【正文】 2020年高中畢業(yè)年級(jí)第三次質(zhì)量預(yù)測(cè) 文科數(shù)學(xué)試題卷 本試卷分第 I 卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試時(shí)間 120 分鐘，滿分 150 分．考生應(yīng)首先閱讀答題卡上的文字信息，然后在答題卡上作答，在試題卷上作答無(wú)效．交卷時(shí)只交答題卡． 第 I 卷 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)符合題目要求． ? ? ? ?1, 2 , 3 , 4 , 5 , 1, 3 , 5UM??,則 A. {1, 2, 4} B. {1, 3, 5} C. {2, 4} 2 復(fù)數(shù) 241 iz i?? ? （ i 為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是 A.(3,3) B.(1,3) C(3,1) D.(2,4) 3．通過(guò)隨機(jī)詢問(wèn) 110名性別不同的學(xué)生是否愛(ài)好某項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，得到如下的列聯(lián)表： 附表： 若由 算得 照附表，得到的正確結(jié)論是 A 99%以上的把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” B．有 99%以上的 把握認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” C 在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) 0. 1%的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別有關(guān)” D．在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò) %的前提下，認(rèn)為“愛(ài)好該項(xiàng)運(yùn)動(dòng)與性別無(wú)關(guān)” 4．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間 (1， 2)上單調(diào)遞增的是 A . 2logyx? B. cos2yx? C 222xxy ??? D. 2 2log 2 xy x?? ? 5．已知雙曲線 2 22 1(a 0)x ya ? ? ?的實(shí)軸長(zhǎng)為 2，則該雙曲線的離心率為 A . 22 B. 52 C 5 D. 2 6．在△ ABC 中，角 A， B， C 的對(duì) 邊分別為 a， b， c，若點(diǎn) (a， b)在直線 (sin sin )x A B??b sin siny B c C? 上．則角 C的值為 A. 6? B. 56? C. 3? D． 23? 7．在平面區(qū)域 02xy???? ???內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則所取的點(diǎn)恰好滿足 2xy??的概率是 A. 116 B. 18 C. 14 D． 12 8．如右圖，三棱柱的側(cè)棱長(zhǎng) 和底邊長(zhǎng)均為 2，且側(cè)棱 1AA? 底面 1 1 1ABC ，正視圖是邊長(zhǎng)為 2 的正方形，俯視圖為一個(gè)等邊三角形，則 該三棱柱的側(cè)視圖的面積為 A. 3 B. 23 C 4 D． 43 9．已知函數(shù) ( ) sin (2 )6f x x m?? ? ?在 0,2???????上有兩個(gè)零點(diǎn)， 則 m 的取值范圍是 A． (0， 1) B． 1( ,1)2 C.? ?0,1 D． 1,12?????? 10．設(shè)函數(shù) f(x)定義為如下數(shù)表，且對(duì)任意自然數(shù) n 均有 n1x ( )nfx? ? 若 0 6x? ，則 2020x 的值為 B. 2 C .4 D． 5 11．利用如圖所示算法在平面直角坐標(biāo)系上打印一系列點(diǎn)，則 打印的點(diǎn)在圓 2210xy??內(nèi)的共有 ( )個(gè)． A． 2 B． 3 C 4 D． 5 ()fx是定義在 ( ,0)?? 上的可導(dǎo)函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù) 為 f39。(x) ，且有 2xf39。(x) x 2 f(x)?? ，則不等式 24 ( 201 4) ( x 201 4) f ( 2) 0fx ? ? ? ? ?的解集為 A． ( ,?? 2020) B．（ 2020,0) C． ( ,?? 2020) D． (2020,0) 第Ⅱ卷 本卷包括必考題和選考題兩部分，第 1321 題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答，第 2224 題為選考題，考生根據(jù)要求作笞． 二、填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共 20 分． ??na滿足 3 4 94, 22a a a? ? ?，則其前 11 項(xiàng)之和11S =__________. 14．某班的全體學(xué)生參加消防安全知識(shí)競(jìng)賽，成 績(jī)的頻率分布直方圖如圖，數(shù)據(jù)的分組依次為： [20， 40)， [40， 60)， [60， 80)， [80， 100].若低于 60 分的人數(shù)是15，則該班的學(xué)生人數(shù)是 _________． ABC的邊長(zhǎng)為 2，將它沿高 AD 翻折，使點(diǎn) B 與點(diǎn) C 間的距離為 2 ，此時(shí)四面體 ABCD 外接球體積為 ________． 22:4P x y y??及拋物線 2:8S x y? ，過(guò)圓心 P 作直線 l ，此直線與上述兩曲線的四個(gè)交點(diǎn)，自左向右順次記為 A， B， C， D，如果線段 AB， BC， CD 的長(zhǎng)按此順序構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，則直線 l 的斜率為 ________. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 70 分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟． 17．（本小題滿分 12 分） 已知在數(shù)列 ??na 中， 113, 4 3nna a a?? ? ?． (I)求證：數(shù)列 ? ?1na? 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列 ??na 的通項(xiàng)公式； (Ⅱ )設(shè)數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和為 nS ，求 nS ． 18．（本小題滿分 12 分） 某種產(chǎn)品的廣告費(fèi)支出 x 與銷售額 y(單位：萬(wàn)元 )之間有如下對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)： 若廣告費(fèi)支出 x與銷售額 y回歸直線方程為 6. 5 ( )y x a a R? ? ?. (I)試預(yù)測(cè)當(dāng)廣告費(fèi)支出為 12 萬(wàn)元時(shí)，銷售額是多少？ (Ⅱ )在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組，求至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過(guò) 5的概率． 19.（本小題滿分 12分） 如圖，三棱柱 ABC 1 1 1ABC 的側(cè)棱 1AA? 平面 ABC， △ ABC 為等邊三角形，側(cè)面 11AACC 是正方形， E 是 1AB 的中 點(diǎn)， F 是棱 1CC 上的點(diǎn)． (I）若 F 是棱 1CC 中點(diǎn)時(shí)，求證： AE ? 平面 1AFB ； (Ⅱ )當(dāng) 93E ABFV ? ? 時(shí)，求正方形 11AACC 的邊長(zhǎng)． 20.（本小題滿分 12 分） 已知圓 1C 的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn) O，且恰好與直線 1 : 2 3 5 0l x y? ? ?相切，設(shè)點(diǎn) A 為圓上一動(dòng)點(diǎn)， AM x? 軸于點(diǎn) M，且動(dòng)點(diǎn) N 滿足 33(1 )O N O A O M? ? ?，設(shè)動(dòng)點(diǎn) N的軌跡為曲線 C． （ I）求曲線 C的方程； (Ⅱ )直線 l 與直線 1l 垂直且與曲線 C 交于 B、 D 兩點(diǎn)，求△ OBD 面積的最大值． 21．（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) 211f(x) lnx x x42? ? ?． （工）求 f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值； (Ⅱ )若 21g (x ) x (f(x ) x 1)4? ? ?，當(dāng) xl時(shí)， g(x)在區(qū)間（ n,n+l）內(nèi)存在極值，求整數(shù) n的值． 請(qǐng)考生在第 2 2 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22.（本小題滿分 10 分） 選修 41：幾何證明選講 如圖，在△ ABC 中， CD 是 ? ACB 的角平分線，△ADC的外 接圓交 BC于點(diǎn) E， AB=2AC. (I)求證： BE=2AD。 (Ⅱ )當(dāng) AC=3， EC=6時(shí)，求 AD 的長(zhǎng)． 23.（本小題滿分 10 分）選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在極坐標(biāo)系中，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 4 2 sin( )4?????．現(xiàn)以極點(diǎn) O為原點(diǎn)，極軸為 x 軸的非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為 (t 參數(shù) ) (I)寫(xiě)出直線 l 和曲線 C 的普通方程； (Ⅱ )設(shè)直線 l 和曲線 C交于 A， B 兩點(diǎn)，定點(diǎn) P(2， 3)，求 PA PB? 的值． 24．（本小題滿分 10 分）選修 45：不等式選講． 已知函數(shù) f(x) 3 , ( )x a a R? ? ?． （ I）當(dāng) a=1 時(shí)，解 不等式 ( )5 2 1f x x??。 (Ⅱ )若存在 0xR? ，使 00( ) 6f x x??成立，求 a 的取值范圍． 2020 年高中畢業(yè)年級(jí)第三次質(zhì)量預(yù)測(cè) 文科數(shù)學(xué) 參考答案 一、選擇題 題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A A D C C B D D B C 二、填空題（每小題 5分，共 20 分） 14. 50 15. 556? 16. 22? 三、解答題：本大題共 6 道題，共 70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟 . 17. （ Ⅰ ） 41 134111 ?? ?????? nnnn aaaa, 所以數(shù)列 ? ?1?na 是以 2 為首項(xiàng)，以 4為公比的等比數(shù)列，……………………… 4分 則 1421 ???? nna ； 所以12 4 ?? ? ? ……………………………… 6 分 （ Ⅱ ）21 2 ( 1 4 ) 22 2 4 2 4 2 4 ( 4 1 ) .1 4 3nnnnS n n n? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??.……… 12分 18.【解】（ Ⅰ ） ,55 86542 ??????x ,505 7060504030 ??????y 因?yàn)辄c(diǎn)（ 5,50）在回歸直線上，代入回歸直線方程求得 ?a ， 所 求 回 歸 直 線 方 程 為 ： ?? xy ……………………………… 3 分 當(dāng) 廣 告 支 出 為 12 時(shí)， 銷 售 額 ????y .……………… 5 分 （ Ⅱ ）實(shí)際值和預(yù)測(cè)值對(duì)應(yīng)表為 在已有的五組數(shù)據(jù)中任意抽取兩組的基本事件：（ 30， 40），（ 30， 60），（ 30， 50），（ 30， 70），（ 40， 60），（ 40， 50），（ 40， 70），（ 60， 50），（ 60， 70），（ 50， 70）共 10個(gè)，……………………………… 10分 兩組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值都超過(guò) 5的有（ 60， 50）， 所以至少有一組數(shù)據(jù)其預(yù)測(cè)值與實(shí)際值之差的絕對(duì)值不超過(guò) 5 的概率為 1091011 ???P . ……………………………… 12 分 19.【解】（ Ⅰ ）取 AB 的中點(diǎn)為 M ，連接 CMEMEF , , ? E 是 1AB的中點(diǎn) , F 是棱 1CC 中點(diǎn) , EM? ∥ 1AA , 1//AAFC ,121 AAFCEM ??, 則四邊形 EMCF 是平行四邊形， CMEF//? , M 又因?yàn)?ABC? 為正三角形，側(cè)面 CCAA 11 是正方形 , ABAA ?? 1 ,所以 BAAE 1? , ABCM? , 因?yàn)閭?cè)棱 1AA ⊥ 平面 ABC ，所以 1AACM? ， ABACM 1平面?? , ABAEF 1平面?? ，所以 AEEF? , 又因?yàn)?BAAE 1? ， EEFBA ??1 ，所以 ?AE 平面 FBA1 .…6 分 （ Ⅱ ） 設(shè)正方形 CCAA11 的邊長(zhǎng)為 x 由于 E 是 1AB的中點(diǎn)， △ EAB 的面積為定值。 1CC ∥ 平面 1AAB ， ?點(diǎn) F 到平面 EAB 的距離為定值 即為點(diǎn) C 到平面平面 1AAB 的距離 又 E ABF F ABEVV??? ，且 13F ABE ABEV S h????=93. 即 1 1 3 33 2 2 2 3xxx? ? ? ? ?93 ， 3 216 , ? ? ? ? 所以正方 形的邊長(zhǎng)為6.………………… 12 分 20.（ Ⅰ ）設(shè)動(dòng)點(diǎn) ),( yxN ， ),( 00 yxA 因?yàn)?xAM? 軸于 M ，所以 )0,( 0xM ， 設(shè)圓 1C 的方程為 222 ryx ?? ， 由題意得 34153 ???r， 所以圓 1C 的程為 922 ??yx .……………………………… 2 分 由題意 , OMOAON )331(33 ??? ，所以 )0,)(331(),(33),(000 xyxyx ???， 所以??????