt tEt ts ee ????????? ?? ?? ???? ??? ?? （ ） 進(jìn)而又可求得： initintttinitintn Et tEt ts eee ?????????? ?? ????????????? 10/)(/0110/)1(011 000 ?? 所以可推出 1?ns 與 ns 的 關(guān)系如下 se nttnn Et ts 1/01 0 ??? ????? ? （ ） 現(xiàn)在可以寫出由式（ ）描述的媒質(zhì)中 D? 的 FDTD 計(jì)算式 )()( 1/01100 se nttnnnnrn Et tIEtED ???? ?????????? ???? （ ） 從而可通過此式求得電場(chǎng) E? ： ????????????????????????????????????????nnttnnnnrnttnnnEttsEtIItttIDEsese011/010101/100??????? （ ） 于是總的求解過程可用如下的 MATLAB 代碼描述： 第 3章 時(shí)域有限差分法的基本應(yīng)用 24 ???????????????????????????????))1()(()()()()()(_)()()()()())(_)()(()()())()1(()()(kexkexkhykhykexkgc xksxexde lksxkexkgbxkixkixksxexde lkixkdxkgaxkexkhykhykdxkdx 其中 ))/()/(/(1)( 0tdtc h i le p s zdts i g m ae p s rkgax ????? ， e ps zdts ig m akgbx /)( ?? ， 0/)( tdtch ilkg cx ?? ， 0/_ tdteexdel ?? 。導(dǎo)電損耗介質(zhì)一般具有如下形式 [30]： 0)( ?????? jrr ??? （ ） 帶入式（ ）中的第二式，可以得到 )()()(0 ??????? EjED r ??? ?? （ ） 將式（ ）變換到時(shí)域?yàn)? ????? dEtEtD tr ??? 00 )()()( ??? （ ） 對(duì)式（ ）進(jìn)行時(shí)域離散化： ?????? niinrn EtED00??? （ ） 式（ ）等價(jià)于 ?????????? 1000niinnrn EtEtED ????? （ ） 第 3章 時(shí)域有限差分法的基本應(yīng)用 22 這樣，對(duì)于給定的時(shí)刻 n ，就能寫出由 D 求 E 的公式： 0100?????tEtDErniinn?????????? （ ） 令 ????? niin EtI00?? ，則可把式（ ）關(guān)于 n時(shí)刻電場(chǎng) E 的求解化為兩個(gè)式子聯(lián)合求解 : ????????????????????nnnrnnnEtIItIDE0101????? （ ）同樣，根據(jù) Courant 條件取02czt ??? ，便可獲得如下代碼： ???????????????????))1()((*)()()(*)()()())()((*)()())()1((*)()(kexkexkhykhykexkg bxkixkixkixkdxkg axkexkhykhykdxkdx （ ） 其中 ))/(/(1)( e p s zdts i g m ae p s rkgax ??? ， e ps zdtig m akgbx /)( ?? ，是程序中定義的用來計(jì)算相關(guān)參數(shù)的變量， epsr 用來保存媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)， sigma 用來保存電導(dǎo)率， dt 用來保存時(shí)間步長(zhǎng)， epsz 保存真空中的介電常數(shù)。 一維電磁波在無耗介質(zhì)中傳播的 FDTD 模擬 同 小節(jié)一樣，由 Maxwell 旋度方程出發(fā)，并引入歸一化，即 EE ?? ??00~ ?? ，基于時(shí)域有限差分法的縫 隙天線的分析與設(shè)計(jì) 19 可得：