吳喜之-統(tǒng)計(jì)學(xué)基本概念和方法-總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)(已修改)
2025-08-27 21:45 本頁面
【正文】 總體均值的區(qū)間估計(jì) 點(diǎn)估計(jì)的缺點(diǎn)：不能反映估計(jì)的誤差和精確程度 區(qū)間估計(jì)：利用樣本統(tǒng)計(jì)量和抽樣分布估計(jì)總體參數(shù)的可能區(qū)間 【 例 】 CJW公司是一家專營體育設(shè)備和附件的公司，為了監(jiān)控公司的服務(wù)質(zhì)量， CJW公司每月都要隨即的抽取一個(gè)顧客樣本進(jìn)行調(diào)查以了解顧客的滿意分?jǐn)?shù)。根據(jù)以往的調(diào)查，滿意分?jǐn)?shù)的標(biāo)準(zhǔn)差穩(wěn)定在 20分左右。最近一次對(duì) 100名顧客的抽樣顯示，滿意分?jǐn)?shù)的樣本均值為 82分，試建立總體滿意分?jǐn)?shù)的區(qū)間。 抽樣誤差 抽樣誤差：一個(gè)無偏估計(jì)與其對(duì)應(yīng)的總體參數(shù)之差的絕對(duì)值。 抽樣誤差 = （實(shí)際未知） 總體均值的區(qū)間估計(jì) （大樣本 n30） x???x要進(jìn)行區(qū)間估計(jì)，關(guān)鍵是將抽樣誤差 求解。若 已知，則區(qū)間可表示為： 此時(shí)，可以利用樣本均值的抽樣分布對(duì)抽樣誤差的大小進(jìn)行描述。 上例中，已知，樣本容量 n=100,總體標(biāo)準(zhǔn)差 ，根據(jù)中心極限定理可知，此時(shí)樣本均值服從均值為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為 的正態(tài)分布。 即： x? x?? ?xx xx ???? ,20???210 020 ??? nx ??)2,82(~ 2Nx 抽樣誤差的概率表述 由概率論可知， 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，即， 有以下關(guān)系式成立： 一般稱， 為置信度，可靠程度等，反映估計(jì)結(jié)果的可信程度。若事先給定一個(gè)置信度，則可根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布找到其對(duì)應(yīng)的臨界值 。進(jìn)而計(jì)算抽樣誤差 )2,82(~ 2NxxxZ????)1,0(~ NZ???? ????1)(2ZxPx??12?Zxx Zx ?? ? ????? 2若， 則查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表可得， 抽樣誤差 此時(shí)抽樣誤差的意義可表述為：以樣本均值為中心的 177。 的區(qū)間包含總體均值的概率是 95%，或者說，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是 。 常用的置信度還有 90%， %， %，他們對(duì)應(yīng)的臨界值分別為 ， 2和 3，可以分別反映各自的估計(jì)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的精確程度和把握程度。 %951 ?? ? ??Z* ?????? xxx Z ??? 計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在 CJW公司的例子中，樣本均值產(chǎn)生的抽樣誤差是 的概率是 。因此，可以構(gòu)建總體均值的區(qū)間為， 由于，從一個(gè)總體中抽取到的樣本具有隨機(jī)性，在一次偶然的抽樣中，根據(jù)樣本均值計(jì)算所的區(qū)間并不總是可以包含總體均值，它是與一定的概率相聯(lián)系的。如下圖所示： ? ? ? ?? ?,???????? xx xx已知時(shí)的大樣本情況?x 的 抽 樣 分 布 2x? ?9 5 % x的 所 有 的 值 3x1x x2 1 3. 92x ?基 于 的 區(qū) 間2 3. 92x ?基 于 的 區(qū) 間3 3 . 9 2x ??基 于 的 區(qū) 間 ( 該 區(qū) 間 不 包 含 ) 根據(jù)選擇的在 、 、 位置的樣本均值建立的區(qū)間 1x x2 3x 上圖中，有 95%的樣本均值落在陰影部分，這個(gè)區(qū)域的樣本均值 177。 。 因此，總體均值的區(qū)間的含義為，我們有 95%的把握認(rèn)為，以樣本均值為中心的 177。 。 通常，稱該區(qū)間為置信區(qū)間，其對(duì)應(yīng)的置信水平為 置信區(qū)間的估計(jì)包含兩個(gè)部分：點(diǎn)估計(jì)和描述估計(jì)精確度的正負(fù)值。也將正負(fù)值稱為誤差邊際或極限誤差，反映樣本估計(jì)量與總體參數(shù)之間的最大誤差范圍。 總結(jié)： ??1? 已 知 時(shí) 的 大 樣 本 下 的 區(qū) 間 估 計(jì)nZx ?? ?? 2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（Z212???Z? 計(jì)算區(qū)間估計(jì)： 在大多數(shù)的情況下，總體的標(biāo)準(zhǔn)差都是未知的。根據(jù)抽樣分布定理，在大樣本的情況下，可用樣本的標(biāo)準(zhǔn)差 s作為總體標(biāo)準(zhǔn)差的點(diǎn)估計(jì)值，仍然采用上述區(qū)間估計(jì)的方法進(jìn)行總體參數(shù)的估計(jì)。 ? 未 知 時(shí) 的 大 樣 本 下 的 區(qū) 間 估 計(jì)nZx ?? ??2值。的為側(cè)尾部中所提供的面積為在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的右）為置信系數(shù)；式中，（Z212???Z?未知時(shí)的大樣本情況?【 例 】 斯泰特懷
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