【正文】 數(shù)值分析方法 在巖土工程中的應(yīng)用簡介 1 數(shù)值分析方法 在巖土工程中的應(yīng)用簡介 A Brief Introduction to the Application of Numerical Analysis Method in the Geotechnical Engineering 陳劍 平 吉林大學(xué)朝陽校區(qū)建設(shè)工程學(xué) 院 2023年 2月 25日 原長春地質(zhì)學(xué)院水文地質(zhì)與工程地質(zhì)系 或長春科技大學(xué)環(huán)境與建設(shè)工程學(xué)院 2023年度遼寧省建設(shè)廳執(zhí)業(yè)資格注冊中心 注冊土木工程師 (巖土 )繼續(xù)教育培訓(xùn)專用 2 基本概 念 講授提綱 幾種常見數(shù)值分析方法的 主要特點 對數(shù)值分析定量結(jié)果的理解 3 隨著計算機技術(shù)的發(fā)展，科學(xué)技術(shù)的進步，科學(xué)與工程計算 (簡稱科學(xué)計算 )的應(yīng)用范圍已擴大到許多學(xué)科領(lǐng)域，形成一些邊緣學(xué)科，例如計算物理、計算化學(xué)、計算力學(xué)等。目前， 實驗、理論、計算 已成為人類進行科學(xué)活動的三大方法。 為了解某科學(xué)與工程實際問題，首先是依據(jù)物理、力學(xué)規(guī)律建立問題的數(shù)學(xué)模型，這些模型一般為代數(shù)方程、微分方程等。科學(xué)計算的一個重要方面就是要研究解這些數(shù)學(xué)問題的數(shù)值計算方法 (適合計算機計算的計算方法 )，然后通過計算軟件在計算機上計算出實際需要的結(jié)果。數(shù)值分析內(nèi)容包括；函數(shù)的插值與逼近方法，微分與積分計算方法，線性方程組與非線性方程組計算方法，常微分與偏微分?jǐn)?shù)值解等。 何謂數(shù)值分 析 基本概 念 4 “應(yīng)用力學(xué)”領(lǐng)域內(nèi)的很多課題，工程師和科學(xué)工作者近年來一般用數(shù)值方法來求解，獲得顯著成功。這主要 由于目前力學(xué)課題本身的復(fù)雜性 —— 非均質(zhì)、非線性以及復(fù)雜的加荷條件及邊界條件，精確解已無能為力。 數(shù)值分析的必要 性 數(shù)值分析的可能性 計算機的迅速發(fā)展，也使數(shù)值分析得到有效而經(jīng)濟的成果。 基本概 念 5 力學(xué)求解方法 精確解 數(shù)值方法 實驗手段 差分法 有限元法 邊界元法 變分法 加權(quán)余量法 在量測手段得到改進的今天，少數(shù)課題利用實驗室的結(jié)構(gòu)模型試驗或離心模型試驗也可以得到定性或甚至定量的結(jié)果。這樣，上述力學(xué)求解方法可列成下表： 數(shù)值分析是主要求解方法 基本概 念 6 圖中數(shù)值方法列出最常用的五種：差分法、有限無法、邊界元法、變分法和加權(quán)余量法。 差分法 由英國學(xué)者 Southwell提出，是轉(zhuǎn)化課題的常微分方程或偏微分方程為差分方程，然后結(jié)合初始及邊界條件，求解線性代數(shù)方程組。這方法比校直觀，容易編制程序，所以從 20世紀(jì) 40年代末期以來，迄今盛行不衰。 有限元法 由英國學(xué)者 Zienkiewicz提出，以研究區(qū)域的變分形式，離散化所研究的區(qū)域，使其成為有限數(shù)目的單元。對于邊界復(fù)雜以及材料屬非線性的課題，與差分法相比，有特殊的靈活性。 邊界元法 由英國學(xué)者 Brebbia提出，化微分方程為邊界積分方程，使用類似于有限元法的離散技術(shù)來離散邊界。離散化所引起的誤差僅來源于邊界，因之提高了計算精度，依靠邊界節(jié)點上算得的量，即可計算區(qū)域內(nèi)的有關(guān)物理量，從而減少了準(zhǔn)備工作量及計算量。邊界元又有直接法及間接法之分，間接法需要先求取一個虛設(shè)的量，多了一道手續(xù)，所以相對麻煩一些。邊界元的缺點是對變系數(shù)或非線性問題的造就性不如有限元法。 香港大學(xué)張佑啟開展了結(jié)構(gòu)力學(xué)有限元法的卓越研究 (例如有限條分法等，同時他在彈性地基上的研究，事實上奠定了邊界元法的基本理論。 數(shù)值分析的主要求解方法 基本概 念 7 變分法 是討論泛函的極值問題，對上述差分法及有限元法都可起推導(dǎo)基本公式的作用，而這方法本身，也是數(shù)值方法中最古老的方法。 加權(quán)余量法 ，可以引入試函數(shù)和權(quán)函數(shù)的方法，從微分方程中直接求出近似的數(shù)值解。它的優(yōu)點是可以避免建立能量方程，使一些無法求得能量方程的課題，也得到了較精確的解答。 基本 概 念 數(shù)值分析的主要求解 方 法 8 有限元 Finite Element Method (FEM) 在眾多的工程數(shù)值計算方法中，有限單元法 (Finite Element Method，縮寫為 FEM)很早就以其適用性強和處理非均質(zhì)、非線性、復(fù)雜邊界諸多問題方便等突出優(yōu)點而成為工程數(shù)值分析最有效的通用工具。經(jīng)過近半個世紀(jì)的發(fā)展，有限單元法已十分成熟并在各個領(lǐng)域的工程分析中廣泛應(yīng)用。 巖土工程中最基本的兩種分析方法是總應(yīng)力分析 (Total stress Ana1ysis)法和有效應(yīng)力分析 (Effective stress Analysis)法。與此相應(yīng)，巖土工程中的有限元法也可分為總應(yīng)力分析有限元法和有效應(yīng)力分析有限元法。 l 966年，cloughu等首先將總應(yīng)力分析有限元法用于土壩的應(yīng)力和變形分析。 1969年，sandhu和 wilson用有限元法分析了 Biot二維固結(jié)問題，開創(chuàng)了巖土工程有效應(yīng)力分析有限元法的先河。在國內(nèi)，沈珠江 (1977)首先將有效應(yīng)力分析有限元法應(yīng)用于軟土地基的固結(jié)變形分析。 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 9 有限元 Finite Element Method (FEM) 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 正確的剖分 不正確的剖分 對于土體，總應(yīng)力分析法是將其視為固體來分析的。因此巖土工程中的總應(yīng)力分析有限元法與一般固體力學(xué)中的有限無法是相同的。有效應(yīng)力分析法則嚴(yán)格區(qū)分土體中分別由土顆粒骨架、孔隙水和孔隙氣傳遞或承受的應(yīng)力，并考慮土骨架變形、孔隙水壓力消散和孔隙氣壓力消散三者的耦合作用，因而比總應(yīng)力分析法更接近實際，但遠較之復(fù)雜。對于巖體，因其本身可視為固體，故與之相應(yīng)的分析只能是總應(yīng)力分析。從有效應(yīng)力原理出發(fā)，可將總應(yīng)力分析視為有效應(yīng)力分析的一種特殊形式。因此，總應(yīng)力有限元分析法也可視為有效應(yīng)力分析有限元法的一種持殊形式。 10 研究表明，對于大多數(shù)巖土工程問題，無論是進行總應(yīng)力分析還是進行有效應(yīng)力分析，均可歸結(jié)為對 Biot動力固結(jié)方程的求解。因此，可將 Biot動力固結(jié)方程作為巖土工程問題的總控制方程。 巖土工程中的基本方程包括土體平衡 (或運動 )方程、物理 (或本構(gòu) )方程、幾何方程、有效應(yīng)力原理、孔隙流體 (水 )平衡方程、連續(xù)方程等?？偪刂品匠?(即 Biot動力固結(jié)方程 )由這些基本方程組合而成。 總控制方程的推導(dǎo)基于以下 假定： (1) 土體是完全飽和的橫觀各向同性彈性體。 (2) 土體的變形是微小的。 (3) 土顆粒和孔隙水不可壓縮。 (4) 孔隙水相對于土骨架的滲流運動服從 Darcy定律，其慣性力可不計。 (5) 應(yīng)力應(yīng)變的正負(fù)號法則與彈性力學(xué)相反。 有限元 Finite Element Method (FEM) 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 11 離散單元 Discrete Element Method (DEM) 一般從宏觀意義上說，巖石可以視為連續(xù)介質(zhì)，從而可以用彈性力學(xué)或塑性力學(xué)的方法來進行分析和計算。但在某些情況下，巖體卻不能視做連續(xù)介質(zhì)，如地下節(jié)理巖體中的巷道 (見下圖 )，這時，就不宜用處理連續(xù)介質(zhì)的力學(xué)方法來進行計算。于是，離散單元法作為一種處理節(jié)理巖體的數(shù)值方法就應(yīng)運而生。 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 可行的 12 近幾十年來，離散單元法有了長足的發(fā)展，已成為解決巖土力學(xué)問題的一個重要的數(shù)值方法，越來越受到人們的重視。因為工程中所見到的巖體其形態(tài)常呈非連續(xù)結(jié)構(gòu)，所形成的巖石塊體運動和受力情況多是幾何或材料非線性問題，所以很難用解決連續(xù)介質(zhì)力學(xué)問題的有限單元法或邊界單元法等數(shù)值方法來進行求解，而離散單元法正是充分考慮到巖體結(jié)構(gòu)的不連續(xù)性，適用于解決節(jié)理巖體力學(xué)問題。離散單元法除了用于邊坡、采場和巷道的穩(wěn)定性研究以及顆粒介質(zhì)微觀結(jié)構(gòu)的分析外，已擴展到用于研究地震、爆炸等動力過程和地下水滲流、熱傳導(dǎo)等物理過程。 離散單元法與其他數(shù)值方法 (如有限單元法、邊界單元法等 )耦合更能發(fā)揮各自方法的優(yōu)點。例如，用邊界單元法考慮遠場應(yīng)力的影響以模擬彈性的性質(zhì)，用有限單元法作為中間過渡考慮塑性變形，再用離散單元法考慮近場不連續(xù)變形的情況，從而極大地擴展了數(shù)值方法的解題范圍。 離散單元 Discrete Element Method (DEM) 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 13 離散單元法的基本思想 離教單元法也像有限單元法那樣，將區(qū)域劃分成單元 (見圖 1— 3(a))。但是，單元因受節(jié)理等不連續(xù)面控制，在以后的運動過程中，單元結(jié)點可以分離，即一個單元與其鄰近單元可以接觸，也可以分開 (見圖 I— 3(b))。 單元之間相互作用的力可以根據(jù)力和位移的關(guān)系求出，而個別單元的運動則完全根據(jù)該單元所受的不平衡力和不平衡力矩的大小按牛頓運動定律確定。 離散單元法 Discrete Element Method (DEM) 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特 點 14 離散單元法是一種顯式求解的數(shù)值方法。該方法與在時域中進行的其他顯式計算相似，例如與解拋物線型偏微分方程的顯式差分格式相似。 “顯式”是針對一個物理系統(tǒng)進行數(shù)值計算時所用的代數(shù)方程式的性質(zhì)而言。在用顯式法計算時，所有方程式一側(cè)的量都是已知的，而另一側(cè)的量只要用簡單的代入法就可求得。這與隱式法不同，隱式法必須求解聯(lián)立方程組。在用顯式法時，假定在每一迭代時步內(nèi)，每個塊體單元僅對其相鄰的塊體單元產(chǎn)生力的影響，這樣，時步就需要取得足夠小，以使顯式法穩(wěn)定。由于用顯式法時不需要形成矩陣，因此可以考慮大的位移和非線性，而不必花費額外的計算時間。 離散單元法 Discrete Element Method (DEM) 幾種常見數(shù)值分析方法的主要 特點 15 離散單元法在國內(nèi)外的發(fā)展?fàn)顩r 離散單元法一般認(rèn)為是 Cundall于 1971年提出來的。該法適用于研究在準(zhǔn)靜力或動力條件下的節(jié)理系統(tǒng)或塊體集合的力學(xué)問題，最初用來分析巖石邊坡的運動。到 1974年，二維的離散單元法程序趨于成熟，當(dāng)時已有屏幕圖形輸出的交互會話功能。但由于受計算機內(nèi)存的限制，不少程序是用